最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案解析

最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组基础测试题含答案解析
一、选择题
1．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114,2;
x y =⎧⎨=⎩22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
将方程22
320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩
解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.
x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨
=⎩ 22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】 本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩
． 【答案】11
13x y =⎧⎨
=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．
【详解】
由①得25y x =-+．③
把③代入②，得22(25)70x x x --+++=． 整理后，得2760x x -+=．
解得11x =，26x =．
由11x =，得1253y =-+=．
由26x =，得21257y =-+=-．
所以，原方程组的解是1
11 3
x y =
⎧
⎨
=⎩，2
2
6
7
x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
.
3．直角坐标系xOy中，有反比例函数()
83
y x
=＞上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．
（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，
①求出A、B、C三点的坐标．
②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP
面积的1
2
？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）32）①A（0，3B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，314，1638，36，0）．
【解析】
【分析】
（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；
（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝
sin60°BP
3
=，P（m
3
），进而得出答案；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．
【详解】
解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO＝∠OKP＝90°．
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵AP ＝KP ，
∴四边形OKPA 是正方形，
∴OP 2＝OK 2+PK 2＝2PK •OK ＝2xy ＝
=
（2）①连结BP ，
则AP ＝BP ，由于四边形ABCP 为菱形，所以AB ＝BP ＝AP ，△ABP 为正三角形， 设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，
则PH ＝sin60°
BP 2m =，P （m
，2
m ）， 将P 点坐标代入到反比例函数解析式中，
则2
m 2＝
解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），
故P （4，
），
则AP ＝4，OA ＝
OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，
故A （0
，B （2，0），C （6，0）；
②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），
将A 点坐标代入得，
a =
，
故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．
设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，
则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP
所在的直线解析式为：y =-
故直线l
的解析式为y =+l
与抛物线的交点是方程组
2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩
解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，22
14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0
，Q （14
，
同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，
则设其解析式为：y 3=x +e ，则0＝
63+e ，解得：e ＝﹣63，
故其解析式为：y 3=x ﹣
63，
其直线与抛物线的交点是方程组234323363y x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩
的解， 可求得Q 1（8，23）和（6，0）．
故所求满足条件的Q 点有（0，23），（14，163），（8，23）和（6，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．
4．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.
【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.
【解析】
试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：
322245
x y xy +-=⎧⎨=⎩ ，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；
∵x <14，
∴不合题意，舍去；
当y =5时，x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.
5．解方程组：2256021
x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩ ①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，
得60x y +=或0x y -=，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩
， 解方程组（Ⅰ）6131
13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，11x y =⎧⎨=⎩ .
6．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩
． 【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即
可．
详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩
＝①＝② 由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，
x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023
x y x y -⎧⎨+⎩＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
7．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩
【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，22
01x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.
【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩
由②得，()2
24x y -= ③，
把①代入③，得 ()2
214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，
即：()224x +=，
所以，x+2=2或x+2=-2
所以，x 1=-4,x 2=0,
把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.
所以，方程组的解是 143x y =-⎧⎨=-⎩，201x y =⎧⎨=⎩
【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.
8．解方程组
【答案】原方程组的解为：， 【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】 解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
9．解方程组：222,
{230.x y x xy y -=--=
【答案】1111x y =⎧⎨
=-⎩2231
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
【详解】 x 2-2xy-3y 2="0"
(x-y)2-4y 2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y 2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴1111x y =⎧⎨=-⎩22
31x y =⎧⎨=⎩
10．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩
，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③
由方程②得：x y -1+=，④
联解③④得x-y=3，⑤
联解④⑤得x 1y -2
=⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨
=⎩ 【点睛】
本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.
11．解方程组：222449{0
x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{
1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3
x y ==-. 【解析】
【分析】
先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
【详解】 2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩
①② 由①得：（x+2y ）2＝9，
x +2y ＝±3，
由②得：x （x+y ）＝0，
x ＝0，x +y ＝0，
即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩
， 解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩
， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
12．()()22244922120
x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：()()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①
②
将①因式分解得：2(2)9x y -=，
∴23x y -=或23x y -=-
将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=
∴240x y +-=或230x y ++=
∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩
解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩
∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
13．2222340441
x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩
①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，
∴40x y -=或0x y +=
将②因式分解得：2(2)1x y +=
∴21x y +=或21x y +=-
∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩
解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
14．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？
【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．
【解析】
【分析】
根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．
【详解】
设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2
x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩
80+12=92（万元），
答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，
故答案为：92，80，20%．
【点睛】
本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
15．解下列方程组：
（1）222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
【答案】（1
）31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13
x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】
解：（1）因为222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，
即20x y -=或30x y -=
原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩
把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入22
20x y +=中，
得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩
或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
所以原方程组的解是：31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
①② 所以①＋②得：36x y
=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13
x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．
16．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1
⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩
即可． 【详解】
由22
x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，
x 3y 3∴-=，
解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．
17．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②
【答案】5{
5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.
【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②
由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，
∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25
x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21
x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5
{5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩. 18．解方程： 【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，
························································ （2分） 代人得
19．(
)28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨
=⎩
【解析】
【分析】
运用代入法进行消元降次，即可得解.
【详解】
()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①
②
由①，得8x y +=-③
将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④
将④代入①，得22y =
∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
20．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．
【答案】此竿高度为50dm
【解析】
【分析】
由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．
【详解】
解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．
由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩
解得 2129
x y =⎧⎨=⎩ 此杆的高度为x+y=21+19=50 dm
答：此竿高度为50dm
【点睛】
本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．。