庞皓计量经济学第二章练习题及参考解答

庞皓计量经济学第⼆章练习题及参考解答
练习题
表中是中国历年国内旅游总花费（Y）、国内⽣产总值（X1）、铁路⾥程（X2）、公路⾥程数据（X3）的数据。

表中国历年国内旅游总花费、国内⽣产总值、铁路⾥程、公路⾥程数据
资料来源：中国统计年鉴
（1）分别建⽴线性回归模型，分析中国国内旅游总花费与国内⽣产总值、铁路⾥程、公路⾥程数据的数量关系。

（2）对所建⽴的回归模型进⾏检验，对⼏个模型估计检验结果进⾏⽐较。

【练习题参考解答】
（1）分别建⽴亿元线性回归模型
建⽴y与x1的数量关系如下：
建⽴y与x2的数量关系如下：
建⽴y与x3的数量关系如下：
（2）对所建⽴的回归模型进⾏检验，对⼏个模型估计检验结果进⾏⽐较。

关于中国国内旅游总花费与国内⽣产总值模型，由上可知，，说明所建模型整体上对样本数据拟合较好。

对于回归系数的t检验：，对斜率系数的显着性检验表明，GDP对中国国内旅游总花费有显着影响。

同理：关于中国国内旅游总花费与铁路⾥程模型，由上可知，，说明所建模型整体上对样本数据拟合较好。

对于回归系数的t检验：，对斜率系数的显着性检验表明，铁路⾥程对中国国内旅游总花费有显着影响。

关于中国国内旅游总花费与公路⾥程模型，由上可知，，说明所建模型整体上对样本数据拟合较好。

对于回归系数的t检验：，对斜率系数的显着性检验表明，公路⾥程对中国国内旅游总花费有显着影响。

为了研究浙江省⼀般预算总收⼊与地区⽣产总值的关系,由浙江省统计年鉴得到如表所⽰的数据。

年份⼀般预算总收⼊
(亿元)地区⽣产总值
(亿元)
年份⼀般预算总收⼊
(亿元)
地区⽣产总值
(亿元)
Y X Y X 19781998
19791999
19802000
19812001
19822002
19832003
19842004
19852005
19862006
19872007
19882008
19892009
19902010
19912011
19922012
1993 2013 1994 2014 1995 2015 1996 2016 1997
(1)建⽴浙江省⼀般预算收⼊与全省地区⽣产总值的计量经济模型,估计模型的参数,检验模型的显着性,⽤规范的形式写出估计检验结果,并解释所估计参数的经济意义
(2)如果2017年，浙江省地区⽣产总值为52000亿元，⽐上年增长10%,利⽤计量经济模型对浙江省2017年的⼀般预算收⼊做出点预测和区间预测
(3)建⽴浙江省⼀般预算收⼊的对数与地区⽣产总值对数的计量经济模型,估计模型的参数,检验模型的显着性,并解释所估计参数的经济意义。

【练习题参考解答】
(1) 建⽴浙江省⼀般预算收⼊与全省地区⽣产总值的计量经济模型,估计模型的参数,检验模型的显着性,⽤规范的形式写出估计检验结果,并解释所估计参数的经济意义作X 与Y 的散点图
图形近似于线性关系,可建⽴线性回归模型:
12t t t Y X u ββ=++
⽤EViews 估计检验结果为
(1)回归结果的规范形式：
拟合优度：由回归结果可知，，说明整体上模型拟合较好。

t检验：分别针对地区⽣产总值参数为0的原假设，给定显着性⽔平，查t分布表中⾃由度为的临界值。

由回归结果可知，参数的t 值的绝对值均⼤于临界值，这说明在显着性⽔平下，应该拒原假设，解释变量地区⽣产总值对财政收⼊有显着影响。

参数经济意义: 浙江全省⽣产总值每增长1亿元,平均说来财政预算收⼊将增长亿元.
(2)如果2017年，浙江省地区⽣产总值为52000亿元，⽐上年增长10%,利⽤计量经济模型对浙江省2017年的⼀般预算收⼊做出点预测和区间预测
将52000亿元带⼊回归⽅程得到⼀般预算收⼊的点预测：
⼀般预算收⼊的平均值预测：
=
当时，，代⼊计算可得：
=
即：当地区⽣产总值达到52000亿元时，财政收⼊平均值置信度95%的预测区间为（，）。

⼀般预算收⼊的个别值预测区间为
即：当地区⽣产总值达到52000亿元时，财政收⼊个别值置信度95%的预测区间为（，）。

(3)建⽴浙江省⼀般预算收⼊的对数与地区⽣产总值对数的计量经济模型,估计模型的参数,检验模型的显着性,并解释所估计参数的经济意义。

回归结果的规范形式：
拟合优度：由回归结果可知
，
，说明整体上模型拟合较好。

参数显着性检验：分别针对地区⽣产总值参数为0的原假设，给定显着性⽔平，
查t 分布表中⾃由度为
的临界值。

由回归结果可知，参数的t 值的绝对值均⼤于临界值，这说明在显着性⽔平下，应该拒原假设，对数化的地区⽣产
总值对对数化的财政收⼊有显着影响。

经济意义：地区⽣产总值每增长1%，财政收⼊平均⽽⾔增长。

在线性消费函数12i i C Y ββ=+中， C 是消费⽀出,Y 是可⽀配收⼊，收⼊的边际消费倾向（MPC ）是斜率2?β，⽽平均消费倾向（APC ）为?/i i
C Y 。

