广东省佛山市狮山高级中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析

广东省佛山市狮山高级中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知m、l是异面直线，有下面四个结论：
①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l 垂直；
③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等．
其中正确的结论
是
（）
A．①② B．①③ C．②③
D．①④
参考答案：
D
对于②若m、l不垂直，则满足条件的平面不存在．对于③m、l应为平行线．①④可推出，故选D．
2. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足
．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则（）
A． B． C.
D．
参考答案：
D 由抛物线定义得 ,在三角形AFB中
，所以，选D.
3. 如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
4. 若
A．B．
C． D．
参考答案：
C
5. 下列大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
6. 已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
A. 60种
B. 70种
C. 75种
D. 150种
参考答案：
C
试题分析：因,故应选C．
考点：排列数组合数公式及运用．
8. 已知，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，过点作圆：
的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B． C. D．
参考答案：
C
因为，故，即，故点M为线段的中点；连接，则为的中位线，且故，且；因为，故点N在双曲线的右支上，所以，则在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.
10. 已知直线与圆及抛物线依次
交于四点，则等于（）
A.10
B.12
C.14
D.16
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 表示不超过的最大整数.
那么
.
参考答案：
略
12. （几何证明选讲选做题）已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点，割线PCD经过圆心，若
PA=3,AB=4,PO=5，则⊙O的半径为_______________
参考答案：
2
13. 已知函数
，存在实数， 使得
有解，则实数的取值范
围为
;
参考答案：
14. 已知随机变量ξ服从二项分布的值为
__________.
参考答案：
略
15. 若
是两个单位向量，且
=，若
，则向量
= ．
参考答案：
﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】解：若，
则=（2
+
）?（﹣3+2
）
=﹣6
2
+22
+
?
=﹣6+2+=﹣， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
16. 已知整数满足
，则使函数的周期不小于的概率是 ．
参考答案：
17. 已知
，定义表示不超过的最大整数，则函数
的值域是 ▲ 。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）（2010?湖北）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1，0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有
＜
0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
考点： 抛物线的应用．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于过点M （m ，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A 、B ，则设该直线的方程为x=ty+m （包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；
再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现?＜0的等价转化；最后通过m 、t 的不等式求出m 的
取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，
于是①
又．?（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②
又，于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得
．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．
点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．
19. （本题12分）
两非零向量满足：垂直，集合是单元素集合。

（1）求的夹角
（2）若关于的不等式的解集为空集，求实数的值。

参考答案：
略
20. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．
（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．
【解答】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，
则．
所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．
（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．
其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．
21.
如图，，．垂直于于，垂直于于．
．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成的角；
（Ⅲ）为线段上的点，试确定点的位置，使得．参考答案：
解析：解法一：（1）证明：因为，
所以,又,
所以,则,
又,所以,
得又,所以．
(2)在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，
连结AF,因为,所以,
所以为直线AB和平面ADE所成的角．
在三角形PBC中， PD=，则BD=，得BF=．
在中,，线AB与面ADE所成角为．
（3）过点B作BM∥DE交PC于点M,过M作M∥AE交AC于点Q，则平面BMQ∥平面ADE,得B∥平面ADE,点Q即为所求的点.
下面确定点Q的位置。

因为BM∥DE，则,可得点M为CE的中点，因为
MQ∥AE，所以点Q为AC中点．
解法二：（1）同解法一
（2）过点B作BZ∥AP,则BZ平面ABC,如图所示，分别以BA,BC,BZ所在直线为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系。

则A（1，0，0）,C（0，1，0）, P（1，0，）
因为．
设向量所成的角为，则，
则直线AB与平面ADE所成的角为．
（3）因为,所以,
又平面得,所以，Q为AC的中点．
22. 如图，已知直线与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）。

（1）若动点M满足，求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点B的直线（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同
的两点E、F（E在B、F之间），且，试求的取值范围。

参考答案：
解：（1）的斜率为∴直线l的方程为∴点A坐标为A（1，0）设M（x、y），则
由得整理得--------6分
（2）由题意，设的方程为
由得由得
设，则①
②且
由①知，③
④由②③④知：
即
解得又--------------14分略。