2018年高考数学第1轮复习第十一章概率11.3几何概型课件文新人教A版
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§11.3 几何概型
考纲展示► 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概 率．
2．了解几何概型的意义．
考点 1 与长度(角度)有关的几何概型
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几 何概型．
2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果__有__无__限__多__个___； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有___等__可__能__性_____．
则 AM＝2，有几何概型可知 P(AM<2)＝1＋2
＝ 3
3－1.
[点石成金] 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直 接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的 大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是 两种不同的度量手段．
[解析]
不等式－ 1≤log1
2
x＋12 ≤1
可化为
log1 2≤log1
2
2
x＋
12≤log12
12，即12≤x＋12≤2，解得
0≤x≤32，
故由几何概型的概率公式，得 P＝322－ －00＝34.
(2)在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到 12之间的概率为___13_____．
89 91 93 95 97 绩 x(分)
物理成 87 89 89 92 93
绩 y(分)
(1)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至 少有一人的物理成绩高于 90 分的概率；
(2)根据上表数据，用变量 y 与 x 的相关系数和散点图说明物 理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强 的线性相关关系，求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01)； 如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：
相关系数 r＝
n
xi－ x yi－ y
i＝1
；
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
角度二
与线性规划交汇命题的问题
[典题 4] [2017·山东枣庄八中模拟]在区间[1,5]和[2,6]上 分别取一个数，记为 a 和 b，则方程ax22－by22＝1(a<b)表示离心
率小于 5的双曲线的概率为( B )
1
15
A.2 B.32
17 31 C.32 D.32
[解析] ∵e2＝1＋ba2<5， ∴ba2<4，∴ba<2，即 a<b<2a.
热点一 统计与统计案例
能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解 独立性检验的基本思想、方法，在选择题或填空题中常涉及频率 分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查．
[典题 1] 一次考试中，五名学生Biblioteka 数学、物理成绩如下表所示：
学生 A1 A2 A3 A4 A5 数学成
作出12≤≤ab≤≤56， 表示的区域如图，
并作出直线 b＝2a 与 b＝a.
∴S 阴＝4×4－12×3×3－12×4×2＝125，
15 ∴所求概率 P＝SS正方阴形＝4×2 4＝1352.
[点石成金] 与线性规划交汇问题的处理方法 (1)根据题意，结合线性规划的知识作出相应不等式组表示的 可行域，确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型； (2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积．
解：依题意知 BC＝BD＋DC＝1＋ 3，
P(BM<1)＝1＋1
＝ 3
3－1 2.
[题点发散 2] 若本例(3)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC
于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”，求 AM<2 的概率．
解：在△ABD 中容易知道，AB＝2 ，BD＝1，
在△ADC 中，取 DC 边上一点 M，使得 DM＝1，
三棱锥A1－ABD 长方体ABCD－A1B1C1D1
1
11
＝V长3方A体AAB1C·SD－△AAB1BD1C1D1＝3AAAA11··2SS矩矩形形ABACBDCD＝16.
(2)[2017·河 北 保 定 联 考 ] 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－ A为1B_1_1－C__11Dπ_2_1_内_．随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率
3．几何概型的概率计算公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
[教材习题改编]在区间[－3,5]上随机取一个数 x，则 x∈[1,3] 1
的概率为___4_______．
解析：记“x∈[1,3]”为事件 A，则由几何概型的概率计算
公式可得 P(A)＝35－ ＋13＝14.
1
1
31
A.6 B.4 C.8 D.2
[解析] 由图形知 C(1,2)，D(－2,2)， ∴S 四边形 ABCD＝6， S 阴＝12×3×1＝32.
3 ∴P＝26＝14.
