2018_2019学年高中数学课时跟踪检测(二)基本不等式(含解析)新人教A版选修4_5

课时跟踪检测（二） 基本不等式
1．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则
a ＋b
2
≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2
＋2＋1
x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2
＋1＋
1
x 2
＋1
≥2； ④若a ，b 为正实数，则
a ＋b
2
≥ab .
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 显然①不正确；③正确； 对于②，虽然x 2
＋2＝
1x 2
＋2无解，但x 2
＋2＋1x 2＋2
>2成立，故②正确； ④不正确，如a ＝1，b ＝4.
2．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1
b
有最大值4
B.ab 有最小值1
2
C.a ＋b 有最大值 2
D ．a 2
＋b 2
有最小值
22
解析：选C 由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b
的最小值为4，a 2＋b 2
＝(a ＋
b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－12＝1
2
，(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b
有最大值2，故选C.
3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92
D.112
解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝
⎛⎭
⎪
⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，
整理得(x ＋2y )2
＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0， 又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，故选B.
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货
物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A ．5千米处
B ．4千米处
C ．3千米处
D ．2千米处
解析：选A 由已知可得y 1＝20
x
，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)，
所以费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20
x
≥2
0.8x ·20
x
＝8.
当且仅当0.8x ＝20
x
，即x ＝5时等号成立．
5．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2
－
12
x 2
的最大值是________，取得最大值时x 的值是________．
解析：f (x )＝2－3⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，
当且仅当x 2
＝4x
2即x ＝±2时取等号．
答案：－10 ± 2
6．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号)
①ab ≤1； ② a ＋b ≤2；③a 2
＋b 2
≥2； ④a 3＋b 3
≥3；⑤1a ＋1b
≥2.
解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab ≤a ＋b
2
4
＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，
故①正确；
(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得 a ＋b ≤2，故②错误；
由于
a 2＋
b 2
2
≥
a ＋b
2
4
＝1，故a 2＋b 2
≥2成立，故③正确；
a 3＋
b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，
∴a 2
＋b 2
－ab ≥1，∴a 3
＋b 3
≥2，故④错误；
1
a ＋1
b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤成立． 答案：①③⑤
7．对于x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2
x ≥16恒成立，则正数p 的取值范围为________． 解析：令t ＝sin 2
x ，则cos 2
x ＝1－t .
又x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴t ∈(0,1)．
不等式 1sin 2x ＋p cos 2x ≥16可化为p ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )． 而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－1t (1－t )＝17－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ＋16t ≤17－2
1
t
·16t ＝9，
当1t ＝16t ，即t ＝1
4时取等号， 因此若原不等式恒成立，只需p ≥9. 答案：[9，＋∞)
8．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1
ab
≥8；
(2)⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ＋4
≥4
b a ·a b ＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝1
2
时，等号成立)， ∴1a ＋1b ＋1
ab
≥8.
(2)∵⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1
ab
＋1，
由(1)知1a ＋1b ＋1ab
≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9.
9．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1
y
的最小值．
解：(1)∵x >0，y >0，
∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .
∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．
因此有⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，
y ＝2，
此时xy 有最大值10.
∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.
∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，
∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭
⎪⎫7＋2
5y x ·2x y ＝
7＋210
20， 当且仅当5y x ＝2x
y
时等号成立．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋5y ＝20，
5y x ＝2x
y
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1010－20
3，y ＝20－4103
.
∴1x ＋1y 的最小值为7＋210
20
. 10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1
的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为 4 000 m 2
，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1
B 1
C 1
＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x ) 的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则其长为ax m ， 由a 2
x ＝4 000，得a ＝2010x
.
则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2
x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010
x
＋160
＝8010⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2 x ＋
5x ＋4 160(x >1)．
(2)由(1)知，S≥8010×22x·5
x
＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2 x＝5
x
即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.。