2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)

2021届黑龙江省大庆实验中学高三上学期第二次月考数学
（文）试题
一、单选题
1．设{|5}A x Z x =∈，{}|1B x R x =∈>，则A B =（ ）
A ．{1，2，3，4，5}
B ．{2，3，4，5}
C ．{|25}x x
D ．{|15}x x <
【答案】B
【分析】直接利用交集的运算求解． 【详解】
{|5}A x Z x =∈，{}|1B x R x =∈>，
{|15}{2A B x Z x ∴⋂=∈<=，3，4，5}．
故选：B ．
2．设(),αππ∈-，且1
cos 2
α=-，则α=（ ） A ．23
π-
或23π
B ．3
π
-
或
3
π
C ．3
π
-
或
23
π
D ．23π-
或3
π 【答案】A
【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为(),αππ∈-，且1
cos 2
α=-， 则23
πα=-
或23π
. 故选：A
【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）
A ．5
B
C ．2
D
【答案】B
【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+
所以3z i +==故选：B .
4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”
一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、
，
上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨
2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（ ）
A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
16
【答案】A
【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70， 其中是质数的有：7、61，故所求事件的概率为2163
P ==. 故选：A.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
5．已知集合{}3,A x x k k N ==∈,{}
6,B x x z z N ==∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不
必要条件 【答案】B 【分析】先判断出B
A ，再根据包含关系判断“x A ∈”是“x
B ∈”的必要不充分条件.
【详解】解：因为{}
3,A x x k k N ==∈,{}
6,B x x z z N ==∈，所以B A ，
所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件， 故选：B.
【点睛】本题考查集合的基本关系，根据集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础
题.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且公差0d ≠，若743S a =，则（ ） A ．34S S = B ．35S S =
C ．45S S =
D ．46S S =，
【答案】A
【分析】根据等差数列的前n 项和公式，可得40a =，由此即可得到结果. 【详解】由题意可知，()
177447732
a a S a a +=
==，所以40a = 所以33344+0+S S S a S ===. 故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 7．若x >1，则1
21
x x +-的最小值为（ ）
A ．2
B ．-
C ．2-
D ．【答案】A
【分析】由1x >，可得10x ->，化简可得1122(1)211
x x x x +=-++--，利用基本不等式即可得解.
【详解】由1x >，可得10x ->，
11
22(1)22211x x x x +
=-++≥=--，
当且仅当12(1)1x x -=
-，即2
2
x =取等号， 1
2
1
x x +
-的最小值为2， 故选：A.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，解题时注意基本不等式的适用条件，属于基础题. 8．若圆22()()4x a y a -+-=上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值
范围为（ ）
A ．(-
B ．((0-⋃
C ．(1)(1--⋃
D ．(0
【答案】B
【分析】根据题意可得已知圆与圆224x y +=相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】由题意可得：已知圆与圆224x y +=相交， ∴222222a a -<+<+， ∴2204a a <+<，
解得2222a -<<且0a ≠， 故选：B.
9．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（ ）
A ．上午10：00
B ．中午12：00
C ．下午4：00
D ．下午6：00
【答案】C
【分析】根据图象分段设出一次函数模型，分别代入点()4,320和()20,0求解出y 关于x 的解析式，由第一次服药的残留量大于等于240求解x 的范围，即可求解 【详解】由图象知： 设()y f x kx b ==+
当04x ≤≤时，设直线y kx =，把点()4,320代入得80k =，所以80y x =； 当420x <≤时，()y f x kx b ==+，
将点()4,320和()20,0代入得4320200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得20400k b =-⎧⎨=⎩
，
此时()20400y f x x ==-+， 所以()80,04
20400,420x x f x x x ≤≤⎧=⎨
-+<≤⎩
，
当04x ≤≤时，令80240x ≥，得34x ≤≤，
当420x <≤时，令20400240y x =-+≥，解得：48x <≤， 所以38x ≤≤，
故第二次服药最迟的时间应为8小时后，也即是下午4：00， 故选：C
【点睛】关键点点睛：本题是一道关于一次函数的实际应用题，解题的关键是根据图像求出解析式，根据解析式求出血液中药物残留量不小于240毫克时的最长时间，属于中档题.
