广东高二高中数学月考试卷带答案解析

广东高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知数列{}的通项公式是＝()，则数列的第5项为（）
A．B．C．D．
2.在△ABC中，分别是三内角的对边, ,,则此三角形的最小边长为（）A．B．C．D．
3.设S
n 是等差数列｛a
n
｝的前n项和，若＝，则＝( )
A．B．C．D．
4.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于( ) A．B．C．D．
5.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）
A． sinA+cosA=B．·＞0
C． tanA+tanB+tanC＞0D． b=3，c=3，B=30°
6.在等差数列中，，其前项的和为．若，
则( )
A．B．C．D．
7.一直角三角形三边长成等比数列，且，则( )
A．三边长之比为3：4：5B．三边长之比为
C．较大锐角的余弦值为D．
8.在等差数列中，S
n
为其前n项和，,，，则的值为（）
A．14B．15C．16D．17
二、填空题
1.已知数列的前n项和,则的值为______
2.△中，内角，，对边的边长分别是，且，则△的面积等于_______．
3.已知等比数列满足，则_________.
4.已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题： ①d<0； ②S 11>0； ③S 12<0； ④使得S n >0的所有n 中的最大值为13； 其中正确命题的序号是_________．
5.甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的
倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向前进。

6.已知数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，，且对于任意正整数
，都有
，若
恒成立，则实数的最小值为___________.
三、解答题
1.
的面积是30，
分别是三内角
的对边，且
.
(1)求； (2)若，求的值。

2.已知等比数列{a n }中，a n > 0，公比q ∈(0,1)， 且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 3.在△中，内角
，
，
对边的边长分别是，已知
．
（1）若△的面积等于
，求，；
（2）若，求△
的面积．
4.某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元。

（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，按以下方案处理工厂：纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问多长时间可以出售该工厂？能获利多少？
5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线
上。

（1）求a 1和a 2的值；
（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
6.已知函数
满足
，且
有唯
一实数解。

（1）求的表达式 ； （2）记，且
＝
，求数列
的通项公式。

（3）记
，数列｛
｝的前 项和为 ，是否存在k ∈N *，使得
对任意n ∈N *恒成立？若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．
广东高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知数列{}的通项公式是＝()，则数列的第5项为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】故选A.
2.在△ABC中，分别是三内角的对边, ,,则此三角形的最小边长为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得所以
故选C
3.设S
n 是等差数列｛a
n
｝的前n项和，若＝，则＝( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设公差为则所以故选A
4.在中，分别是三内角的对边，且，则角等于( ) A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理及条件得：由余弦定理得
故选B
5.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）
A． sinA+cosA=B．·＞0
C． tanA+tanB+tanC＞0D． b=3，c=3，B=30°
【答案】C
【解析】所以是钝角；
B是钝角；
△ABC是锐角三角形；
故选C
6.在等差数列中，，其前项的和为．若，
则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】是等差数列的前项和，数列是首项为的等差数列；由条件知该数列公差为1；所以
；故选D
7.一直角三角形三边长成等比数列，且，则( )
A．三边长之比为3：4：5B．三边长之比为
C．较大锐角的余弦值为D．
【答案】C
【解析】所以，解得
最大锐角为故选C
为其前n项和，,，，则的值为（）
8.在等差数列中，S
n
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】,
故选择B
二、填空题
1.已知数列的前n 项和,则的值为 ______
【答案】20 【解析】略 2.△中，内角，，对边的边长分别是，且，则△的面积等于 _______．
【答案】
【解析】略
3.已知等比数列满足，则_________.
【答案】或
【解析】略
4.已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题： ①d<0； ②S 11>0； ③S 12<0； ④使得S n >0的所有n 中的最大值为13； 其中正确命题的序号是_________． 【答案】①② 【解析】略
5.甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的
倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________（填角度）的方向前进。

【答案】30° 【解析】略
6.已知数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，，且对于任意正整数
，都有
，若恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】
【解析】略
三、解答题
1.的面积是30，
分别是三内角
的对边，且
.
(1)求
； (2)若
，求的值。

【答案】解：(1)由，得
. 又
，
∴.
.
（2）
，
∴. 【解析】略
2.已知等比数列{a n }中，a n > 0，公比q ∈(0,1)， 且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
【答案】解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝，a 1＝16， ∴a n ＝16×()n －1＝25－n .
(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4， ∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝. 【解析】略
3.在△
中，内角
，
，
对边的边长分别是
，已知
．
（1）若△的面积等于，求，； （2）若，求△的面积． 【答案】解：（1）由余弦定理及已知条件，得． 又因为△的面积等于
，所以，得
．
联立方程组解得
（2）由题意，得，即．
当，即时，
，，
， 此时△的面积．
当
时，得
，由正弦定理，得
．
联系方程组解得
此时△的面积． 所以△
的面积
．
【解析】略
4.某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元。

（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？
（2）若干年后，外商为开发新项目，按以下方案处理工厂：纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问多长时间可以出售该工厂？能获利多少？
【答案】解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列， 设纯利润与年数的关系为f(n), 则f(n)=50n –［12n+
×4］–72
=–2n 2+40n –72
(1)获纯利润就是要求f(n)>0 ∴–2n 2+40n –72>0，解得2<n<18 由n ∈N 知从第三年开始获利.
（2）f(n)=–2(n –10)2+128 当n=10时，f(n)|max =128. 按此方案需10年时间，共获利128+16=144（万美元）. 【解析】略
5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线
上。

（1）求a 1和a 2的值；
（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
【答案】解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2， 解得a 1="2" a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2="4" （2）∵S n =2a n -2，S n-1=2a n-1-2，又S n —S n-1=a n ， ∴a n =2a n -2a n-1， 又a n ≠0， ∴
，即数列{a n }是等比数列
∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P(b n ，b n+1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n+1+2=0， ∴b n+1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1， （3）∵c n =(2n-1)2n ∴T n =a 1b 1+ a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n ， ∴2T n =1×22+3×23+····+(2n-3)2n +(2n-1)2n+1 则 -T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n-1)2n+1， 即：-T n =1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1， ∴T n =(2n-3)2n+1+6
【解析】略
6.已知函数满足，且有唯
一实数解。

（1）求的表达式；
（2）记，且＝，求数列的通项公式。

（3）记，数列｛｝的前项和为，是否存在k∈N*，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】解：(1) 由即有唯一解，
又，
(2) 由又
，数列是以首项为，公差为的等差数列
(3) 由
=
要使对任意n∈N*恒成立，只需即
又k∈N* ∴k的最小值为14.
【解析】略。