八年级上册数学 全等三角形专题练习(word版

八年级上册数学全等三角形专题练习（word版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1
2
BC，则△ABC的顶角的度数为
_____．
【答案】30°或150°或90°
【解析】
试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=1
2 BC，
∴AD =BD =CD ，
∴∠B =∠BAD ，∠C =∠CAD ，
∴∠BAD +∠CAD =
12
×180°=90°， ∴顶角∠BAC =90°， 综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为30°或150°或90°．
点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．
【详解】
解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，
∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，
∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，
∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，
∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，
∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，
过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152
DE BD ==，12
BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=
∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，
在△BCF和△CDE中，∵BCF CDE
∠=∠，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5，
∴
11
4510
22
ABC
S AB CF
=⋅=⨯⨯=．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
3．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将
△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．
【答案】363
【解析】
【分析】
分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；
【详解】
解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°
∵∠C＝45°
∴∠AME＝∠C
又∵∠AME＞∠C
∴这种情况不成立；
②若AE ＝EM ∵∠
B ＝∠AEM ＝45°
∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°
∴∠BAE ＝∠MEC
在△ABE 和△ECM 中，
B BAE CEN
AE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），
∴CE ＝AB ＝6，
∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，
∴BE ＝23﹣6；
③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAE ＝45°
∴AE 平分∠BAC
∵AB ＝AC ，
∴BE ＝12
BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．
4．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故③正确．
作GM⊥AB于M．如图所示：
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ，连接FG ，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG ；④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．
【详解】
∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，
∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确； 在△ABF 和△DBG
中，60BAF BDG AB DB
ABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩
，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；
∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．
∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．
【答案】72
【解析】
【分析】
按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵DA⊥AC，AD=24 cm
∴DC=2AD=48cm，
∵∠BAC=120°，DA⊥AC
∴∠BAD=∠BAC-90°=30°
∴∠B=∠BAD
∴BD=AD=24cm
∴BC=BD+DC=72cm
故答案为72.
【点睛】
本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.
7．在△ABC 中，∠ACB＝90º，D、E 分别在 AC、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-
45°，
当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.
【详解】
∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
设∠BAC的度数为x，
∴∠B=90°-x，
∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，
∴∠DFE=∠BAC=x，
∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，
∵∠ADE=∠FDE，
∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，
∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，
∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当FE=FB时，如图1，
则∠BEF=∠B，
∴90-x=2x-45，解得：x=45；
②当BF=BE时，
则∠EFB=∠BEF，
∴135-x=2x-45，
解得：x=60，
③当EB=EF时，如图2，
则∠B=∠EFB，
∴135-x=90-x，无解，
∴这种情况不存在.
综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.
故答案是：45°或60°.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.
8．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.
【答案】10
3
或10
【解析】
【分析】
根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.
【详解】
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示
当点P在AO上时，
∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t
当PO=QO时，
102t t
-=
解得
10
3 t=
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时
∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t
当PO=QO时，
210
t t
-=
解得10
t=
故答案为：10
3
或10
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.
9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是
______________．
【答案】
2018
1
80 2
⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．
【详解】
解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C=
°
180-
2
B
∠
=80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=1
2
∠BA1C=
1
2
×80°；
同理可得∠EA3A2=（1
2
）2×80°，∠FA4A3=（
1
2
）3×80°，
∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（1
2
）n-1×80°．
∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（1
2
）2018×80°，
故答案为：（1
2
）2018×80°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是________ .
