2021年高考微专题 空间几何体外接球和内切球

微专题 空间几何体外接球和内切球
1.求外接球半径常用方法
【一】高过外心
1.例题
【例1】已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，2PA AB ==，则球O 的表面积为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π
【解析】∵正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ＝AB ＝2， ∴连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，OA ＝OB ＝OC ＝OD 12AC === OP =O 是球心，球O 的半径r =
∴球O 的表面积为S ＝4πr 2
＝8π．故选：C ．
2.巩固提升综合练习
【练习1】在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8π
B ．
163
π C ．
43
π D
【解析】因为1,AB AC BC ===，由余弦定理可求得23
BAC π∠=
， 再由正弦定理可求得ABC ∆的外接圆的半径
122sin
3
BC
r π=
=， 因为2PA PB PC ===，所以P 在底面上的射影为ABC ∆的外心D
，且PD =， 设其外接球的半径为R
，则有2221)R R =+
，解得R = 所以其表面积为2
4164433
S R πππ==⨯=，故选B. 【二】高不过外心
1.例题
【例1】（1）长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB =2，AD =√3，AA 1=1，则球的表面积为______．
（2）已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ） （3）已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，
2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．
D ．16π
【解析】（1）因为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上， 所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为R ，因为AB =2，AD =√3，AA 1=1，
所以4R 2=22+√32
+12=8，球的表面积为4πR 2=8π，故答案8π.
（2）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：0
3
,2sin 60r r r =⇒=外接
球表面积为16π242R R π=⇒=
外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示
在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ====+=
解得1,2OM MN h === 故棱柱的体积为：133222V Sh ==⨯⨯⨯= 故答案为：D. （3）取BC 中点E ，连接,,AE DE BD
//AD BC 且1
2AD BC EC =
=，∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC =，1
2
DE BC ∴=，AE DE BE EC ∴===，E ∴为四边形ABCD 的外接
圆圆心，设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD ， 作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==，
设AF x =，OP OA R ==，则()2
2444x x +-=+，解得：2x =，R ∴=
=
∴球O 的体积：3433
V R π==本题正确选项：A 2.巩固提升综合练习
【练习1】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，12,4
AA BC BAC π
==∠=
，则三棱柱
111ABC A B C -外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，111A B C ∆的外接圆圆心为2O ， 球的球心为O ，因为三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直， 所以球的球心为12O O 的中点，且直线12O O
与上、下底面垂直，且
122sin
4O C π
=
=，11O O =，所
以在1O Rt O C ∆
中，OC ==
3
43
R π=，故选D 。

【练习2】四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92
π
的同一球面上，则PA 的长为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．
12
【解析】
连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE ∥PA,
OE ⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，
可得12R PC ==
3
4932ππ⋅=，解得PA=1,故选C. 【练习3】四棱锥A BCDE -的各顶点都在同一球面上，AB ⊥底面BCDE ，底面BCDE 为梯形，
60BCD ∠=，且2AB CB BE ED ＝＝＝＝，则此球的表面积等于（ ）
A ．25π
B ．24π
C ．20π
D ．16π
【解析】如图，
由已知可得，底面四边形BCDE 为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为G ，连接BG ，则2
24sin30
BG =
=，
2BG ∴=，又2AB =，设四棱锥外接球的球心为O ，
则OA =
∴
此球的表面积等于2
420ππ⨯
=．故选：C ．
2.常见几何体的外接球【一】长（正）方体外接球
1.例题
【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O的表面上，则此球的表面积为________
【解析】长方体外接球半径：
2
29
2
4
3
22
2
2
=
+
+
=
R，所以外接球面积：π
π29
42=
=R
S
【例2】一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______
【解析】设正方体棱长为a，则18
62=
a，∴3
=
a.
设球的半径为R，则由题意知
2
3
2
3
=
=a
R.故球的体积π
π
2
9
3
4
3=
=R
V.
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是_______
【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C
'
-''，如图所示：
其中，三角形ABC是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的
半径为2
=
∴该几何体的外接球的表面积为(2
448ππ⨯=.故答案为48π.
