湖南省_2006年_高考数学真题（理科数学）（附答案）_历年历届试题

1 2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）数学（理工农医类）
1. 函数2log 2-=x y
的定义域是的定义域是
A ．),3(+¥
B ．),3[+¥
C ．),4(+¥
D ．),4[+¥
2. 若数列}{n a 满足满足: : 3
11=a , 且对任意正整数n m ,都有n
m n m a a a ×=+, 则 =++++¥
®)(lim 21n n
a a a
A ．21
B ．32
C ．2
3
D ．2 3. 过平行六面体1111D C B A ABCD -任意两条棱的中点作直线任意两条棱的中点作直线, , 其中与平面11D DBB 平行的直线共有的直线共有
A ．4条
B ．6条
C ．8条
D ．12条 4. “1=a ”是“函数||)(a x x f -=在区间),1[+¥上为增函数”的上为增函数”的
A ．充分不必要条件．充分不必要条件
B B ．必要不充分条件．必要不充分条件
C C ．充要条件．充要条件
D D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件 5. 已知,0||2||¹=b a 且关于x 的方程0||2
=×++b a x a x 有实根有实根, , 则a 与b 的夹角的取值范围是取值范围是
A ．]6,0[p
B ．],3[p p
C ．]32,3[p p
D ．],6
[p p
6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目个不同的项目, , 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有则该外商不同的投资方案有 A ． 16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种
7. 过双曲线1:2
2
2=-
b
y x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐
近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是的离心率是 A ． 10 B ．5 C ．310 D ．2
5
8. 设函数1
)(--=x a
x x f , 集合}0)(|{},0)(|{>¢=<=x f x P x f x M , 若P M Ì,
则实数a 的取值范围是的取值范围是
A ．)1,(--¥
B ．)1,0(
C ．),1(+¥
D ．),1[+¥
9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, , 若过该球球心的一个截若过该球球心的一个截 面如图1,1,则图中三角形则图中三角形则图中三角形((正四面体的截面正四面体的截面))的面积是的面积是
图1
A ．
22 B ．2
3 C ．2 D ．3 10. 若圆010442
2
=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是
A ． ]4
12[p p ， B
．]12
512[p p ， C ．]3
6[p p ， D ．]2
0[p ， 11. 若5
)1-ax （的展开式中3x 的系数是80-,
则实数a 的值是的值是__________. __________. 12. 已知ï
îïíì£--£+-³0
22011y x y x x 则22y x +的最小值是的最小值是_____________. _____________.
13. 曲线x
y 1=和2
x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是轴所围成的三角形的面积是
___________.
14. 若)0)(4
sin()4sin()(¹-++=ab x b x a x f p p 是偶
函数函数, , 则有序实数对),(b a 可以可以 是__________.(__________.(注注:
写出你认为正确的一组数字即可写出你认为正确的一组数字即可) )
15. 如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM , 线段OB
及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界不含边界))运动运动, ,
且OB y OA x OP +=,则x 的取值范围是__________;
当2
1-=x 时, y 的取值范围是__________. 16.
如图3, D 是直角ABC D 斜边BC 上一点上一点, ,
b a =Ð=Ð=ABC CAD AD AB ,,记. (Ⅰ)证明证明: :
02cos sin =+b a ; (Ⅱ)若DC AC 3=,求b 的值的值. .
图2
O A
B
P M
图3
C
D
B
A
17.
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查家小型煤矿进行安全检查((简称安检简称安检), ), 若安检不合格若安检不合格, , 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格若整改后经复查仍不合格, , 则强制关闭则强制关闭. . 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, , 且每家煤矿整改前合格的概率是5.0, 整改后安检合格的概率是8.0,计算计算((结果精确到
01.0);
(Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率恰好有两家煤矿必须整改的概率; ; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改平均有多少家煤矿必须整改; ; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率至少关闭一家煤矿的概率 . .
18.
如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2,
4=AB (Ⅰ) 证明证明: :
ABCD PQ 平面^ ; (Ⅱ) 求异面直线PQ AQ 与所成的角所成的角; ;
(Ⅲ) 求点P 到平面QAD 的距离的距离. .
1919．．
已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足满足: : 101
<<a , a n +1n+1=f (a n )， ,3,2,1=n 证明：证明： ( (Ⅰ) 101<<<+n n a a ; (Ⅱ) 316
1n n a a
<+ .
D
图4
C
B
A
Q P
2020．．
对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:
）物体质量（含污物）
污物质量
-
1为8.0, 要求清洗完后的清洁度为99.0. 有两种方案可供选
有两种方案可供选择, 方案甲方案甲: : 一次清洗一次清洗; ; 方案乙方案乙: : 分两次清洗分两次清洗. . 该物体初次清洗后受残留水等因素影响该物体初次清洗后受残留水等因素影响, , 其质量变为)31(££a a . 设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是1
8
.0++x x )1(->a x , 用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是a
y ac
y ++, 其中c )99.08.0(<<c 是该物体初次清洗后的清洁度次清洗后的清洁度. .
(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量时方案乙的用水量, , 并比较哪一种方案用水量较少并比较哪一种方案用水量较少; ; (Ⅱ)若采用方案乙若采用方案乙, , 当a 为某定值时为某定值时, , 如何安排初次与第二次清洗的用水量如何安排初次与第二次清洗的用水量, , 使总用水量最小最小? ? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响取不同数值时对最少总用水量多少的影响. . 2121．．
已知椭圆134:2
21=+y x C , 抛物线)0(2)(:2
2>=-p px m y C , 且21,C C 的公共弦
AB 过椭圆1C 的右焦点的右焦点 . .
(Ⅰ) 当轴时x AB ^, 求p m ,的值的值, , 并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ) 是否存在p m ,的值的值, , 使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上? 若存在若存在, ,
求出符合条件的p m ,的值的值; ; 若不存在若不存在, , 请说明理由请说明理由 . .
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）参考答案
1.D 1.D；；
2.A
； 3.D ； 4.A ； 5.B ； 6.D ； 7.A ； 8.C ； 9.C ； 10.B ； 11.2-； 12.5； 13.34； 14.(1，1-) ； 15.(,0-¥) ,13(,)22
； 1616、、
解 (I)如图如图, ,
因为(2)22
2
2
BAD p
p
p
a p
b b =
-Ð=
--=-，
所以 sin sin(2)cos 22
p
a b b =-=-，
即
sin cos 20a b +=。

