人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数提高训练(含答案)

人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数提高训练
（含答案）
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 某种服装的销售利润y (万元)与销售数量x (万件)之间满足函数解析式y ＝－2x 2
＋4x ＋5，则利润的( ) A ．最大值为5万元 B ．最大值为7万元 C ．最小值为5万元
D ．最小值为7万元
2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年
中每月获得的利润y (万元)和月份n 之间满足函数关系式y ＝－n 2＋12n －11，则企业停产的月份为( ) A ．1月和11月 B ．1月、11月和12月
C ．1月
D ．1月至11月
3. 某商品进货单价为
90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商
品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A ．130元/个 B ．120元/个 C ．110元/个
D ．100元/个
4. 某公园草坪的防护栏是由
100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每
段防护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．160 m
D ．200 m
5. 如图，铅球运动员掷铅球的高度
y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y ＝
－112x 2＋23x ＋5
3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A ．6 m
B ．12 m
C ．8 m
D ．10 m
6. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不
同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图①所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )
A ．y ＝26
675x 2 B ．y ＝－26
675x 2 C ．y ＝131350
x 2
D ．y ＝－
131350
x 2
7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离
4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线
运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A ．此抛物线的解析式是y ＝－1
5x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m
8. 如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y
＝4x－1
2x
2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
1
2x刻画，下列结论错误的是()
A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距点O的水平距离为3 m
B．小球距点O的水平距离超过4 m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7 m
D．小球距点O的水平距离为2.5 m和5.5 m时的高度相同
二、填空题（本大题共5道小题）
9. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.
10. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．
11. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．
给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
①这种文化衫的月销量最大为260件；
①销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
①销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
12. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解
析式为y＝－1
9(x－6)
2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为
________________．
13. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．
三、解答题（本大题共3道小题）
14. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－1
24时，①求h的值，①通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为12 5
m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
15. 一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C 的连线成45°角，水流最高点C比喷头高2米，求：
(1)点C的坐标；
(2)此抛物线的解析式；
(3)水流落点D到点A的距离．
16. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．
每天销售量p(件)1981408020
(1)求出w与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
人教版2020-2021学年九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数暑假提高训练-答案
一、选择题（本大题共8道小题）
1. 【答案】B
2. 【答案】B[解析] 由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，
∴y＝－(n－6)2＋25，
当n＝1时，y＝0；
当n＝11时，y＝0；
当n＝12时，y＜0.
故停产的月份是1月、11月和12月．
故选B.
3. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．
4. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．
5. 【答案】D[解析] 把y＝0代入y＝－1
12x
2＋
2
3x＋
5
3，得－
1
12x
2＋
2
3x＋
5
3＝0，
解得x1＝10，x2＝－2.又∵x＞0，∴x＝10.
故选D.
6. 【答案】B[解析] 设二次函数的解析式为y＝ax2.由题可知，点A的坐标为(－
45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a＝－26
675，∴二次函数解析式
为y＝－26
675x
2.故选B.
7. 【答案】A
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－1
5x 2＋3.5.可见选项A 正确．
由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．
将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－1
5×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误． 故选A.
8. 【答案】A
[解析] 令y ＝7.5，得4x －1
2x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A
错误．
由y ＝4x －12x 2得y ＝－1
2(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．
联立y ＝4x －12x 2与y ＝1
2x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为
(0，0)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．
由对称性可知选项D 正确．
综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.
二、填空题（本大题共5道小题）
9. 【答案】144 【解析】①围墙的总长为50 m ，设3间饲养室合计长x m ，则饲
养室的宽＝48－x 4 m ，∴总占地面积为y ＝x·48－x 4＝－1
4x 2＋12x(0＜x ＜48)，由y
＝－14x 2＋12x ＝－14(x －24)2
＋144，∵x ＝24在0＜x ＜48范围内，a ＝－14<0，∴在0＜x≤24范围内，y 随x 的增大而增大，∴x ＝24时，y 取得最大值，y 最大＝144 m 2.
10. 【答案】25[解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25.
11. 【答案】①②③[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，
∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为W元，
则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，
∵70≤x≤150，
∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；
当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．
故答案为①②③.
12. 【答案】y＝－1
9(x＋6)
2＋4
13. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
三、解答题（本大题共3道小题）
14. 【答案】
【思维教练】(1)将点P坐标代入解析式求出h的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛物线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，
1)和点(7，12
5)，代入抛物线解析式求解即可．
解：(1)①把(0，1)代入y＝－1
24(x－4)
2＋h，得h＝
5
3.(2分)
①把x＝5代入y＝1
24(x－4)
2＋
5
3，得y＝－
1
24(5－4)
2＋
5
3＝1.625.
①1.625＞1.55.
①此球能过网；(4分)
(2)把(0，1)，(7，12
5)代入y＝a(x－4)
2＋h，得
⎩⎪
⎨
⎪⎧
16a＋h＝1，
9a＋h＝
12
5
，解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝－15，
h＝
21
5.
①a＝－1
5.(8分)
15. 【答案】
解：(1)过点C作CE⊥y轴于点E，CF⊥x轴于点F，则∠CBE＝45°，
∴EC＝EB＝2米．
∵AB＝1.5米，
∴CF＝AE＝AB＋BE＝1.5＋2＝3.5(米)，
∴C(2，3.5)．
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3.5.
∵抛物线过点B(0，1.5)，
∴1.5＝a(0－2)2＋3.5，
∴a＝－1 2，
∴y＝－1
2(x－2)
2＋3.5＝－
1
2x
2＋2x＋
3
2.
(3)∵抛物线与x轴相交时，y＝0，
∴0＝－1
2x
2＋2x＋
3
2，
即x2－4x－3＝0，
解得x1＝2＋7，x2＝2－7(舍去)，
∴AD＝2＋7，
即水流落点D到点A的距离为(2＋7)米．
16. 【答案】
解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k 、b 为常数且k≠0)，
∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)， ∴⎩⎨⎧b ＝4050k ＋b ＝90， 解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝40
，
∴y ＝x ＋40，
∴y 与x 的函数关系式为：
y ＝⎩⎨⎧x ＋40 （0≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数）
，(2分) 由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系．
设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n(m ，n 为常数，且m≠0)， ∵p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)， ∴⎩⎨⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝200
， ∴p ＝－2x ＋200(0≤x≤90，且x 为整数)，(3分) 当0≤x≤50时， w ＝(y －30)·p
＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)， ＝－2x 2＋180x ＋2000， 当50＜x≤90时，
w ＝(90－30)×(－2x ＋200) ＝－120x ＋12000，
综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是： w ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2000 （0≤x≤50，且x 为整数）－120x ＋12000 （50＜x≤90，且x 为整数）.(5分)
(2)当0≤x≤50时，
w ＝－2x 2＋180x ＋2000 ＝－2(x －45)2＋6050， ∵a ＝－2＜0且0≤x≤50，
∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，(6分) 当50＜x≤90时， w ＝－120x ＋12000， ∵k ＝－120＜0，
∴w 随x 增大而减小．
∴x ＝50时，w 最大＝6000(元)， ∵6050＞6000，
∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(8分)
(3)24天．(10分)
【解法提示】①当0≤x≤50，若w 不低于5600元，
则w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，解得30≤x≤60，
∴30≤x ≤50；
②当50＜x≤90时，若w 不低于5600元，
则w ＝－120x ＋12000≥5600，解得x≤1603，
∴50＜x≤1603，
综合①①可得30≤x≤1603
， ∴从第30天到第53天共有24天利润不低于5600元．。