由中国统计年鉴得到2016年中国各地区居民⼈均消费⽀出和居民⼈均可⽀配收⼊数据：
表 2016年中国居民消费⽀出与可⽀配收⼊数据
地区居民消费⽀出(元)
居民可⽀配收⼊(元)
地区居民消费⽀出(元)
居民可⽀配收⼊(元)
北京湖北天津湖南河北
⼴东
⼭西⼴西
内蒙古海南
辽宁重庆
吉林四川
⿊龙江贵州
上海云南
江苏西藏
浙江陕西
安徽⽢肃
福建青海
江西宁夏
⼭东新疆
河南
β的置信区间。

（1）在95%的置信度下，求
2
（2）以可⽀配收⼊为x轴，画出估计的MPC和APC图。

（3）当居民⼈均可⽀配收⼊为60000元时，预计⼈均消费⽀出C的点预测值。

（4）在95%的置信度下，⼈均消费⽀出C平均值的预测区间。

（5）在95%的置信度下，⼈均消费⽀出C个别值的预测区间。

【练习题参考解答】
β的区间估计是多少
（1）在95%的置信概率下，
2
得到：
（2）以可⽀配收⼊为x轴，画出估计的MPC和APC图。

（3）当居民⼈均可⽀配收⼊为60000元时，预计⼈均消费⽀出C的点预测值。

将点预测带⼊到⽅程中去得到：
（4）在95%的置信概率下，⼈均消费⽀出C平均值的预测区间。

平均值预测区间：
=
当时，，代⼊计算可得：
=
（5）在95%的置信概率下，⼈均消费⽀出C个别值的预测区间。

假设某地区住宅建筑⾯积与建造单位成本的有关资料如表：
表某地区住宅建筑⾯积与建造单位成本数据
建筑地编号建筑⾯积(万平⽅⽶)X建造单位成本(元/平⽅⽶)Y
11860
21750
31710
41690
51678
61640
71620
81576
91566
101498
111425
121419
（1）建⽴建筑⾯积与建造单位成本的回归⽅程；
（2）解释回归系数的经济意义；
（3）估计当建筑⾯积为4.5万平⽅⽶时，对建造平均单位成本作区间预测。

【练习题参考解答】
(1)建⽴建筑⾯积与建造单位成本的回归⽅程
（2）解释回归系数的经济意义: 模型的t检验和F检验均显着,说明建筑⾯积每扩⼤1万平⽅⽶,建造单位成本将下降元/平⽅⽶.（3）估计当建筑⾯积为4.5万平⽅⽶时，预测建造的平均单位成本:
1845.47564.184 4.51556.647
i
Y=-?=(元/平⽅⽶)
平均单位成本的区间预测:
2
22
()
1
f
f
i
X X
Y t
n x
α
σ
-
+
∑
已经得到1556.647
f
Y=、
0.025
(10)=2.228
t、?31.736
σ=、n=12。

4.5
f
X= X的样本数据得:
222
2()(1) 1.9894(121)43.5348
i
i
X x X
X n σ=-=-=?-=∑∑
22()(4.5 3.5233)0.9539
f X X -=-=
当 4.5f X =时，将相关数据代⼊计算得到
10.9539
1556.647 2.22831.7361556.64722.93761243.5348
+=m m 即是说，当建筑⾯积为4.5万平⽅⽶时，预测建造的平均单位成本 f Y 平均值置信度95%的预测区间为（，）元/平⽅⽶。

由12对观测值估计得消费函数为：?500.6i i
C X =+其中，C 是消费⽀出,Y 是可⽀配收⼊(元)，已知800X =，
2
8000i
X -=∑，2300i e =∑，0.025(10) 2.23t =。

当
1000f X =时，试计算：
（1）消费⽀出C 的点预测值；
（2）在95%的置信概率下消费⽀出C 平均值的预测区间。

（3）在95%的置信概率下消费⽀出C 个别值的预测区间。

【练习题参考解答】
（1）当1000f X =时，消费⽀出C 的点预测值；
500.6i i
C X =+=50+*1000=650
（2）在95%的置信概率下消费⽀出C 平均值的预测区间。

2
22()1??f f i
X X C t n x ασ-+∑m 已经得到：800X =，1000f X =，
2()8000i
X
X -=∑，0.025(10) 2.23t =，
2
300i
e
=∑
22
300
302
122
i
e n σ
=
=
=--∑
2??30 5.4772σ
σ=== 当1000f X =时：
22
22()11(1000800)??650 2.23 5.4772128000f f i
X X C t n x ασ--+=??+∑m m 650 2.23 5.4772 5.083365027.5380=??=m m
（3）在95%的置信概率下消费⽀出C 个别值的预测区间。