（II II）在）在
ADC 中,由正弦定理得
sin sin()DC AC a p b =-，即3sin sin DC DC
a b
=。

所以sin 3sin a b a =。

由
（
I
），
s i n c o s a b b =-，
所以
2
s i n 3c o s 23(12s i n )
a b b b =
=--。

即
2
23sin sin 30b b --=，
解得3sin 2b
=
或3
sin 3
b =-。

因为02p
b <<，所以3
sin 2b =，
从而3
p
b =。

1717、、
解（解（I I ）每家煤矿必须整改的概率是1—0.50.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
2
2315
5(10.5)0.50.3116
P C =´
-´==。

（II II））
由题设，必须整改的煤矿数x 服从二项公布(5,0.5)B ，从而x 的数学期望是50.5 2.5E x =´=，
即平均有2.50家煤矿必须整改。

（III III）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是
2(10.5)(10.8)0.1P =-´-=，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，由题意，每家煤矿是否被关闭是
相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是
3
310.90.41P =-=
18.
解法一（Ⅰ）连接AC AC、、BD BD，设，设AC ÇBD BD＝＝O 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以PO ^平面ABCD ABCD，，QO ^平面ABCD
从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ^平面ABCD
（II II）由题设知，）由题设知，）由题设知，ABCD ABCD 是正方形，所以AC BD ^．由（．由（I I ）
，PQ ^平面ABCD ，故可以分别以直线CA CA、、DB DB、、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，(0,22,0)B
(22,0,2),(22,0,1),
PB =--=--所以所以AQ AQ
于是3
cos ,9
AQ PB AQ PB AQ PB <>=
=
从而异面直线AQ 与PB 所成的角是
3
arccos
9
（Ⅲ）由（Ⅱ），点D 的坐标是(0,2
2,0),(0,22,22,0)AD -=--，
(0,0,3)PQ =-，
设n ＝（＝（x,y,z x,y,z x,y,z）是平面）是平面QAD 的一个法向量，由
020
00n AQ x z x y n AQ ìì×=+=ïïíí+=ï×=ïîî得 1,(1,1,
2)32
2
x n PQ n P QAD d n
==--×=
=取得所以点到平面得距离
解法二（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM,QM,
因为
P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ^PM,AD ^OM
(2,0,2),(0,22,1),3cos ,,9
3arccos
9
AQ PB AQ PB
AQ PB AQ PB AQ
PB
=--=-<>=
=-所以于是从而异面直线与所成的角是
（Ⅲ）由（Ⅱ），点D 的坐标是
(0,22,0),(22,22,0),(0,0,3),
.32(,,)2
AD PQ PQ n n x y z QAD d n
-=--=-==
=
设是平面的距离解法二（Ⅱ），点D 的坐标是
(0,22,0),(22,22,0),AD -=-- (0,0,3)PQ =-
2(,,),0n AQ x z n x y z QAD x y n AD ìì×+
ïï=
íí+=ï×ïîî
设是平面的一个法向量由得 1,(1,1,2).x n ==--取得
.322
PQ n
P QAD d n
=
=所以点到平面的距离
解法二（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM PM，，QM.
