2021年21-2-3 公式法解一元二次方程
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精确到0.001，x1≈ 1.236，x2≈ －3.236 但是其中只有x1≈1.236符合问题的
实际意义，所以雕像下部高度应设 计为约1.236m。
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x2 − 2x + m = 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 − 4ac = (−2)2 − 41 m = 4 − 4m 0
b a
x
+
b 2a
2
=
−
c a
+
b 2a
2
即
x
+
b 2a
2
=
b2 − 4ac 4a 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a 0) ∵ a 0,4a2 0 当 b2 − 4ac 0
即
b
b2 − 4ac
x+ =
2a
2aБайду номын сангаас
特别提醒
−b b2 − 4ac x=
15
.
(2) 4x2 − 6x = 0
解： a = 4,b = −6, c = 0.
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 40 = 36.
−(−6)
x=
36 = 6 6 ,
24
8
x1
=
0,
x2
=
3. 2
(3) x2 + 4x + 8 = 4x +11
解：化为一般式 x2 − 3 = 0 . a = 1,b = 0,c = −3.
b2 − 4ac =（− 2 3）2 − 41 3 = 0
x = −（- 2
3）
0=2
3 =
3
21
2
即 ： x1 = x2 = 3
解方程：
−b b2 − 4ac x=
2a
( x − 2)(1− 3x) = 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 − 7x + 8 = 0
a = 3、 b= - 7、 c= 8 b2 − 4ac =（− 7）2 − 4 3 8
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？ 2、这节课你在解决问题的过程中，有 哪些易错点？ 3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
(3)x2 + 4x + 8 = 4x +11
21 , 4
由此得:
x − 3 = 21 , 42
x1
=
3 4
+
21 , 2
3 21 x2 = 4 − 2 .
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
解: 移项，得 ax2 + bx = −c
方程两边都除以 a x2 + b x = − c
aa
配方，得
x2
+
= 49 − 96 = - 47 0
方程没有实数解。
一元二次方程的根的情况
ax2 + bx + c = 0 （a 0）
（1）当 b2 − 4ac 0时，有两个不等的实数根。
x1 = −b +
b2 2a
−
4ac
,
x2
=
−b
−
b2 − 4ac ; 2a
（2）当 b2 − 4ac = 0 时，有两个相等的实数根。
b2 − 4ac = (−7)2 − 41 (−18) = 121
x = 7 121 = 7 11
21
2
即 ： x1 = 9 x2 = −2
解方程：
−b b2 − 4ac x=
2a
x2 + 3 = 2 3x
解： 化简为一般式：x2 − 2 3x + 3 = 0
a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
4、写出方程的解： x1、x2
师生互动 巩固新知
(1) 3x2 − 6x − 2 = 0
解： a = 3,b = −6, c = −2.
b2 − 4ac = (−6)2 − 43(−2) = 60.
x = 6 60 = 6 2 15 = 3 15 ,
6
6
3
x1
=
3 + 15 3
,
x2
=
3− 3
x = −4 + 2 14 = −4 2 14 ,
22
4
x1
=
−2 + 2
14 , x2
=
−2 − 2
14 .
学以致用
求本章引言中的问题，雕像下部高度
x(m)满足方程 x2 + 2x − 4 = 0
解：得
− 2 22 − 41 (− 4) − 2 20
x=
=
= −1 5,
21
2
x1 = −1+ 5, x2 = −1− 5
−b
x1
=
x2
=
; 2a
（3）当 b2 − 4ac 0时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 − 4ac 的值，
注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x = −b b2 − 4ac
2a
b2 − 4ac = 02 − 41(−3) =12.
x = 0 12 = 2 3 ,
21
2
x1 = 3 x2 = − 3
(4) x(2x − 4) = 5 −8x
解：化为一般式 2x2 + 4x − 5 = 0 .
a = 2,b = 4, c = −5.
b2 − 4ac = 42 − 4 2(−5) = 56.
时，将a，b，c 代入式子 x = −b b2 − 4ac
就得到方程的根，这个式子叫做一元2二a 次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
−b b2 − 4ac x=
2a
解方程： x2 − 7 x − 18 = 0
解：
a = 1 b = −7 c = −18
∴ m1
注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两
个不等的实根，则k的取值范围是 （ BＡ ）
A.k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
解:∵ b2 − 4ac = (−2)2 − 4k(−1) = 4 + 4k ＞0
人教版数学九年级上册
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.2 公式法
4x2 − 6x − 3 = 0
解:移项，得： 4x2 − 6x = 3,
二次项系数化为1，得
x2 − 3 x = 3 , 24
温 故 知
配方，得：
x2
−
3 2
x
+
3 4
2
=
3 4
+
3 4
2
,
新
x
−
3 4
2
=
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 = −b +
b2 2a
−
4ac
,
x2
=
−b
−
b2 − 4ac . 2a
由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一
元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
ax2 + bx + c = 0 ，当 b2 − 4ac 0
实际意义，所以雕像下部高度应设 计为约1.236m。
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x2 − 2x + m = 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 − 4ac = (−2)2 − 41 m = 4 − 4m 0
b a
x
+
b 2a
2
=
−
c a
+
b 2a
2
即
x
+
b 2a
2
=
b2 − 4ac 4a 2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a 0) ∵ a 0,4a2 0 当 b2 − 4ac 0
即
b
b2 − 4ac
x+ =
2a
2aБайду номын сангаас
特别提醒
−b b2 − 4ac x=
15
.
