高中数学竞赛客观题中的全对称与轮换对称

高中数学竞赛客观题中的全对称与轮换对称
王华;王延敏
【摘要】在高中数学竞赛中，若满足f（a,b，c）=f（b，c，a）=，（c，a，b），则称为轮换对称；若在轮换对称的基础上满足f（a，b，c）=f（b，a，c），则称为全对称．无论是在高中数学联赛还是在国际数学奥林匹克竞赛中，全对称与轮换对称都占据着一定的地位．它在客观题中主要以求最值的形式出现，对学生来说，“全对称与轮换对称”客观题都是难题．下面通过对高中数学竞赛客观题中典型例题的分析，盘点“全对称与轮换对称”客观题的最佳解题策略．
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】2页(P44-45)
【关键词】轮换对称;高中数学;数学竞赛;客观题;国际数学奥林匹克;数学联赛;典型
例题;解题策略
【作者】王华;王延敏
【作者单位】凤鸣高级中学,浙江桐乡314500
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
在高中数学竞赛中，若满足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)，则称为轮换对称；若在轮
换对称的基础上满足f(a,b,c)=f(b,a,c)，则称为全对称．无论是在高中数学联赛还
是在国际数学奥林匹克竞赛中，全对称与轮换对称都占据着一定的地位．它在客观
题中主要以求最值的形式出现，对学生来说，“全对称与轮换对称”客观题都是难题．下面通过对高中数学竞赛客观题中典型例题的分析，盘点“全对称与轮换对称”客观题的最佳解题策略．
例____.
解法1 令则
从而
于是
得
且当a=b2=c3=时t的最大值为.因此
解法2 由题意可知，a,b2,c3是全对称，可知取最值只会在三者相等时取到，令
则
从而
又a>0，得
于是
点评解法1中利用解不等式求出其最大值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值
时a,b2,c3三者相等.
例2 设a,b,c为正实数且abc=1，则++的最小值为______.
解法1
+ +=
++≥
=
=
≥
=.
解法2 由题意可知，a,b,c是全对称，可知最小值只会在三者相等时取到，即
a=b=c，而abc=1，因此a=b=c=1.此时原式的最小值为
点评解法1中2次利用基本不等式求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时a,b,c三者相等.
例3 设n为自然数，对于任意实数x,y,z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值为______.
解法1 令a=x2,b=y2,c=z2，则题设不等式变为
一方面，
当n=3时不等式成立；
另一方面，当a=b=c>0时题设不等式可化为9a2≤3na2，必有n≥3.
故n的最小值为3.
解法2 由题意可知，x,y,z是全对称，可知最小值只会在三者相等时取到，即
x=y=z，故题设中不等式等号成立时，n的最小值为3.
点评解法1中利用两边夹原理求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时x,y,z三者相等.
例4
函数f(x)=+++在时的最小值为______.
A．2 B．4 C．6 D．8
解法1 f(x)=
当且仅当时等号成立.
两式相减得
即
因为
所以
从而
故选B.
解法2 由题意可知，此题是轮换对称，因此当函数在取得最小值时显然
因为
所以
从而
故选B.
点评解法1中利用基本不等式的性质求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值时sinx与cosx相等.
例5 设a,b,c为三角形的3条边长，则
的最小值为______.
解法1 不妨设a≥b,a≥c，则
(1)当a≥b≥c时，
从而
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥
c2[a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)]≥0.
(2)当a>c≥b时，
从而 a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0.
综合(1)，(2)，可得
即a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)的最小值为0.
解法2 由题意可知，a,b,c是轮换对称，可知取最小值只会在三者相等时取到，即a=b=c，此时三角形为正三角形，故原式的最小值为0+0+0=0.
点评解法1中利用分类讨论的思想求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最小值时必为特殊的三角形(正三角形)，此时a=b=c.。