因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ^PM,AD ^QM 从而AD ^平面ABCD ABCD。

（Ⅱ）连接AC,BD,AC,BD,设设AC ÇBD BD＝＝0，由PQ ^平面ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在 PQ 上，从而P ，A ，Q ，C.
取OC 的中点N ，连接PN
11,22PO NO NO OQ OA OC ===因为所以
,//,PO NO AQ PN BPN OQ OC
=Ð从而 （或其补角）是异面直线，（或其补角）是异面直线，AQ AQ 与PB 所成的角，连接BN BN，， 因为222(22)13PB OB OP =
+=+=．
2
2
2
(2)13PN ON OP =+=+= 2
2
2
2
(22)(2)10BN OB ON =+=+=
19.19.（本小题满分（本小题满分14分） 已知函数
()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1(),1,2,3n n a f a n +==……
证明：（Ⅰ）1
01n n a
a
+<
<
<
（Ⅱ）3
1
16
n n a
a +<
证明 （Ⅰ）先用数学归纳法证明01,1,2,3,n a n <<=……
当1n =时，由已知，结论成立。

（iii iii）假设当）假设当n k =时结论成立，即01n a <<
因为01x <
<时'()1cos 0f x x =->，
所以()f x 在（在（0
0，1）上是增函数，又()f x 在[0[0，，1]1]上连续，上连续， 从而
1
(0)()(1)f f a f <<，即1
01sin11n a -<<-<，
故当1n
k =+时，结论成立
由（由（i i ）、（ii ii）可知，）可知，01n a <<对一切正整数都成立 又因为0
1n a <<时，
1
sin
sin
0n n
n
n
n
a
a
a
a
a
+-
=
-=-<
所以
1
n n a
a
+<
，综上所述
1
01n n
a
a
+<<
<
（Ⅱ）设函数3
1()sin ,016
g x x x x x -+<<
由（Ⅰ）知，当01x <<时，sin x x <
从而22
2
2
2
'()cos 12sin
2()02
2222
x x x x
x g x x =-+
=-+
>-+= 所以()g x 在（在（00，1）上是增函数，又()g x 在[0[0，，1]1]上连续，且上连续，且(0)0g =，
所以当01x <
<时，()0g x >成立。

于是()0n g a >，即
31
sin 06
n n n a a a -+>， 故3
1
16
n n
a
a +<
20.
解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为
x 与z ，由题设有0.80.991
x
x +=+，解得19x =
由0.95c
=得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程
0.950.99y a
y a
+=+，解得4y a =，故43z a =+
即两种方案的用水量分别为19与43a +。

因为当13a £
£时，4(4)0x z a -=->，即x z >，
故方案乙的用水量较少
（Ⅱ）设初次与第二次清晰的用水辆分别为
x 与y ，类似（Ⅰ）得
54,(99100)5(1)
c x y a c c -==-- （*） 于是541(99100)100(1)15(1)
5(1)
c x y a c a c a c c -+
=
+-=
+-----
当a 为定值时，1100(1)14515(1)
x y a c a a a c +>
´
---=-+--
当且仅当
1100(1)5(1)a c c =--时等号成立，此时1
1105c a
=+
（不合题意，舍去） 或1
1105c
a =-
Î（0.80.8，
，0.990.99）） 将11105c
a
=-代入（代入（**）式得2
511,25x a y a =->-=-
故1
1105c
a
=-
时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为2
51-与25a -，最少总用
水量是
()451
T a a =-+-
当13a ££时，25
'()10T a a
=->，故()T a 是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）。

