沪科版九年级数学下册_24.7 弧长与扇形面积

C1R)
.
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3. 弓形的面积
知2－讲
(1) 当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与
三角形面积的差，即 S 弓形 =S 扇形－ S 三角形； (2) 当弓形的 弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，
即S弓形 =S 扇形 +S 三角形； (3) 当弓形的弧等于半圆时，它的
面积等于圆面积的一半，即S
为 90°，连接 AB，则图中阴影部分的面积是( )
A.π －2
B.2π －4
C. 4π －2
D.4π －4
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解题秘方：用弓形面积公式计算 .
解： S 阴影=S 扇形 AOB － S △ AOB=
90π×22 360
－12×2×2=
π
－2.
答案：A
知2－练
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知2－练
解法提醒 所谓弓形就是由弦及其所对的弧组成的图形，
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解：(1)由题意得扇形AOB的弧长 = 120×18π0×9=6π ( cm ) ， S 扇形 AOB= 120×36π0×92=27π ( cm2 ) .
知3－练
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(2)如图 24.7 － 8 所示， C 为底面圆上一点， 连接 CH， 则 CH 为底面圆的半径， OC 为 母线长， 且OH ⊥ CH. 由题意可得 OC=9cm， CH= 62ππ=3 ( cm ) . ∴ OH= OC2 － CH2 =6 2 cm.
弓形
=
1 2
S
提醒 扇形面积公式中的n与弧长公式中的n一样， 应
该理解为1°的n倍，不带单位. 根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形， C1，
n， R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个.
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知2－练
例2 如图 24.7－2，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角
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知3－练
例4
如图 24.7－7，已知扇形 AOB 的圆心角为 120°，
半径为 9 cm. (1)求扇形 AOB 的弧长和面积 . (2)把扇形
纸片AOB 卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高
OH.
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知3－练
解题秘方：(1)根据弧长公式和扇形面积公式求解 即可；(2)先求出底面圆的半径，然后 利用勾股定理求解即可 .
公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180
倍， n， 180 不带单位.
题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子
表示弧长.
在弧长公式中，已知C1，n，r中任意两个量， 都可求出第三个量.
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2. 弧、弧长、弧的度数之间的关系
知1－讲
(1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
(2)度数相等的弧，弧长不一定相等；
与圆有关的计算
弧长
扇形 圆锥的 面积 侧面积
圆锥的 全面积
知1－练
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知1－练
(1) 请写出 A1、 B1、 C1 三点的坐标： A1 ， B1 ， C1 ；
(2) 求点 B 旋转到点 B1 的弧长．
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解题秘方：(1)根据图即可得出各点的坐标； (2)根 知1－练 据弧长公式直接求值即可．
解： (1) (1，1)；(0，4)；(2，2)
(2)由题意知，点 B 旋转到点 B1 的弧所在圆的半径为 4，弧所对的圆心角为 90°，∴弧长 =901π8×0 4 =2π．
(3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆
或等圆中，弧长相等的弧才是等弧 .
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例1 [ 中考·湘潭 ] 如图 24.7－1，在 平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A( －1， 1)， B(－4，0)， C(－2，2)．将△ ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后 得到△ A1B1C1．
因 此 S 侧=S 扇 形= 12×2πr× l=πrl， S 全=S 侧+S 底=πrl+πr2=πr( l+r) .
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知3－讲
警示误区 解决有关圆锥的计算题的关键是理清立体图与
平面展开图的联系与区别，特别是不要混淆底面圆 半径r和侧面展开图的扇形的半径l. 记住： 圆锥侧面 展开图的扇形的半径等于圆锥的母线长 .
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特别提醒 雨刷器AC扫过的面积可转化为图24.7－4中阴影部分
的面积 .
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知2－练
解题秘方：利用旋转，将不规则图形的面积转化 为规则图形的面积，本题利用 S 扇形 = n3π6R02求扇形的面积 .
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解： △ A′C′ O 是△ ACO 绕 O 旋转 90°得到的三 角形，∴△ AOC ≌△ A′OC′ .
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知识点 2 扇形及其面积公式
1.扇形 两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形 .
知2－讲
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2. 扇形面积公式
知2－讲
(1)已知半径 R 和 n°的圆心角，则S 扇形=n3π6R02 ；
(2)已知弧长
C1
和半径
R，则S
扇形
=
1 2
C1r(推导过程：
S
扇形
=
nπ R2 360
=
1 2
·n1π80R·R=12
知3－讲
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知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段 叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 .
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知3－讲
特别提醒 1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 . 2.圆锥的母线长都相等 . 3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三
角形，有l2=h2+r2，已知 l，h 和r中任意两个量都可 以求出第三个量 .
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2. 圆锥的侧面积和全面积
知3－讲
如图 24.7－6，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得
到，圆锥的侧面展开图是一个扇形 .
设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，
那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2π r，
知3－练
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特别提醒 关于圆锥计算的题型主要有三种：
知3－练
1.圆锥的底面圆半径、高、母线长中已知两个量，求
圆锥的侧面积或全面积；
2.已知圆锥的侧面积和底面圆半径，求母线长或高或
圆锥侧面展开图的圆心角；
3.已知圆锥侧面展开图的弧长及圆心角的度数，求圆
锥的底面圆半径或高 .
课堂小结
弧长与扇形 面积
第二十四章
圆
24.7 弧长与扇形面积
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
弧长公式 扇形及其面积公式 圆锥
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
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知识点 1 弧长公式
知1－讲
1.弧长公式 半径为 R的圆中， n°的圆心角所对的弧长C1 的计算公式为C1 = n1π80R.
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特别提醒
知1－讲
求弓形的面积一般转化为扇形的面积与三角形的面 积之差(和).
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知2－练
例3 如图 24.7－3， AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器， 如果AO =45 cm， CO =5 cm，当 AC 绕点 O 顺时针旋 转 90°时，雨刷器 AC 扫过的面积为__________ cm2. (结果保留 π)
∴雨刷器 AC 扫过的面积 =扇形 AOA′的面积 － 扇
形 COC′的面积=90π3×60452 －90π36×052 =452－4 52×π=500π( cm2) . 答案：500π
知2－练
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知识点 3 圆锥
1. 与圆锥有关的概念 (1) 圆锥： 圆锥是由一个底面和一个侧面围 成的几何体(如图 24.7－5)，圆锥可以看 作是一个直角三角形绕它的一条直角边 所在的直线旋转一周所形成的图形，这 条直线叫做圆锥的轴 .