[点石成金] 与平面图形面积有关的问题的处理方法 (1)首先应根据题意确定所求事件构成的区域图形，判断是否 为几何概型； (2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积； (3)利用几何概型概率计算公式正确计算，需要注意计算的测 度是否一致．
④在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多 个点(无限性)，且点 P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都 相同(等可能性)，故是几何概型．
[典题 1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件
“－1≤log1
2
x＋12≤1”发生的概率为(
A)
3211 A.4 B.3 C.3 D.4
所以VVSS－－AAPBCC＝SS△△AAPBCC＝PBMN >13， 又PBMN ＝AABP， 所以AAPB>13， 故所求的概率为23(即为长度之比)．
考点 3 与面积有关的几何概型
(1)
[教材习题改编]如图所示，圆中阴影部分的圆心角为 45°，
某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分 1
高考中概率与统计问题的热点题型
1．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的 方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体， 注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化 能力．
2．概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、 独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计 问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方 图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年新课标全国卷突出回归 分析的考查．
解析：①在区间[－5,5]内有无限多个数，取到 1 这个数的概 率为 0，故是几何概型；
②在区间[－5,5]和[－1,1]内有无限多个数(无限性)，且在这 两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何 概型；
③在区间[－5,5]内的整数只有 11 个，不满足无限性，故不 是几何概型；
[2017·黑龙江五校联考]在体积为 V 的三棱锥 S－ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大于V3的概率是
2 ___3_____．
解析：由题意可知VVSS－ －AAPBCC>13，三棱锥 S－ABC 的高与三棱锥 S－APC 的高相同．
作 PM⊥AC 于 M，BN⊥AC 于 N，则 PM，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，
[考情聚焦] 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之 一．
主要有以下几个命题角度： 角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
[典题 3] (1)[2017·广东七校联考]如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B 分别为 60°和 45°，现向 圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率为 (B)
几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的 概率公式．
设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实 数，则斜边长小于34的概率为___96_π4______．
解析：设两条直角边长分别为 a，b，由已知可知 a2＋b2<
3 4
2，如图所示，
所以所求概率 P＝14π1××1342＝694π.
几何概型的特点：等可能性；无限性． 给出下列概率模型： ①在区间[－5,5]上任取一个数，求取到 1 的概率； ②在区间[－5,5]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数 的概率； ③在区间[－5,5]上任取一个整数，求取到大于 1 的数的概率； ④向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不超过 1 cm 的概率． 其中，是几何概型的有__①__②__④____．(填序号)
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生． 由几何概型的概率公式，得 P(N)＝3705°°＝25.
[题点发散 1] 若本例(3)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”，求 BM<1 的概率．
[解析] 当－π2≤x≤2π时，由 0≤cos x≤12，得－π2≤x≤－π3或 π3≤x≤π2，
根据几何概型概率公式得，所求概率为13.
(3)如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率．
[解] 因为∠B＝60°，∠C＝45°， 所以∠BAC＝75°. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°， 所以 BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30°.
考点 2 与体积有关的几何概型
[典题 2] (1)[2017·山东济南一模]如图，长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱
1 锥 A－A1BD 内的概率为___6_____．
[解析] 设事件 M＝“动点在三棱锥 A－A1BD 内”，
V V 三棱锥A－A1BD P(M)＝V ＝V 长方体ABCD－A1B1C1D1
3＋ 3 3＋ 3
4π
16π
A. 16π B. 4π C.3＋ 3 D.3＋ 3
[解析]
由
正
弦
定
理
sBinCA ＝
AC sin B
＝
2R(R
为圆的半径)⇒
BC＝20sin 60°， AC＝20sin 45°
⇒BACC＝ ＝1100
3， 2.
那么 S△ABC＝12×10 3×10 2sin 75°
＝12×10
3×10
2×
6＋ 4
2＝25(3＋
3)．
于是，豆子落在三角形
ABC
内
的
概
率
为
S△ABC 圆的面积
＝
253＋ 102π
3＝3＋4π
3 .
(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为
x＋1，x≥0， (1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象 上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的 概率等于( B )
[解析] 如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个半 球面，
其体积 V1＝12×43π×13＝23π. 事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积 为 23－23π，根据几何概型概率公式得，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P＝23－2323π＝1－1π2.
[点石成金] 与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利 用其对立事件去求.
的概率为____8______．
解析：所求概率为34650°°＝18.
(2)[教材习题改编]如图所示，在边长为 a 的正方形内有不规 则图形 Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 Ω 内和正方形内
ma2 的豆子数分别为 m，n，则图形 Ω 面积的估计值为___n_______．
解析：由题意知，不规则图形 Ω 的面积∶正方形的面积 ＝m∶n，所以不规则图形 Ω 的面积＝mn ×正方形的面积＝mn ×a2＝mna2.
考纲展示► 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概 率．
2．了解几何概型的意义．
考点 1 与长度(角度)有关的几何概型
1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积 或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几 何概型．
2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果__有__无__限__多__个___； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有___等__可__能__性_____．
则 AM＝2，有几何概型可知 P(AM<2)＝1＋2
＝ 3
3－1.
