上海上海大学附属学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)

一、选择题
1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22
()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为
（ ）．
A ．2
a b +
B
C
D
2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123
F PF π
∠= ，记
椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e
，则12
1e +
的最大值为（ ） A
．
3 B
．
3 C
．D
．
3．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．
65
B ．6 35
C ．36 35
D ．6
4．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y z
x 23
++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8
D ．9
5．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105
,
,396
B ．203040
,
,292929
C ．111,
,23
D ．
11,49
6．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A
．B ．4
C ．12
D ．6
7．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3
B ．1
C ．
12
D ．
13
8．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．
165
C ．3
D ．
25
9．证明：2111
1
11(1)2234
2n n n n
+<+++++
+，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1
B ．112+
C ．11123
+
+ D ．1111234
+
++ 10．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．
34
11．不等式2
313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()
(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-
C ．()(),41,-∞-+∞
D ．()4,1-
12．用反证法证明：“”，应假设（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 14．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___． 15．函数()25f x x x =+-的最大值为___________. 16．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);
x y
xy 2
+≥②
， ③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.
其中一定成立的不等式的序号是_____
17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________． 18．已知x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为_______． 19．若
, 且
，则
的最小值为________．
20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．
三、解答题
21．已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；
（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．
22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求
111
323232
a b c +++++的最小值. 23．已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=. （1）求a bc 的最大值；
（2）求证：
149
36a b c
++≥ 24．已知实数a ，b ，c 均为正数.
（1）若2a b >，求2
2
(2)
a b a b +
-的最小值；
（2）若2225a b c ++=，证明：5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 25．对a ∀∈R ，11a a ++-的最小值为M .
（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z M ++=，证明：2222x y z
y z x
++≥； （2）若三个实数x 、y 、z 满足x y z M ++=，且2
2
2
1
(2)(1)()3
x y z m -+-++≥
恒成立，求m 的取值范围.
26．已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求2
21111a b ⎛⎫⎛⎫
--
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值； （2）证明：222242a b b c c +-+-≥-.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据柯西不得式()(
)()2
2
2
2
2mx ny m n
x
y +≤++，直接计算结果.
【详解】
由柯西不等式()(
)()2
2
2
2
2mx ny m n
x y ab +≤++=
等号成立的条件是my nx = ，
所以mx ny + 故选：B 【点睛】
本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.
2．D
解析：D 【分析】
先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不
等式可求得. 【详解】 如图所示:
设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,
121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,
所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123
F PF π
∠=,
则在△12
12PF F 中,由余弦定理得222
1212121214()()2()()2
c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以
2222
1213
4c c a a =
+,即2212
134e e +=,
由柯西不等式得222221212
1313(11(11)([()(]e e ⨯
+≤++, 即12132422e ≤⨯=当且仅当12
113e =即12
e =26e =时,等号成立.
故选:D 【点睛】
,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2222
1
)
135++
≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535
⨯= 当且仅当x 6186
,,35357
y z =
==时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为36
35
. 本题选择C 选项. 【点睛】
根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解23
y z
x ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫+
+=++++ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
≥2
⎛ =9.
当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立. 即23
y z
x +
+的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】
由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100,
则x 2+y 2+z 2≥
100
.29
当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,
23423410,
x y z
x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立
可得x 203040,,.292929
y z =
== 本题选择B 选项. 【点睛】
本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】
∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0.
∴2x+y=2,∴y=2-2x ,
∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x
≥ 6.=
当且仅当32x =32-2x ,即x 1
,12
y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】
本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
7．A
解析：A 【解析】
x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×1
3
＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．
8．B
解析：B 【解析】
解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，
∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤
165
， 本题选择B 选项.