【答案】33
【解析】
试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵E 为AB 的中点，∠DAB=60°，
∴DE ⊥AB ，
∴ED=22AD AE -=2263-=33，
∴EF+BF 的最小值为33．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，
12．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D E 、是AB 边上两点，且CE 垂直平分,AD CD 平分,6BCE AC cm ∠=，则BD 的长为（ ）
A ．6cm
B ．7cm
C ．8cm
D ．9cm
【答案】A
【解析】
【分析】 根据CE 垂直平分AD ，得AC=CD ，再根据等腰在三角形的三线合一，得
ACE ECD ∠=∠，结合角平分线定义和90ACB ︒∠=，得
30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=，则BD CD AC ==．
【详解】
∵CE 垂直平分AD
∴AC=CD ＝6cm ，ACE ECD ∠=∠
∵CD 平分BCE ∠
∴BCD ECD ∠=∠
∴30ACE ECD DCB ︒∠=∠=∠=
∴60A ︒∠=
∴30B BCD ︒∠==∠
∴6CD BD AC cm ===
故选：A
【点睛】
本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．
13．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（ ）
A ．9个
B ．7个
C ．6个
D ．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
先以Rt ABC ∆三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点；也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点即得．
【详解】
解：①如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则∆BCD 就是等腰三角形；
②如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，则∆ACE 就是等腰三角形； ③如图3，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于M ，交AC 于点F ，则∆BCM 、∆BCF 是等腰三角形；④如图4，作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，则∆ACH 就是等腰三角形；⑤如图5，作AB 的垂直平分线交AC 于点G ，则∆AGB 就是等腰三角形；⑥如图6，作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则∆BCI 就是等腰三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．
14．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）
A ．()20182(3),0-⨯
B ．()20180,2(3)-⨯
C ．()20192(3),0⨯
D ．()
20190,2(3)-⨯ 【答案】D
【解析】
【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．
【详解】
解：由题意可得，
2242-3
OB 1323322(3)⨯，
OB 231= 323)⨯，
…
∵2018÷4=504…2，
∴点B 2018在y 轴的负半轴上，
∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD 交CE于G．则下列结论中错误的是( )
A．AD＝BE B．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形D．FG ∥BC
【答案】B
【解析】
试题解析：A.ABC和CDE
△均为等边三角形，
60
AC BC EC DC ACB ECD
∴==∠=∠=︒
，，，
在ACD与BCE中，
{
AC BC
ACD BCE
CD CF
=
∠=∠
=，
ACD BCE
∴≌，
AD BE
∴=，正确.
B.据已知不能推出F是AC中点，即AC和BF不垂直，所以AC BE
⊥错误，故本选项符合题意.
C.CFG是等边三角形，理由如下：
180606060
ACG BCA
∠=︒-︒-︒=︒=∠，
ACD BCE
≌，
CBE CAD
∴∠=∠，
在ACG和BCF中，{
CAG CBF
AC BC
BCF ACG
∠=∠
=
∠=∠，
ACG BCF
∴≌，
CG CH
∴=，又∵∠ACG=60°
CFG ∴是等边三角形，正确.
D.CFG 是等边三角形，
60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，
.FG BC ∴ 正确.
故选B.
16．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：
①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；
④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；
③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.
【详解】
连接OB ，
∵AB AC =，AD ⊥BC ，
∴AD 是BC 垂直平分线，
∴OB OC OP ==，
∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，
∵AB=AC ，∠BAC =120∘
∴30ABC ACB ∠=∠=︒
∴30ABO DBO ∠+∠=︒，
∴30
APO DCO
∠+∠=．
故①②正确；
∵OBP
∆中，180
BOP OPB OBP
∠=︒-∠-∠，
BOC
∆中，180
BOC OBC OCB
∠=︒-∠-∠，
∴360
POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB
∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，
∵OPB OBP
∠=∠，OBC OCB
∠=∠，
∴260
POC ABD
∠=∠=︒，
∵PO OC，
∴OPC
∆是等边三角形，
故③正确；
在AB上找到Q点使得AQ=OA，
则AOQ
∆为等边三角形，
则120
BQO PAO
∠=∠=︒，
在BQO
∆和PAO
∆中，
BQO PAO
QBO APO
OB OP
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴BQO PAO AAS
∆∆
≌（），
∴PA BQ
=，
∵AB BQ AQ
=+，
∴AB AO AP
=+，故④正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证
BQO PAO
∆∆
≌是解题的关键．
17．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结
论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第
4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．
②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．
【详解】
①在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故①错误；
②∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵
AB CA
ABQ CAP
AP BQ
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故②正确；
③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故③正确；
④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=4
3，
当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=8
3，
∴当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形．
故④正确．
正确的是②③④，
故选C．
【点睛】
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
18．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）．则∠OCD 等于（）
A．108°B．114°C．126°D．129°
【答案】C
【解析】
【分析】
按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．
【详解】
解:展开如图,五角星的每个角的度数是,
180
5
=36°.
∵∠COD=360°÷10=36°,∠ODC=36°÷2=18°,
∴∠OCD=180°-36°-18°=126°,故选C．
【点睛】
本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．
19．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．
【详解】
（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线
上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．
在△BCD和△ACE中，∵
AC BC
BCD ACE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正
确；
（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；
（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．
∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角
形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；
（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．
∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．
在△CDZ和△CEN中，
CZD CNE
CDZ CEN
CD CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．
综上所述：四个结论均正确．
故选D．
【点睛】
本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．
20．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正）
确的选项是（
【答案】D
【解析】
①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确；
②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．
∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．
∴BD是∠ABC的角平分线，正确；
③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；
故选：D.。