[点石成金] 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直 接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的 大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是 两种不同的度量手段．
[解析]
不等式－ 1≤log1
2
x＋12 ≤1
可化为
log1 2≤log1
2
2
x＋
12≤log12
12，即12≤x＋12≤2，解得
0≤x≤32，
故由几何概型的概率公式，得 P＝322－ －00＝34.
(2)在区间－π2，π2上随机取一个数 x，则 cos x 的值介于 0 到 12之间的概率为___13_____．
89 91 93 95 97 绩 x(分)
物理成 87 89 89 92 93
绩 y(分)
(1)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至 少有一人的物理成绩高于 90 分的概率；
(2)根据上表数据，用变量 y 与 x 的相关系数和散点图说明物 理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强 的线性相关关系，求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01)； 如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：
相关系数 r＝
n
xi－ x yi－ y
i＝1
；
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
角度二
与线性规划交汇命题的问题
[典题 4] [2017·山东枣庄八中模拟]在区间[1,5]和[2,6]上 分别取一个数，记为 a 和 b，则方程ax22－by22＝1(a<b)表示离心
率小于 5的双曲线的概率为( B )
1
15
A.2 B.32
17 31 C.32 D.32
[解析] ∵e2＝1＋ba2<5， ∴ba2<4，∴ba<2，即 a<b<2a.
热点一 统计与统计案例
能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解 独立性检验的基本思想、方法，在选择题或填空题中常涉及频率 分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查．
[典题 1] 一次考试中，五名学生Biblioteka 数学、物理成绩如下表所示：
学生 A1 A2 A3 A4 A5 数学成
作出12≤≤ab≤≤56， 表示的区域如图，
并作出直线 b＝2a 与 b＝a.
∴S 阴＝4×4－12×3×3－12×4×2＝125，
15 ∴所求概率 P＝SS正方阴形＝4×2 4＝1352.
[点石成金] 与线性规划交汇问题的处理方法 (1)根据题意，结合线性规划的知识作出相应不等式组表示的 可行域，确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型； (2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积．
解：依题意知 BC＝BD＋DC＝1＋ 3，
P(BM<1)＝1＋1
＝ 3
3－1 2.
[题点发散 2] 若本例(3)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC
于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”，求 AM<2 的概率．
解：在△ABD 中容易知道，AB＝2 ，BD＝1，
在△ADC 中，取 DC 边上一点 M，使得 DM＝1，
三棱锥A1－ABD 长方体ABCD－A1B1C1D1
1
11
＝V长3方A体AAB1C·SD－△AAB1BD1C1D1＝3AAAA11··2SS矩矩形形ABACBDCD＝16.
(2)[2017·河 北 保 定 联 考 ] 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD－ A为1B_1_1－C__11Dπ_2_1_内_．随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率
3．几何概型的概率计算公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
[教材习题改编]在区间[－3,5]上随机取一个数 x，则 x∈[1,3] 1
的概率为___4_______．
解析：记“x∈[1,3]”为事件 A，则由几何概型的概率计算
公式可得 P(A)＝35－ ＋13＝14.
1
1
31
A.6 B.4 C.8 D.2
[解析] 由图形知 C(1,2)，D(－2,2)， ∴S 四边形 ABCD＝6， S 阴＝12×3×1＝32.
3 ∴P＝26＝14.