点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．
9．D
解析：D 【详解】
试题分析：2n =时中间式子的最后一项为1
4，中间式子为1111234
+++ 考点：数学归纳法
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：由柯西不等式(
)(
)
()2
2222
22221111a b c d
a b c d ++++++≥+++，因为
1a b c d +++=，于是由上式得()2222
41a b c d +++≥，于是22221
4
a b c d +++≥
，当且仅当1
4
a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．
【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·
(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．
11．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为
31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式
2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．
考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．
12．B
解析：B 【解析】
试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设
考点：反证法
二、填空题
13．【分析】建系不妨设则再利用柯西不等式将所求转化为利用换元法求出最大值最小值显然为共线方向时取得【详解】不妨设由已知得令则又显然当向量反向时最小即此时综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量数量
解析：14,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】
建系，不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，则a b ⋅mx ny =+，再利用柯西不等式将
所求mx ny +x x =
，利用换元法求出最大值，最小值显然为
,a b 共线方向时取得.
【详解】
不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，由已知，得22(1)1x y ++=，
22(1)1m n -+=，
a b ⋅(1)mx ny m x ny x x =+=-++≤=x ，令
[0,2]t =∈221111
(1)2222
x t t t =-
=--+≤，又显然当a ，b 向量反 向时，a b ⋅最小，即(2,0)a =-，(2,0)b =，此时4a b ⋅=-，综上，a b ⋅的取值范围是
14,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：14,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.
14．【分析】利用柯西不等式求解【详解】由柯西不等式得：当且仅当即取等号故M 的最大值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】
由柯西不等式得：2
2
221x y ⎡⎤⎡⎤
≤++=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
，
=，即221x y +=取等号. 故M 的最大值为1 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15．5【分析】利用柯西不等式变形为求解【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立故答案为：5【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题还考查了转化化归运算求解的能力属于中档题
解析：5 【分析】
利用柯西不等式，变形为(()2
2
2
2
2
2125⎡
⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣
⎦
求解.
【详解】 由柯西不等式得
(()2
2
2
2
2
2125⎡
⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣
⎦
.
()
5f x ∴=≤=
，即4x =时，等号成立. 故答案为：5 【点睛】
本题主要考查了根式函数求最值问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.
16．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾
|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】
由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】
逐一考查所给的四个说法：
()()()()222
222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，
则()2
2
2
32x y z x y z +++≥++，说法①正确；
当1x y ==-时，2
x y
+≥②错误；
由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾
|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确；
()()()()222
222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=
-+-+-≥⎣
⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：
【解析】
分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得
22222222(23)(11213)(1)(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，
所以23a b c ++≤23a b c ++的最大值为
点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
18．3【分析】利用柯西不等式即可求解；【详解】由和柯西不等式可得：(所以即的最大值为3故答案为3【点睛】本题主要考查不等式在最值问题中的应用柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法难度较小
解析：3 【分析】
利用柯西不等式，即可求解； 【详解】
由x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，和柯西不等式可得： ((
)()2
222
222
)122
22x y z x y z ++++≥++，
所以()2
229x y z ++≤， 即22x y z ++的最大值为3. 故答案为3 【点睛】
本题主要考查不等式在最值问题中的应用，柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法，难度较小.
19．【解析】试题分析：利用柯西不等式则；考点：柯西不等式 解析：4
【解析】
试题分析：利用柯西不等式2222222()(212)(22)36x y z x y z ++++≥++=，则222x y z ++
4≥；
考点：柯西不等式
20．12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6∴根据柯西不等式得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）a2+（2b ）2+（3c ）2化简得62≤3（a2+4b2
解析：12
【解析】
试题分析：由题∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得;
（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）[a 2+（2b ）2+（3c ）2]
化简得62≤3（a 2+4b 2+9c 2），即36≤3（a 2+4b 2+9c 2）
∴a 2+4b 2+9c 2≥12，当且仅当a ：2b ：3c=1：1：1时， 即22,1,3a b c ===,时等号成立，a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 考点：柯西不等式的应用．
三、解答题
21．（1）2m =-；（2）证明见解析；
【分析】
（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；
（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．
【详解】
（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩
，
作出函数的图象如图：
根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，
2m ∴=-；
（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，
22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，
当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．
【点睛】
本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，属于中档题．
22．1
【解析】 试题分析：由柯西不等式得
[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭
9≥=，所以1111323232
a b c ++≥+++ 试题
因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，
所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭
9≥=， 当且仅当13a b c ===
时，上式等号成立． 从而
1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13
a b c ===． 考点：柯西不等式
23．（1）
18；（2）证明见解析. 【分析】
（1）变换得到22
a a a
b
c b c ++=+++，再利用均值不等式解得答案. （2）直接利用柯西不等式得到证明.