2
222()11(1000800)??1650 2.23 5.47721128000f f i
X X C t n x ασ--++=??++∑m m 650 2.23 5.47721 5.083365030.1250=??+=m m
按照“弗⾥德曼的持久收⼊假说”：持久消费Y 正⽐于持久收⼊X ，依此假说建⽴的计量模型没有截距项，设定的模型应该为：2i i i Y X u β=+，这是⼀个过原点的回归。

在古典假定满⾜时，
（1）证明过原点的回归中2β的OLS 估计量2
β的计算公式是什么对该模型是否仍有0i
e =∑和0i
i
e X
=∑对⽐有截距项模型和⽆截距项模型参数的OLS 估计有什么不同
（2）⽆截距项模型的具有⽆偏性吗（3）写出⽆截距项模型的⽅差
)的表达式。

【练习题参考解答】
（1）没有截距项的过原点回归模型为: 2i i Y X u β=+ 因为
22
2
()i
i
i
e Y X β
=-∑∑
求偏导 2
22
2()()2i i i i
i i e Y X X e X ββ
=--=-∑∑∑ 令 2
22
2()()0i i i i
e Y X X ββ
=--=∑∑ 得 22?i i i X Y X β=∑∑ ⽽有截距项的回归为22
i i i
x y x β=∑∑ 对于过原点的回归，由OLS 原则:
0i
e =∑已不再成⽴, 但是0i
i
e X
=∑是成⽴的。

（2）⽆截距项模型的具有⽆偏性吗
在古典假设满⾜时，⽆截距项的具有⽆偏性。

（3）⽆截距项模型的⽅差)的表达式
在多元回归中
,当为⽆截距项仅有⼀个变量时
,因此
⽆截距且仅有⼀个解释变量的情形性下：2
22
()i
Var X σβ=∑
还可以证明对于过原点的回归， 22
1
i
e n σ
=
-∑
⽽有截距项的回归为 2
2
2
()i
Var x
σβ=∑ ，
2
2?2
i
e n σ
=
-∑
练习题中如果将浙江省“⼀般预算总收⼊”和“地区⽣产总值”数据的计量单位分别或同时由”亿元”更改为”万元”，分别重新估计参数，对⽐被解释变量与解释变量的计量单位分别变动和同时变动的⼏种情况下，参数估计及统计检验结果与计量单位与更改之前有什么区别你能从中总结出什么规律性吗
【练习题参考解答】
以亿元为单位的⼀般预算总收⼊⽤Y1表⽰, 以亿元为单位的地区⽣产总值⽤X1表⽰
以万元为单位的⼀般预算总收⼊⽤Y2表⽰, 以万元为单位的地区⽣产总值⽤X2表⽰
表浙江省财政预算收⼊与全省⽣产总值数据财政预算总收⼊
(亿元)
全省⽣产总值
(亿元)
财政预算总收⼊
(万元)
全省⽣产总值
(元)
Y1
X1 Y2
X2
1978 274500 1237200 1979
258700 1577500
1)练习题中, 财政预算总收⼊⽤亿元(Y1)表⽰,全省⽣产总值⽤亿元(X1)表⽰的回归:
2) 财政预算总收⼊⽤万元(Y2)表⽰,全省⽣产总值⽤万元(X2)表⽰的回归:
3) 财政预算总收⼊⽤万元(Y2)表⽰,全省⽣产总值⽤亿元(X1)表⽰的回归:
4) 财政预算总收⼊⽤亿元(Y1)表⽰,全省⽣产总值⽤万元(X2)表⽰的回归:
对⽐⼏种回归的回归结果：
被解释变量解释变量财政预算总收⼊
以亿元计Y1以万元计Y2
全省⽣产总值
以亿元计X1常数项-2270518斜率系数
以万元计X2常数项-2270518斜率系数
1)被解释变量计量单位变化扩⼤(或缩⼩)K倍,解释变量计量单位不变时:
常数项将缩⼩(或扩⼤) K倍；斜率系数将缩⼩(或扩⼤) K倍
2）被解释变量计量单位不变,解释变量计量单位扩⼤(或缩⼩)K倍时:
常数项将不变；斜率系数将缩⼩(或扩⼤) K倍
3)被解释变量计量单位与解释变量计量单位同时扩⼤(或缩⼩)K倍时:
常数项将缩⼩(或扩⼤) K倍；斜率系数不变
4）变量计量单位的变化对t检验和F检验的统计量没有影响。

联系⾃⼰所学的专业选择⼀个实际问题，设定⼀个简单线性模型，并⾃⼰去收集样本数据，⽤本章的⽅法估计和检验这个模型，你如何评价⾃⼰所做的这项研究
【练习题参考解答】
本题⽆参考解答。