2020年江苏省无锡市重点中学高三数学理月考试题含解析

2020年江苏省无锡市重点中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E ，F 为边BC 的三等分点，则=（ ）
．
B ．
C ．
D
参考答案：
A 略
2. 设全集U 是实数集R ，
，则 (A)
(B)
(C)
(
D)
参考答案：
A
3. 已知函数
有三个不同的零点，（其中
），则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．-1
D ．1
参考答案：
D
4. 的展开式的系数是 （ ）
A.
B.
C.0
D.3
参考答案： A
5. 函数
恰有两个零点，则实数k 的范围是（ ）
A.（0，1)
B.（0，l ）U （1,2）
C. (1，＋oo ） D 、（一oo,2)
参考答案：
B
【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9
解析：由题意，令f （x ）=0，则
令，，则y1==，图象如图所示
表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，∴k 的取值范围是（0，1）∪（1，
2）， 故选B.
【思路点拨】令f （x ）=0，则
，构建函数，作出函数的图象，即可求得k 的取值范围．
6. 对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总 有 |1－
|≤， 则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)= x∈[4，16]
的是()
A. g(x)=2x+6 x∈[4，16]
B. g(x)=x 2
+9 x∈[4，16]
C. g(x)=
(x+8) x∈[4，16] D. g(x)=
(x+6) x∈[4，16]
参考答案：
D
7. 设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，
的最小值为1（ ）
A.若确定，则唯一确定
B.若确定，则唯一确定
C.若确定，则唯一确定
D.若确定，则唯一确定参考答案：
D
8. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
9. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（）
A．B．2 C．D．4
参考答案：
A
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，
∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．
则ab的最小值为．
故选：A．10. 若实数a，b，c，d满足，则的
最小值为（）
A．B．8 C．D．2
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿桑涛侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥
的内切球的表面积为
参考答案：
12. 已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为．
参考答案：
（﹣2，9）
【考点】导数的几何意义．
【分析】求导函数，令其值为﹣8，即可求得结论．
【解答】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，
令4x0=﹣8，则x0=﹣2，∴y0=9，
∴点M的坐标是（﹣2，9），
故答案为：（﹣2，9）．
13. 在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P作双曲线C：的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则双曲线C的离心率的值是
参考答案：
14. （极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点
到圆心的距离
为
；
参考答案：
曲线方程的直角坐标方程为，所以圆心为（0,2），又点
的直角坐
标方程为
，所以点A 与圆心的距离为。

15. 设||=1，||=2，且，的夹角为120°；则|2+|等于 ．
参考答案：
2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用数量积定义和数量积的性质即可得出． 【解答】解：∵||=1，||=2，且，的夹角为120°， ∴
=
=﹣1．
∴|2+|====2．
故答案为：2．
16. 复平面上，非零复数z 1，z 2在以i 为圆心，1为半径的圆上，·z 2的实部为零，z 1的辐角主值为，则z 2=_______．
参考答案： －+i
解：z 1满足|z －i |=1；argz 1=，得z 1=+i ，=cos(－)+i sin(－)．
设z 2的辐角为θ(0<θ<π)，则z 2=2sin θ(cos θ+i sin θ)．·z 2=2sin θ[cos(θ
－)+i sin(θ－)]，若其实部为0，则θ－=，于是θ=．z 2=－+i ．
17. 若变量x ，y 满足约束条件
则z=3x ﹣y 的最小值为 ．
参考答案：
﹣3
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
A（0，3），
化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分) 已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并指出此时相应的x的值．
参考答案：
解：(1)
∴ ··························· 4分由，得
∴单调递减区间为 (7)
分
(2) 由 (1) 知∵∴
∴当
当 13分
略
19. 已知平面直角坐标系上的三点，，（），且与
共线.
（1）求；（2）求的值.
参考答案：
解：（1）解法1：由题意得：，，……………………………2分
∵，
∴，……………………………4分
∴.
……………………………6分
（2）∵，，∴，
由，解得，
，…………………8分
∴；；…………10分
∴．
………13分
20. （本小题满分 12分）
如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）如果=2，=，,，求的长。

参考答案：
21. （本题满分13分）
设，，且中元素满足：对任何
，恒有．（1）试说明：集合的所有元素之和必为偶数；
（2）如果，试求的值
参考答案：
解析：（1）将集合的所有元素分组为、、……、、，共100组；由已知得，集合的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．………………3分
∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个，
∴集合的所有元素之和必为偶数．………………5分
（2）不妨设为依次从以上前99个集合中选取的元素，，
且记各集合的落选元素分别为，则，，
由于=
∴+
===2646700，……①………8分
而+=，
=10002-100=9902，
∴=19800-9902=9898 ………………10分
∴-
=++…++
=++…++
=200-）+10000
=……②…………………12分
由①②得：=1328750 ．………………13分
22. （本小题满分12分）
如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆有两个不同的交
点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．
参考答案：
【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系. H5 H8
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
解析：（Ⅰ）根据题意得解得，所以椭圆E标准方程为.---------4分
（Ⅱ）设，把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，
得，所以，-----8分
，即-------9分
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，所以,即，
又，
由得，又成立，得，故实数m的取值范围是.
【思路点拨】（Ⅰ）由已知得关于a,b,c的方程组，解得a,b即可；（Ⅱ）设，把直线方程代入椭圆方程消去y，得，所以
，，即
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，所以,即，
把韦达定理代入上式得，结合，所以，
故实数m的取值范围是.。