余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷(含答案)

余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷
(2009年11月21日上午9∶00—10∶30)
题次 一 二 三
总分 1～8 9～14 15 16 17 18 得分
说明：试卷满分120分，不能使用计算器．
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选
项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分)
1. 若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．
，如a +b +c 就是一个完全对称式.已知三个代数式：①a (b +c )+b (a +c )+c (a +b )； ②a 2bc +b 2ac +c 2ab ；③a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac ．其中是完全对称式的( ) A ．只有①②
B ．只有①③
C ．只有②③
D ．有①②③
2. 小王、小李、小张3个家庭6月份的水电费支出依次为a 元、b 元、c 元．这3家7月份的水电
费支出依次比6月份增长了10%、30%、20%．这3家7月份的总支出比6月份增长的百分数是( ) A ．10%30%20%
3
++
B ．10%30%20%3a b c
⨯+⨯+⨯
C ．
10%30%20%a b c
a b c
⨯+⨯+⨯++
D ．
10%30%20%10%30%20%
a b c
⨯+⨯+⨯++
3. 已知一列有规律的数：2，3，5，9，17，33，…，其中第10个数是( )
A ．512
B ．513
C ．1024
D ．1025
4. 已知abc ≠0，且a +b +c =0，则代数式222
a b c bc ac ab
++
的值是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5. 如图，已知长方形纸片ABCD ，AB =1．以点A 所在直线为折痕折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于点E ；再以点E 所在直线为折痕折叠纸片，使点A 落在射线BC 上，若折痕恰好经过点D ，则长方形纸片ABCD 的面积约为( ) A ．1.4
B ．1.5
C ．1.6
D ．1.7
6. 如图，D ，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，AC 上的点，
且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．2∶5
D ．3∶5
7. 从甲地到乙地有a ，b ，c 三条道路可走，小王、小李、小张都任选一条道路从甲地到乙地．则
A
B
C
D
(第5题) (第6题)
E C
F
D
A
B
恰有两人走同一条a 道路的概率是( )
A ．
23 B ．13
C ．29
D ．1
9
8. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，
285AC =，三个顶点C ，A ，B 依次在相互平
行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 2，l 3之间的距离 为7 ，那么 l 1，l 2之间的距离为( ) A ．5 B ．4 C ．3
D ．2
二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)
9. 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，以AB 为边作等腰直角三角形ABD ，使∠BAD =90°，连结
DC ．则∠BDC 的度数为 ．
10. 已知5个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中
位数是 ． 11. 已知方程组1122
,a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩的解是
,
,x n y m =⎧⎨=⎩
则关于x ，y 的方程组111222
,
a x y a c a x y a c -=+⎧⎨
-=+⎩的解是 (解中不含a 1，c 1，a 2，c 2)．
12. 侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为252cm 2、255cm 2和253cm 2，则该棱柱
上底面的面积为 cm 2．
13. 一个几何体的三视图如图所示(图中的a ，b ，c 为相应的线段长度)，则
这个几何体的体积 是 ．
14. 小王和小李都生于某年的1月份，他们的出生日不是同一天，但都出生
于星期日，且小王比小李早出生．两人出生日期之和是30，那么小李的出生日期是1月份的 ．
三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分)
15. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿
棱柱的表面爬到顶点B ．求：
(1) 蚂蚁经过的最短路程；
(2) 蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程．
(第13题
) 主视图
左视图
俯视图
a b c
(第8题)
l 1
l 2 l 3
A
C
B
A
B
16. 如图，AD是等边三角形ABC的高，点E在AB上，EF⊥BC于F，EG⊥AC于G．请判断EF+EG
与AD的大小，并说明理由．
17. 已知22
a a
b b
=+，222
233
a b ab b
+=+，其中abc(a-b)≠0，
求11
a b
+的值．
A
B C
D
E
G
F
得分
评卷人
18. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆5路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆5
路公交车．假设每辆5路公交车行驶速度相同，而且公交车终点站每隔固定时间发一辆5路公交车．试求5路公交车发车的间隔时间．
余杭区2009年“假日杯”初中数学竞赛试卷
参考答案和评分标准
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分) 1. 答案：D