[点石成金] 与平面图形面积有关的问题的处理方法 (1)首先应根据题意确定所求事件构成的区域图形，判断是否 为几何概型； (2)分别求出 Ω 和所求事件对应的区域面积； (3)利用几何概型概率计算公式正确计算，需要注意计算的测 度是否一致．
④在边长为 5 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多 个点(无限性)，且点 P 落在这两个区域内的任何位置的可能性都 相同(等可能性)，故是几何概型．
[典题 1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件
“－1≤log1
2
x＋12≤1”发生的概率为(
A)
3211 A.4 B.3 C.3 D.4
所以VVSS－－AAPBCC＝SS△△AAPBCC＝PBMN >13， 又PBMN ＝AABP， 所以AAPB>13， 故所求的概率为23(即为长度之比)．
考点 3 与面积有关的几何概型
(1)
[教材习题改编]如图所示，圆中阴影部分的圆心角为 45°，
某人向圆内投镖，假设他每次都投入圆内，那么他投中阴影部分 1
高考中概率与统计问题的热点题型
1．概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的 方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体， 注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化 能力．
2．概率问题的核心是概率计算．其中事件的互斥、对立、 独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具．统计 问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方 图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年新课标全国卷突出回归 分析的考查．
解析：①在区间[－5,5]内有无限多个数，取到 1 这个数的概 率为 0，故是几何概型；
②在区间[－5,5]和[－1,1]内有无限多个数(无限性)，且在这 两个区间内每个数被取到的可能性都相同(等可能性)，故是几何 概型；
③在区间[－5,5]内的整数只有 11 个，不满足无限性，故不 是几何概型；
[2017·黑龙江五校联考]在体积为 V 的三棱锥 S－ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大于V3的概率是
2 ___3_____．
解析：由题意可知VVSS－ －AAPBCC>13，三棱锥 S－ABC 的高与三棱锥 S－APC 的高相同．
作 PM⊥AC 于 M，BN⊥AC 于 N，则 PM，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，
[考情聚焦] 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之 一．
主要有以下几个命题角度： 角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
[典题 3] (1)[2017·广东七校联考]如图，已知圆的半径为 10，其内接三角形 ABC 的内角 A，B 分别为 60°和 45°，现向 圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形 ABC 内的概率为 (B)
几何概型：构成事件区域的长度(面积或体积)；几何概型的 概率公式．
设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实 数，则斜边长小于34的概率为___96_π4______．
解析：设两条直角边长分别为 a，b，由已知可知 a2＋b2<
3 4
2，如图所示，
所以所求概率 P＝14π1××1342＝694π.
几何概型的特点：等可能性；无限性． 给出下列概率模型： ①在区间[－5,5]上任取一个数，求取到 1 的概率； ②在区间[－5,5]上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数 的概率； ③在区间[－5,5]上任取一个整数，求取到大于 1 的数的概率； ④向一个边长为 5 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 与正方形 ABCD 的中心的距离不超过 1 cm 的概率． 其中，是几何概型的有__①__②__④____．(填序号)
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生． 由几何概型的概率公式，得 P(N)＝3705°°＝25.
[题点发散 1] 若本例(3)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”，求 BM<1 的概率．
[解析] 当－π2≤x≤2π时，由 0≤cos x≤12，得－π2≤x≤－π3或 π3≤x≤π2，
根据几何概型概率公式得，所求概率为13.
(3)如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率．
[解] 因为∠B＝60°，∠C＝45°， 所以∠BAC＝75°. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°， 所以 BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30°.
考点 2 与体积有关的几何概型
[典题 2] (1)[2017·山东济南一模]如图，长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱
1 锥 A－A1BD 内的概率为___6_____．
[解析] 设事件 M＝“动点在三棱锥 A－A1BD 内”，
V V 三棱锥A－A1BD P(M)＝V ＝V 长方体ABCD－A1B1C1D1
3＋ 3 3＋ 3
4π
16π
A. 16π B. 4π C.3＋ 3 D.3＋ 3
[解析]
由
正
弦
定
理
sBinCA ＝
AC sin B
＝
2R(R
为圆的半径)⇒
BC＝20sin 60°， AC＝20sin 45°
⇒BACC＝ ＝1100
3， 2.
那么 S△ABC＝12×10 3×10 2sin 75°
＝12×10
3×10
2×
6＋ 4
2＝25(3＋
3)．
于是，豆子落在三角形
ABC
内
的
概
率
为
S△ABC 圆的面积
＝
253＋ 102π
3＝3＋4π
3 .
(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为
x＋1，x≥0， (1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象 上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的 概率等于( B )
[解析] 如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个半 球面，
其体积 V1＝12×43π×13＝23π. 事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积 为 23－23π，根据几何概型概率公式得，点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P＝23－2323π＝1－1π2.
[点石成金] 与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积 (总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利 用其对立事件去求.
的概率为____8______．
解析：所求概率为34650°°＝18.
(2)[教材习题改编]如图所示，在边长为 a 的正方形内有不规 则图形 Ω，向正方形内随机撒豆子，若撒在图形 Ω 内和正方形内
ma2 的豆子数分别为 m，n，则图形 Ω 面积的估计值为___n_______．
解析：由题意知，不规则图形 Ω 的面积∶正方形的面积 ＝m∶n，所以不规则图形 Ω 的面积＝mn ×正方形的面积＝mn ×a2＝mna2.