2022年山西省晋中市东冶头中学高二数学理期末试卷含解析

2022年山西省晋中市东冶头中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “x＞1”是“（x+2）＜0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】充要条件．
【分析】解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．
【解答】解：由“（x+2）＜0”
得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，
故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，
故选：B．
2. 计算机执行右边的程序段后，输出的结果是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. 若正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点P满足，则动点P的轨迹为A．三段圆弧B．三条线
段
C．椭圆的一部分和两段圆弧D．双曲线的一部分和两条线段参考答案：
A 4. 已知，则函数的最大值是
（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
6. ．已知，则等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
7. 设i是虚数单位，若复数满足，则z=()
A. B.
C. D.
参考答案：
C
试题分析：==,故选C.
8. 已知函数，若，且函数的所有零点之和为，则实数a的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）
A．36 B．32 C．24 D．20
参考答案：
D
10. 已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=（）
A．B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】等比数列的性质．
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2，
即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，
所以q=，故a1=．
故选B．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校对全校900名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本．已知女生抽了25人，则该校的男生数应是人．
参考答案：
675
【考点】分层抽样方法．
【分析】先求出男生抽取到的人数，由此能求出该校的男生数．
【解答】解：∵某校对全校900名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本．
已知女生抽了25人，
∴男生抽了75人，
∴该校的男生数应是900×=675人．
故答案为：675．
【点评】本题考查学校男生人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．
12. 从中，可得一般规律为
.
参考答案：
13. 在平面直角坐标系中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离小于或等于1的点构成的区域，若向区域E中随机投一点，则所投点落在区域D中的概率是_________
参考答案：
14. 已知为等比数列，若，则的值为.参考答案：
1
略
15. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为
________．
参考答案：
50%
16. 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．
参考答案：
（x﹣1）2+y2=2
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，
∴m=1时，圆的半径最大为，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故答案为：（x﹣1）2+y2=2．
17. 函数的定义域是_________________________
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头；（2）甲、乙、丙三人必须在一起；
（3）甲、乙、丙三人两两不相邻; （4）甲不排头，乙不排当中。

参考答案：
解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；…………3分（2）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的
全排列，即，则共有种；…………6分
（3）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排
这五个空位，有，则共有种； (10)
分
（4）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即……………14分
略
19. 从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．
（Ⅰ）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值．
参考答案：
(1)定义域为。

（2）。

略
20. （本小题满分12分）
设等比数列的前项和为，且.
（1）求等比数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1），时
时，时
由于数列是等比数列，所以其公比…………3分
令得，，
等比数列的通项公式为 (6)
分
（2），…………8分
则，即得………10分
又为正整数存在正整数使得，正整数的最大值为3………12分
21. A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB=θ且
sinθ=．
（1）求B点坐标；
（2）求的值．
参考答案：
【分析】（1）根据角θ的终边与单位交点为（cosθ，sinθ），结合同角三角函数关系和
sinθ=，可得B点坐标；
（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案．
【解答】解：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），
则y=sinθ=．
x=﹣=﹣，
即B点坐标为：
（2）∵===．
【点评】本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用，诱导公式，难度不大，属于基础题．22. （本小题满分9分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
参考答案：
解：（Ⅰ）…………………………2分
.…………………………………3分
所以的最小正周期为.………………………………………………4分
（Ⅱ）因为，所以.…………………………………5分
所以.………………………………………………………7分
所以.
即的最大值为，最小值为.…………………………………9分。