【练习2】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，
的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A ．
B ．
C ． D
【解析】平面D D AA 11截面所得圆面的半径为22
2212
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=r ，直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径，为22=r
【二】棱柱的外接球
1.例题
【例1】直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
【解析】AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，所以5=b 底面外接圆的半径：2
5
sin 21==
B b r ，1
11C B A ABC -是直三棱柱，5=h ，
所以几何体外接球半径2
25)2(22=+=h r R ；故该球的表面积为:ππ5042
==R S
【例2】直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2
112
+
直棱柱外接球的求法—汉堡模型
1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理
1）第一步：求底面外接圆的半径：A
a
r sin 21=
（a 为角A 的对边）；
2）第二步：由勾股定理得外接球半径：22)2
(h
r R +=（h 为直棱柱侧棱高度）
A ．12π
B ．16π
C ．28π
D ．36π
【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面外接圆的半径：23sin 3
221==
πr ， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则32=h ，所以外接球半径7)2
(22=+=h
r R ，
∴外接球的表面积ππ2842
==R S ．故选：C 2.巩固提升综合练习
【练习1】设直三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是π40，
1AA AC AB ==，o 120=∠BAC ，则此直三棱柱的高是________.
【解析】设BAC ∆边长为a ，则BAC ∆
外接圆半径为12sin
3
a
=，因为2244010R R ππ=∴=
所以2
2210,2a R a a ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
即直三棱柱的高是【三】 棱锥的外接
类型一：正棱锥型 （如下图1，以正三棱锥为例，顶点P 的投影落在ABC ∆的外心上） 1) 求底面外接圆半径：A
a
r sin 21=（a 为角A 的对边）；
2) 求出r AH 3
2
=
，求出棱锥高度2
2AH
PA PH h -==;
3) 由勾股定理得外接球半径:()2
22
2
)3
2(r R h AH
OH R +-=
+=.
图1
图2
1.例题
【例1】已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）
A.
1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569
π
【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O
1O D ∴'=
正四棱锥的体积为2
2
1
23
P ABCD
V PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=
类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径）
题设：2
π
=
∠=∠AQB APB ,且ABQ ABP 面面⊥ 则外接球半径：2
AB R =
3OO PO PO R ∴-'=='-
在D O O Rt '∆中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='
即()2
2
2
31R R -+=，解得53R =2
344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭
球故选C 【例2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =，
AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有
()cos 2cos c B a b C =-，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. 40π
B. 20π
C. 12π
D.
203
π
【解析】设该三棱锥外接球的半径为R . 在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C
=-
∴cos cos 2cos c B b C a C +=
∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.
∵sin 0A ≠∴1cos 2C =
∵()0,C π∈∴3
C π= ∴由正弦定理，
2sin
3
r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC
∴()()()222
22PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.
【例3】已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =
，AC =
BC CD BD ===，则球O 的表面积为( )
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．36π
【解析】
3AB =
，AC =
BC =，222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，
ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，
43
sin
32sin 2==
∠=
π
BCD
BC R ，∴球O 的表面积为2416R ππ=．故选：C ．
【例4】三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．12π
B ．20π
C ．32π
D ．100π
【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒，
又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心，则
2
2sin sin 30AC CG ABC ==∠︒
，2CG ∴=．
再设CG 交AB 于D ，可得1CD =
，AB =1DG =．在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ， 则2
23
BH PH PD ==
=．过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ， 则O 为该三棱锥的外接球的球心，
则半径R OB ==
=
∴
该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=．故选：B ．
【例5】在四面体ABCD
中，AB =，1DA DB CA CB ====，则四面体ABCD 的外接球的表面积
为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
【解析】由AB =
1DA DB CA CB ====，所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=
可得90ACB ADB ∠=∠=，所以OA OB OC OD ====
，
即O 为外接球的球心，球的半径R =
所以四面体ABCD 的外接球的表面积为： 21
4422
S R πππ==⨯
=.故选：B 【例6】已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，
PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为( )
A ．2a π
B ．4a π
C ．2
3a π
D ．4
3
a π
【解析】如下图所示，
设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，
由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且PBC ∆的面积为21
2
PBC S PC OB R ∆=
=， PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，
平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111
333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，
因此，球O 的体积为3341
4433
R R a πππ=⨯=，故选：B ．
【例7】在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．7π B ．8π
C ．
163
π
D ．
283
π
【答案】D
【解析】如图，取B D 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形
所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F
则由AH ＝2=AE 23=AH =
EH 13=AH = 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，所以OE ＝1，则R ＝OA 3
=
=
， 则三棱锥外接球的表面积2
21284493
R πππ=⨯
=，故选：D
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π
【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则1
2,2
AO AC PA PO =
=''=⊥平面ABCD,故
PO ='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，
则球
的半径故外接球的表面积为2
48,S R ππ==故选C.