解：分别在这三个代数式中，交换任意两个字母，其代数式都不变，故选D ． 2. 答案：C
解：由加权平均数的算法可知，所求的百分数应选C ．或通过“7月份的总支出－6月份的总支
出)÷6月份的总支出”来计算． 3. 答案：B
解：这一列数的规律是121n -+，当n =10即第10个数是10121-+=513．故选B ． 4. 答案：D
解：222a b c bc ac ab ++3331[()]a b a b abc =+-+221[33]a b ab abc =--3()a b c =-+
3
()3c c =-⨯-=．故选D ．(也可用赋值法解答)
5. 答案：A
解：如图，虚线为折痕，由折法知，AE =2．∠AED =∠DEC ，又∠DEC =∠ADE ，∴∠AED =∠ADE ．∴AD =AE =2．∴矩形纸片ABCD 的面积＝12⨯≈1.4．故选A ． 6. 答案：A
解：易知△DEF 是等边三角形，且Rt △ADF ≌Rt △BED ≌Rt △CFE ．设点G 是Rt △ADF 斜边AF 的中点，连结DG ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以Rt △ADG 是等边三角形．设AD =a ，则等边三角形ABC 的边长是3a ，面积是2
934
a ；可求得等边三角形DEF 的边长是3a ，面积是2
334
a ．所以△DEF 的面积与△ABC 的面积之比是1∶3，故选A ． 7. 答案：C
解：从甲地到乙地3人共有27种不同的走法，其中恰有两人走同一条a 道路的走法共有6种情况，故所求的概率是
62
279
=，故选C ． A
B
C
D
(第5题)
E
8. 答案：B
解：作辅助线如图所示，则Rt △ADB ≌Rt △BEC ，
BE =AD =7，∵2BC 2=AC 2，∴21
(285)1702
BC ==，
又2222(170)711EC BC BE =-=-=．
则CF =CE -EF =11-7=4，即l 1，l 2之间的距离为4，故选B ．
二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分) 9. 答案：20°
解：根据题意，画出示意图如图①、图②所示． 在图①中，∠BDC =45°-∠ADC =45°-[180°-(40°+90°)]÷2=20°； 在图②中，∠BDC =∠ADC -45° =[180°-(90°-40°)]÷2-45°=20°．故答案为20°．
10. 答案：8或10
解：设众数是8，则由3685x +=，解得4x =，故中位数是8；设众数是10，则由36105
x
+=，
解得14x =．故中位数是10． 11. 答案：1,
x n y m =+⎧⎨=-⎩
解：经观察，将1,x n y m =+=-代入111222,
a x y a c a x y a c -=+⎧⎨-=+⎩ 得
1122
,
.a n m c a n m c +=⎧⎨
+=⎩ 恰满足已知条件，故所求方程组的解是1,
.x n y m =+⎧⎨=-⎩
12. 答案：
256
18
解：由条件，得上底面的边长分别为523cm 、553cm 和53
3
cm ， ∵ 222
525355(
)()()333
+=， ∴ 底面是直角三角形． 故所求的上底面面积为15253256
23318
⨯⨯=
(cm 2)． 13. 答案：abc +1
4
π2ab
解：该几何体是一个直四棱柱和一个圆柱组合而成，棱柱的体积是abc ，圆柱的体积是π2()2b
a ，
所以这个几何体的体积是abc +
1
4
π2ab ． 14. 答案：22号或29号
解：设小李的出生日期是x 号，则小王的出生日期是(x -7k )号，其中k =1，2，3，4，且x 和x -7k
(第8题)
l 1 l 2
l 3
A
C
B
E
D
F B C D A A B C
D
图① 图②
都是不大于31的正整数．据题意，得(x -7k )+x =30，7
152
x k =+．
∵x 是整数，∴k 只能取2或4．当k =2时，x =22，x -7k =8；当k =4时，x =29，x -7k =1．∴小李的出生日期是22号或29号．
三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分) 15．(12分)
解：(1) 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为22(53)480++=(cm)；
……2分
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为22(43)574++=(cm)，或
22(45)390++=(cm) ……4分 所以蚂蚁经过的最短路程是74cm ．
……3分
(2) 蚂蚁爬过的棱长依次为5cm ，4cm ，5cm ，4cm ，3cm ，4cm ，5cm 时，其路程为最长，最长路程是30cm ． ……3分 16．(12分)
解：EF +EG =AD ． ……2分
连结EC ，则
11
22ABC EBC ECA S S S BC EF AC EG ∆∆∆=+=⋅+⋅．……2分
又BC =AC ， ∴ 1
()2
ABC S BC EF EG ∆=
+．……2分 另一方面，1
2ABC S BC AD ∆=⋅．
……2分
∴ EF +EG =AD ． ……4分
17．(12分)
解：22222
,233,a a b b a b ab b ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩
①② ①×3-②， 得 222233a b a b ab -=-． ……3分 得 (a -b )(a +b )=3ab (a -b )． ……3分 由条件，知 a -b ≠0， ∴ a +b =3ab ．
……3分
由题意，得 ab ≠0，
∴ 在a +b =3ab 的两边都除以ab ，得 11
3a b
+=．
……3分
评分注：若取a =1，b =
12，则11
3a b
+=．则可得6分． 18．(14分)
解：设5路公交车的速度是x 米／分，小王行走的速度是y 米／分，同向行驶的相邻两车的间
距为s 米．
由每隔6分钟从背后开过一辆5路公交车，得 66x s y =+．
……4分
A
B
C
D
E
G
(第16题)
F
由每隔3分钟从迎面驶来一辆5路公交车，得 33x y s +=． ……4分 由以上两式，得 4s x =．
……3分 所以
4s
x
=，即5路公交车总站发车的间隔时间是4分钟．
……3分
评分注：(1)知道“发车的间隔时间=同向行驶的相邻两车的间距÷5路公交车的速度”，可得2分；(2)只有答案“4分钟”，但没有过程(或过程太简略)，也可得3分．
2009年11月。