高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课件第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt版本

章三角函数、解三角形
节任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另
一个位置所成的图形．
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为
正角、 负角 、零角 象限角 和轴线角.
.
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成
[题点全练] 角度一： 三角函数值的符号判定
1．若 sin αtan α＜0，且tcaons αα＜0，则角 α 是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析
角度二：由角的终边上一点 P 的坐标求三角函数值 2．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，
角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A
的纵坐标为45，则 cos α＝________. 解析：因为 A 点纵坐标 yA＝45，且 A 点在第二象限，又因 为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－35，由三角函数 的定义可得 cos α＝－35. 答案：－35
3．已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α＝ 24m，则 m＝________.
一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧
度的角，弧度记作 rad.
(2)公式
角 α 的弧度数公式
|α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算
弧长公式 扇形面积公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝_1_π8_0__° 弧长 l＝ |α|r
[小题纠偏] 1．下列说法正确的是
()
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若 β＝α＋k·360°(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同
答案：D 2．若角 α 终边上有一点 P(x,5)，且 cos α＝1x3(x≠0)，则 sin
α＝________. 答案：153
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
再见
2．(易错题)若角 α 是第二象限角，则α2是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：∵α 是第二象限角， ∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2是第一象限角； 当 k 为奇数时，α2是第三象限角． 答案：C
tan α 的值．
解：设 α 终边上任一点为 P(－4a,3a)， 当 a＞0 时，r＝5a，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34； 当 a＜0 时，r＝－5a，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.
[方法归纳]
应用三角函数定义的 3 种求法 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值．先 求 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角 α 的某三角函数值，可求角 α 终边上一点 P 的坐标 中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角 函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐标．
考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1
B．4
C．1 或 4
D．2 或 4
解析：设此扇形的半径为 r，弧长为 l，
2r＋l＝6， 则12rl＝2，
解得rl＝＝41， 或rl＝＝22.，
答案：8
3
3 π
3．已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时， 扇形的面积最大？
解：设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝40.
又
S
＝
1 2
θr2
＝
1 2
r(40
－
2r)
＝
r(20－r)＝ Nhomakorabea－
(r
－
10)2
＋
100≤100.
当且仅当 r＝10 时，Smax＝100，此时 2×10＋10θ＝40， θ＝2.
S＝
1 2lr
＝__12_|_α_|r_2_
3.任意角的三角函数
三角 函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么
定义
_y_叫做 α 的 _x__ 叫 做 α y
_x__叫做 α 的正切，记
正弦，记作 的余弦，记
作 tan α
sin α
作 cos α
三角函数 Ⅰ
考点三 三角函数的定义 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内 容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有： (1)三角函数值的符号判定； (2)由角的终边上一点的 P 的坐标求三角函数值； (3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形的面积最大．
[谨记通法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝αr，扇形的面积公式是 S ＝12lr＝12αr2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长 三个量中的任意两个量，如“题组练透”第 2 题．
D．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是
第________象限角． 答案：四 一 3．(教材习题改编)已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长
是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________． 答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概 念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个 式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐 标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y， cos α＝x，tan α＝xy，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r， 则 sin α＝yr，cos α ＝xr，tan α＝xy.
从而 α＝rl＝41＝4 或 α＝rl＝22＝1.
答案：C
2．(易错题)若扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm， 则弧长 l＝________cm.
解析：设扇形的半径为 r cm，如图．
由 sin 60°＝6r，
得 r＝4 3 cm，
∴l＝|α|·r＝23π×4
3＝8
3
3 π
cm.
考点一 角的集合表示及象限角的判定 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－34π是第二象限角；②43π是第三角限角；③－400°是第四
象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析
[谨记通法] 1．终边在某直线上角的求法 4 步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．
2．确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围； (2)再写出 kα 或αk的范围； (3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在位 置，如“题组练透”第 2 题易错．
3．设集合 M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z ，N＝
xx＝k4·180°＋45°，k∈Z
，那么

A．M＝N
B．M⊆N
()
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
解析
4．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为 ________．
解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－736650≤k<－34650， 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°. 答案：－675°或－315°
解析：由题设知 x＝－ 3，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，r＝ 3＋m2. ∴sin α＝mr ＝ 24m＝2m2， ∴r＝ 3＋m2＝2 2， 即 3＋m2＝8，解得 m＝± 5. 答案：± 5
角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值 4．已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，
各象限 Ⅱ 符号 Ⅲ Ⅳ
正弦 ＋ ＋ － －
余弦 ＋ － － ＋
正切 ＋ － ＋ －
三角函 数线
有向线段_M__P_ 有向线段_O_M__ 有向线段__A_T_
为正弦线
为余弦线
为正切线
[小题体验] 1．若 sin α＜0 且 tan α＞0，则 α 是
()
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角