(2) 4x2 − 6x = 0
解： a = 4,b = −6, c = 0.
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 40 = 36.
−(−6)
x=
36 = 6 6 ,
24
8
x1
=
0,
x2
=
3. 2
(3) x2 + 4x + 8 = 4x +11
解：化为一般式 x2 − 3 = 0 . a = 1,b = 0,c = −3.
b2 − 4ac =（− 2 3）2 − 41 3 = 0
x = −（- 2
3）
0=2
3 =
3
21
2
即 ： x1 = x2 = 3
解方程：
−b b2 − 4ac x=
2a
( x − 2)(1− 3x) = 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 − 7x + 8 = 0
a = 3、 b= - 7、 c= 8 b2 − 4ac =（− 7）2 − 4 3 8
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法？ 2、这节课你在解决问题的过程中，有 哪些易错点？ 3、这节课你还有哪些疑惑未解决？
(3)x2 + 4x + 8 = 4x +11
21 , 4
由此得:
x − 3 = 21 , 42
x1
=
3 4
+
21 , 2
3 21 x2 = 4 − 2 .
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
解: 移项，得 ax2 + bx = −c
方程两边都除以 a x2 + b x = − c
aa
配方，得
x2
+
= 49 − 96 = - 47 0
方程没有实数解。
一元二次方程的根的情况
ax2 + bx + c = 0 （a 0）
（1）当 b2 − 4ac 0时，有两个不等的实数根。
x1 = −b +
b2 2a
−
4ac
,
x2
=
−b
−
b2 − 4ac ; 2a
（2）当 b2 − 4ac = 0 时，有两个相等的实数根。
b2 − 4ac = (−7)2 − 41 (−18) = 121
x = 7 121 = 7 11
21
2
即 ： x1 = 9 x2 = −2
解方程：
−b b2 − 4ac x=
2a
x2 + 3 = 2 3x
解： 化简为一般式：x2 − 2 3x + 3 = 0
a = 1、 b= - 2 3、 c= 3
4、写出方程的解： x1、x2
师生互动 巩固新知
(1) 3x2 − 6x − 2 = 0
解： a = 3,b = −6, c = −2.
b2 − 4ac = (−6)2 − 43(−2) = 60.
x = 6 60 = 6 2 15 = 3 15 ,
6
6
3
x1
=
3 + 15 3
,
x2
=
3− 3
x = −4 + 2 14 = −4 2 14 ,
22
4
x1
=
−2 + 2
14 , x2
=
−2 − 2
14 .
学以致用
求本章引言中的问题，雕像下部高度
x(m)满足方程 x2 + 2x − 4 = 0
解：得
− 2 22 − 41 (− 4) − 2 20
x=
=
= −1 5,
21
2
x1 = −1+ 5, x2 = −1− 5
−b
x1
=
x2
=
; 2a
（3）当 b2 − 4ac 0时，没有实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 − 4ac 的值，
注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x = −b b2 − 4ac
2a
b2 − 4ac = 02 − 41(−3) =12.
x = 0 12 = 2 3 ,
21
2
x1 = 3 x2 = − 3
(4) x(2x − 4) = 5 −8x
解：化为一般式 2x2 + 4x − 5 = 0 .
a = 2,b = 4, c = −5.
b2 − 4ac = 42 − 4 2(−5) = 56.
时，将a，b，c 代入式子 x = −b b2 − 4ac
就得到方程的根，这个式子叫做一元2二a 次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
−b b2 − 4ac x=
2a
解方程： x2 − 7 x − 18 = 0
解：
a = 1 b = −7 c = −18
∴ m1
注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两
个不等的实根，则k的取值范围是 （ BＡ ）
A.k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
解:∵ b2 − 4ac = (−2)2 − 4k(−1) = 4 + 4k ＞0
人教版数学九年级上册
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.2 公式法
4x2 − 6x − 3 = 0
解:移项，得： 4x2 − 6x = 3,
二次项系数化为1，得
x2 − 3 x = 3 , 24
温 故 知
配方，得：
x2
−
3 2
x
+
3 4
2
=
3 4
+
3 4
2
,
新
x
−
3 4
2
=
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 = −b +
b2 2a
−
4ac
,
x2
=
−b
−
b2 − 4ac . 2a
由上可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 （a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一
元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
ax2 + bx + c = 0 ，当 b2 − 4ac 0