这说明，随着a 的值的增加，最少总用量增加。

21
解：解： (I) (I)当AB ^x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程x ＝1，从而点A 的坐标为（的坐标为（11，
32
）或（）或（11，3
2
-
）。

因为点A 在抛物线上，在抛物线上，所以所以924p =，即9
8p =。

此时C 2
的焦点坐标为9(,0)16，该焦点不在直线AB 上。

（II II））解法一 假设存在m 、p 的值使C 2的焦点恰在直线AB 上，上，由由(I)(I)知道直线知道直线AB 的斜率存在，的斜率存在，故可设直线故可设直线AB 的方程为
(1)y k x =-。

由22(1)
143y k x x y =-ìïí+=ïî
消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=......................................................①① 设A 、B 的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、，
则x 1、x 2是方程①的两根，
2
122
834k x x k
+=+，
由2
()2(1)
y m px y k x ì-=í=-î消去y 得
（kx kx－－k －m ）2＝2px
..........................
②
因为C 2的焦点'(,)2
p F m 在(1)y k x =-上，
所以(
1),2
p m
k =-即2
kp m k +=。

代入②有2
()22
kp kx px -
= 。

即222
2
2
(2)04
k p k x p k x -++
=。

....................................................③③
由x 1，x 2 也是方程③的两根， 所以2
12
2(2)p k x x k
++=。

从而222
28(2)34k p k k k +=
+，4
22
8(43)(2)
k p k k =++。

..........................
④
又AB 过C 1,C 2的焦点。

所以
12
12
1
211()()(2)(2)2
2
2
2
p
p AB x x x x p x x =+
++
=++=-+-，
则221222312412
4()4224343k k p x x k k +=-+=-=++。

⑤
由④，⑤得42
222
8412(43)(2)43
k k k k k +=+++。

即4
2
560k
k --=。

解得k 2
＝6。

于是6k
=±,4
3
p =。

因为C 2
得焦点
2
'(,)3F m 在直线6(1)
y x =±-上，所以26(1)3m =±-。

即6
3
m =或
63
m =-。

由上知，满足条件得m 、p 存在，且63m =或6
3
m =-，
43
p =
解法二 设A 、B 得坐标分别为（得坐标分别为（x x 1,y 1）,(x 2,y 2)
因为AB 即过C1得右焦点F （1，0），又过C2得焦点'(,)2
P F m 。

所以12
12
1
211()()(2)(2)2
2
22
p p AB x x x x p x x =+++
=++=-+-。

即122(4)3
x x p +=
-。

....................................................①①
由（由（I I ）知12x x ¹，2p ¹，于是直线AB 的斜率212122
12
y y m o m k p x x p --===---。

............②② 且直线AB 的方程是
2(1)2
m y x p =--。

所以121224(1)
(2)23(2)
m
m p y y x x p p -+=
+-=--。

....................................................③③
又因
为
221122223412
3412x y x y ì+=ïí
+=ïî
，所以
21121221
3()4()0y y x x y y x x -+++×=-。

....................................................④
④ 将①，②，③代入④得2
2
3(4)(2)16(1)
p p m p --=
-。

..........................
⑤ 因为22
2283412P x y =-ìí+=î
， 所以21122122x x y y m p y y -+-=-。

....................................................⑥⑥
将②、③代入⑥得2
2
3(2)1610p p m p
-=
-。

..........................
⑦
由⑤、⑦得
2
3
3(4)(2)3(2)
16(1)1610p p p p p p
---=--，即2
320320p
p +-=。

解得
43
P =或8P =-（舍去）。

将43P
=
代入○
5得2
23
m =，所以63m =
或6
3
m =-。

由上知，满足条件的m 、
p 存在，且63m =
或63
m =-，43
P
=。