2021-2022年高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.5古典概型真题演练集训

2021年高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.5古
典概型真题演练集训理新人教A 版
1．[xx·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
答案：56
解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为3036＝5
6
.
解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－636＝56
.
2．[xx·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
[90，
100]
频数281410 6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
3．[xx·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 1
4＋C 2
3C 2
10＝13. 所以事件A 发生的概率为1
3
.
(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 2
3＋C 2
3＋C 2
4C 2
10＝4
15， P (X ＝1)＝C 13C 1
3＋C 13C 1
4C 2
10＝7
15， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝4
15
.
所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×15＋1×15＋2×15
＝1.
课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为( )
A.
2281 B.3781 C.4481 D.5981
[思路分析]
[解析] 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是：
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果； 当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果； 当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果， 综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果， 故2条棱互相垂直的概率是4481.
[答案] C 温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．
[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1,3)． (1)求使得事件“a ∥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率． [解] (1)由题意知，
m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}．
故(m ，n )所有可能的取法共36种． 由a ∥b ，得n ＝3m ，
则(m ，n )的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)． 所以事件“a ∥b ”发生的概率为236＝118.
(2)由|a |≤|b |，得m 2
＋n 2
≤10，
则(m ，n )的取法共有6种，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以事件“|a |≤|b |”发生的概率为636＝1
6
.
[典例3] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如下表所示：
组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五
[20,25]
1
(1)求这15(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
[思路分析]
[解] (1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝1
15×157.5＝10.5，
故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝8
15，
所以候车时间少于10分钟的人数为60×8
15
＝32.
(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.
从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，
其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，
故所求概率为8
15
.。