5.2.1 三角函数的概念 教学设计(2)

【新教材】5.2.1 三角函数的概念
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。

三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。

三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。

紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。

三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。

三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；
2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；
3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；
4.数学运算：诱导公式一的运用.
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系
中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O 为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课
阅读课本177-180页，思考并完成以下问题
1．任意角三角函数的定义？
2．任意角三角函数在各象限的符号？ 3．诱导公式一？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：
图1­2­1 (2)结论
①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y
x
(x ≠0)． (3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数 定义 定义域 名称
sinα y r
R 正弦 cosα x r R
余弦
tanα
y x
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪
α≠k π＋π
2，k ∈Z
正切
正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3三角函数 定义域 sin α R cos α R
tan α
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈R ⎪⎪
x ≠k π＋π
2，k ∈Z
4
(1)图示：
图1­2­2
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一
四、典例分析、举一反三
题型一 三角函数的定义及应用
例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－5
5，tan α＝－2.
当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝5
5，tan α＝－2.
【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，
所以sin α＝
25＝255，cos α＝－15
＝－55，tan α＝2
－1＝－2.
当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P ′(1，－2)，则r ＝12＋－22＝
5，
所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝5
5
，tan α＝－21＝－2.
解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝x
r
.当已知α
的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 跟踪训练一
1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10
10
x ，求sin θ，tan θ.
【答案】当x ＝1时，sin θ＝310
10，tan θ＝3；
当x ＝－1时，此时sin θ＝310
10
，tan θ＝－3.
【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x
x 2＋9
.
又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝10
10
x .∵x ≠0，∴x ＝±1.
当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝
312＋32
＝31010，tan θ＝3
1＝3.
当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3
－1＝－3.
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．
(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π
4；③cos 5.
【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan 7π
4
<0；③cos 5>0.
【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．
(2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；
②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π
2
<5<2π，∴cos 5>0.
解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号． 跟踪训练二
1．确定下列式子的符号：
(1) tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan
11π6
sin
2π3；(3)tan 120°·sin 269°.
【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) cos 5π6·tan
11π6
sin
2π3
＞0；
（3）tan 120°sin 269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π
3
是第二象限角，
∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π
3＞0.从而cos 5π6·tan
11π6sin
2π
3
＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
从而tan 120°sin 269°＞0.
题型三 诱导公式一的应用
例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3. 【答案】（1）32；（2）5
4
.
【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝3
2
.
(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝
⎛⎭⎫4π＋π3
＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54
.
解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 跟踪训练三
1．化简下列各式：
(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；
(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12
5
π·tan 4π. 【答案】（1）(a －b )2 ； （2）1
2.
【解析】(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)
＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.
(2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 12
5
π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12
. 五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计
七、作业
课本179页练习及182页练习.
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用
.。