【练习2】如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为
O 的表面积是( )
A ．4π
B ．
323
π
C ．16π
D ．36π
【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，
3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，
在Rt OMB ∆中，2
2
(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．
【练习3】（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S 一ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为1的正三角形，二面角A ﹣BC ﹣S 的大小为
23
π
，若S ，A ，B ，C 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．
73
π B ．
133
π C ．
43
π D ．3π
【解析】取线段BC 的中点D ，连结AD ，SD ，由题意得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ， ∴∠ADS 是二面角A ﹣BC ﹣S 的平面角，∴∠ADS 23
π
=
，由题意得BC ⊥平面ADS ， 分别取AD ，SD 的三等分点E ，F ，在平面ADS 内，过点E ，F 分别作直线垂直于AD ，SD ， 两条直线的交点即球心O ，连结OA ，则球O 半径R ＝|OA |， 由题意知BD 12=
，AD 3=，DE 133AD ==，AE 233AD ==，
连结OD ，在Rt △ODE 中，3
ODE π
∠=，OE =12=
，∴OA 2＝OE 2+AE 2
712
=， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 273
π
=
．故选：A ．
【练习9】四面体SABC 中，AC BC ⊥，SA ⊥平面ABC
，SA =
AC =
，BC =，则该四
面体外接球的表面积为（ ） A ．
323
π
B ．
163
π
C ．16π
D ．32π
【解析】如图所示：
由已知可得SAB 与SBC 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB 的中点O ，
因为AC BC =
=,且AC BC ⊥,所以10AB
,
所以4SB =,
所以四面体SABC 的外接球半径2R =,则表面积2416S R ππ==.故答案选：C 【四】墙角型
1.例题
【例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）
题设：墙角型（三条线两两垂直）
方法：找到3条两两互相垂直的线段
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体． 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体． 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
墙角型外接球半径：2
2
22c b a R ++=（c b a ,,分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）
A ．
3
B C ．3π D ．
【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．
故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径22r ==
，
则：3
4322V π⎛=⋅⋅= ⎝⎭
.故选：B ． 2.巩固提升综合练习
【练习1】已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )
A ．24π
B ．20π
C ．16π
D ．12π
【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ， 其外接球即为正方体1AC 的外接球，
由1AC =
=
∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．故选：D ．
【练习2】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6π
C ．4π
D ．3π
【解析】
在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，
∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，
则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，
∴三棱锥P ABC -
的外接球的半径r =
= ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．故选：A ．
四、空间几何内切球
1.例题
【例1】若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 ． 【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为1
64122
⨯⨯=． 设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积1
4163
ABC V S r r ∆=
=， 取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，则CD ⊥平面AOB ，
4AO BO ∴==，162
AOB S ∆=⨯=
1
2233
A BCD C AO
B V V --∴==⨯⨯=
16r ∴=
，解得r =． ∴内切球的表面积为263416S r ππ==
． 故答案为：6316
π
．
2.巩固提升综合练习
【练习1】一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为( )
A
B
C
D
【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ， 内切球的半径为r
，可得：21111222(322)3232r ⨯
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+
，解得r =
=
． 故选：A ．
【练习2】球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1:1
B ．2:1
C ．3:2
D ．4:3
【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，
222226S R R R R πππ∴=⨯+⨯=圆柱，24S R π=球．∴此圆柱的全面积与球表面积之比是：
22
63
42
S R S R ππ==圆柱球．故选：C ．
六、课后自我检测
1．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱
锥体积之比是4π，AC = （ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π
2
ACB ∠=，设球的半径为R ，根据题目
所给体积比有
34π11
4π332
R R =⋅⋅，解得1R =，故球的表面积为4π.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）
A B C ．
193
π
D ．
223
π
的四棱锥，且侧面PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：
还原长方体的长是2，宽为1
设四棱锥的外接球的球心为O ，则过O 作OM 垂直平面PAB ，M 为三角形PAB 的外心，作ON 垂直平面ABCD ，