【详解】
（1
）22a a a b c b c ++=+++≥42144a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，6
212a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，
31128
⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，当且仅当124a b c ===，即12a =，14b c ==时取得最大值18. （2）由柯西不等式得： (
)
(
)222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2212336≥=++=， 当16a =，13b =，12
c =时等号成立，1a b c ++=，14936a b c ++≥∴. 【点睛】
本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
24．（1）8；（2）证明见解析.
【分析】
（1）构造基本不等式24(2)2(2)
b a b b a b =--
，a ≥24162(2)b a b a
≥-，对原式再次运用基本不等式即可得结果； （2
）由题意可得
512b c a a a +-=≥，同理可得其余两式，相乘即得结果. 【详解】
（1）解：2224(2)2(2)
a a
b a b b a b +=+--，
又2(2)a b a b =+-≥ 故24162(2)b a b a ≥-
，22241682(2)a a b a b a +≥+≥=-， 当且仅当2a =，12
b =时等号成立，故22(2)a b a b +-的最小值为8. （2）证明：由2225a b
c ++=，
得512b c a a +-=≥b c =时取等号），①
512a c b b +-=≥（当且仅当a c =时取等号），②
512a b c c +-=≥（当且仅当a b =时取等号），③ 又因为实数a ，b ，c 均为正数，
由①⨯②⨯③，得5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当56a b c ===时取等号）， 故5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得证. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，在证明不等式中的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于中档题.
25．（1）见解析（2）(]
[),02,-∞+∞ 【分析】
（1）由绝对值不等式的性质可得2M =，再由基本不等式和累加法，即可得证；
（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．
【详解】
（1）由a ∀∈R ，|1||1||11|2a a a a ++-+-+=，
当且仅当11a -时取得等号，可得2x y z ++=，
又,,0x y z >，2222x x y y x y y
+⋅=， 同理可得22y z y z +，2
2z x z x
+， 三式相加可得，222
2x y z x y z y z x
++++=， 当且仅当23
x y z ===时，取得等号， 则222
2x y z y z x
++； （2）2221(2)(1)()3
x y z m -+-++恒成立，等价为2221
(2)(1)()3min x y z m ⎡⎤-+-++⎣⎦，
由()
22222222111(2)(1)()(21)(1)x y z m x y z m m ⎡⎤++-+-++-+-++=-⎣⎦， 当且仅当21x y z m -=-=+可取得等号．
则21
1(1)33
m -，即|1|1m -，解得2m 或0m ≤，
即m 的取值范围是(]
[),02,-∞+∞．
【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的性质，基本不等式、柯西不等式的运用，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，属于中档题．
26．（1）最小值为9；（2）证明见解析.
【分析】
（1）依题意，1a b +=，将目标式化简可得21ab
+，再利用基本不等式求最值即可； （2）将不等式左边化简可得()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，运用柯
西不等式即可得证.
【详解】
（1）当5c =时，1a b +=， ∴222222111111a b a b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()()()221111a a b b a b -+-+=()()1121a b ab ab
++==+，
又1a b =+≥（当且仅当a ＝b 时取等号），则14ab ≤
， ∴221121119a b ab ⎛⎫⎛⎫--=+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9； （2）证明：()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，
由柯西不等式有，()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤+-+-++≥+-+-⎣⎦
（当且仅当12a b c =-=-时取等号）， ∴2222
(3)(1)(2)3
a b c a b c ++-+-+-≥， 又6a b c ++=， ∴()()22
2123a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当a ＝1，b ＝2，c ＝3时取等号）.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.。