则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,233
OM ON =
==
所以外接球的半径2
2
2
2219((3212R ON AN R =+=+=∴=
所以外接球的体积343V R π=
= 故选A 3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．√6π
B ．6π
C ．9π
D ．24π
【答案】B
【解析】如图所示，该几何体底面ABCD 为矩形，
其中PD ⊥底面ABCD ．AB =1，AD =2，PD =1．则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6． ∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√62
)2=6π．故选：B ．
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积是：（ ）
A ．8π
B ．12√3π
C ．12π
D ．48π
【答案】C
【解析】由三视图还原几何体如图，
可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2。

把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．
∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4π×(√3)2=12π．故选：C ．
7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）
A ．3
B ．8π
C ．3
D ．43
π 【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，
因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==，
又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==
所以R =3344333
V R ππ==⨯=，故选C. 8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．32π
D ．48π
【解析】由题得几何体原图如图所示，
其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以,SC =
设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，
在直角三角形SBC 中，OB=12
SC =所以,
所以点O
所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.故选：B
9．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =
，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，
若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A B ．3 C ．2π D ．3π
【解析】根据题意, 21===AB PB PA ， ，PAB ∆∴是直角三角形
又 平面PAB ⊥平面ABC ，所以，三棱锥P ABC -外接球半径等于ABC ∆的外接圆半径
AB BC ⊥,21==AB BC ，,32==∴AC R ，∴球的表面积为243R ππ=故选D 。

10．已知三棱锥D ABC -的体积为6，在ABC ∆中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，且三棱锥D ABC
-的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的表面积等于（ ）
A ．323π
B ．643π
C ．43π
D ．42π
【解析】在ABC ∆中，由余弦定理得BC ==222+AB BC AC = ABC ∴∆是直角三角形
设三棱锥D ABC -的高为h 则三棱锥体积112632
V h =⨯⨯⨯=，解得h = 取AC 边的中点为1O ，则1O 为ABC ∆外接圆圆心，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，如下图所示：
则12h OO ==，则2R OA ==== ∴球O 的表面积2443S R ππ==本题正确选项：C
11．已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23
ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为（ ）
A ．120π
B ．64π
C ．32π
D ．16π 【解析】原题如下图所示：
由2AB BC ==，23ABC π∠=
得：BC =
12sin 23
ABC S AB BC π∆=⋅=设ABC ∆外接圆圆心为O '，则OO O ''⊥；由正弦定理可知，ABC ∆
外接圆半径：
222sin 3O A π'== 设S 到面ABC 距离为d ，由SB 为球O 直径可知：12OO d '=
143O ABC V d -∴==
，d ∴=
OO '=
∴
球的半径4OA ===，球O 的表面积24464S ππ=⨯=
本题正确选项：B
12．在三棱锥A BCD -中，BC BD ⊥，
43AB AD BD ===，6BC =，平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球体积为( )
A ．36π
B ．2563π
C ．5003π
D ．288π 【解析】平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC BD ⊥，BC ⊂平面BCD ，BC ∴⊥平面ABD ，
AB AD BD ===ABD ∆是边长为
由正弦定理得ABD ∆的外接圆的直径为28sin 3AB
r π
==，
所以，该球的直径为210R ==，则5R =，
因此，三棱锥A BCD -的外接球体积为33445005333V R πππ=
=⨯=．故选：C ． 13．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A ．23
B ．49
C ．9
D ．827
【解析】设圆锥底面圆半径为R ，球的半径为r ，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆， 所以r=R ，S 球的表面积=2
22
34
443r R R πππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，S 圆锥表面积2223R R R R πππ=⋅+= . 所以球与圆锥的表面积之比为2244339
R R ππ=故选：B ． 14．体积为4π3
的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 【解析】 设球的半径为R ，由4π3R 3＝4π3
，得R ＝1，所以正三棱柱的高h ＝2. 设底面边长为a ，则13×32a ＝1，所以a ＝2 3.所以V ＝34
×(23)2×2＝6 3. 15．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．
【解析】四棱锥P ­ABCD 的体积为V ＝13PD ·S 正方形ABCD ＝13×1×22＝43
，如图所示，
易证PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，
所以，四棱锥P ­ABCD 的表面积为S ＝2×12×2×1＋2×12
×2×5＋22＝6＋25， 所以，四棱锥P ­ABCD 的内切球的半径为R ＝3V S ＝4
6＋25＝3－52， 因此，此球的最大表面积为4πR 2＝4π×⎝
⎛⎭
⎪⎫3－522＝(14－65)π.。