10．已知双曲线22
21(0)12
x y a a -=>0y -=，左焦点为F ，
当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)1x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为（ ）． A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
【答案】A
【分析】求得双曲线的a ，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，计算可得所求最小值．
【详解】解：由题意双曲线2221(0)12
x y a a -=>0y -=，可得
b =2a =，
可得双曲线22
1412
x y -=，
焦点为(4,0)F -，(4,0)F '，
由双曲线的定义可得||2||4||MF a MF MF =+'=+'， 由圆22(3)1x y +-=可得圆心(0,3)C ，半径1r =， ||||4||||MN MF MN MF +=++'，
连接CF '，交双曲线于M ，圆于N ，
可得||||MN MF +取得最小值，且为||5CF '=， 则||||MN MF +的最小值为4518+-=． 故选：A ．
11．四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为32若四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【分析】根据四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，可求得P 到平面ABCD 的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O 的半径r ，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】设球心到平面ABCD 的距离为h ，球O 的半径为r ，
根据题意，当P 到平面ABCD 距离最大，即为r+h 时，四棱锥P ABCD -的体积最大， 所以1
3232()543
V r h =
⨯+=，解得9r h +=， 又A B C D 、、、都在球面上，设平面ABCD 所在圆心为'O ，由题意得
22
'
(32)(32)3O A +==，
所以2223r h =+，解得=5r ， 所以表面积245100S ππ=⋅=. 故选：C
【点睛】本题关键点在于根据体积最大值，求得P 到平面ABCD 的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r ，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题. 12．点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a 2P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】要满足到直线y ＝x +a P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为
点．从而解决问题．
【详解】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行 y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1 ∴P （0，1），
于是当点P 到直线y ＝x +a y ＝x +a P 有且仅有3个，
∴d =
=a ＝﹣1或a ＝3
又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x 的图象与直线y ＝x ﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为
故a ＝3． 故选：C ．
【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.
二、填空题
13．如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________. 【答案】2
【分析】由中位数和众数的概念可得数据的中位数和众数，即可得解. 【详解】由题意，该组数据的中位数为12，众数为10， 所以该组数据的中位数与众数的差为2. 故答案为：2.
【点睛】本题考查了数据中位数及众数的求解，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 14．下列命题中正确的是__________（填序号）
①若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线； ②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交； ③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面 【答案】③
【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断即可.
【详解】若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内过交点的直线不是异面直线，故①不正确；
若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与该平面平行或相交或在平面内，故②不正确；
若直线与平面平行，则l 与平面α无公共点，所以l 与平面α内的直线也无公共点，即平行或异面，故③正确 故答案为：③.
【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属基础题.
15．设I 为ABC 的内心，5AB AC ==，6BC =，AI mAB nBC =+，则m n +为________． 【答案】
15
16
【分析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，求出所需向量的坐标，根据AI mAB nBC =+，即可求得m n +的值． 【详解】解：因为5AB AC ==，所以取BC 中点为O ，连接AO ，
则AO BC ⊥，且ABC 的内心I 在AO 上，IO 即为ABC 的内切圆半径r ， 又6BC =，所以AO 224AB BO =-=，
因为()1122ABC
S
BC AO AB BC AC r =
⨯=++⨯，即()64556IO ⨯=++⨯， 所以32IO =，5
2
AI =，
以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(0,4)A ，(3,0)B -，(3,0)C ，则(3,4)AB =--，(6,0)BC =，50,2AI ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
，
因为AI mAB nBC =+，即(3,4)(56,,20)0n m -⎛⎫⎪+⎭--= ⎝
，
所以542360
m m n ⎧
-=-
⎪⎨⎪-+=⎩解得55,816m n ==，所以551581616m n +=+
=， 故答案为：
5
16
. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，利用
()11
22
ABC
S
BC AO AB BC AC IO =
⨯=++⨯求出IO ，进而求出AI ，进而建立直角坐标系，利用坐标法求解.
16．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义为11a =，21a =，21++=+n n n a a a ，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21++=+n n n a a a 可得：21n n n a a a ++=-，所以
()()()12324321n n n a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-+-+-22n a a +=-，类比这种方法，
请计算222
1210a a a ++⋅⋅⋅+=________． 【答案】4895
【分析】易得21121n n n n n a a a a a ++++=⋅-⋅，再表示出22a ，⋯，2
10
a ，并将其累加后，进行运算即可． 【详解】解：
21n n n a a a ++=+，12n n n a a a ++∴=-，
∴2
1121n
n n n n a a a a a ++++=⋅-⋅，
∴2
22312a a a a a =⋅-⋅，
233423a a a a a =⋅-⋅，
⋯⋯
2101011910a a a a a =⋅-⋅，
222212101231234231011910()()()a a a a a a a a a a a a a a a a ∴++⋯+=+⋅-⋅+⋅-⋅+⋯+⋅-⋅
21121011a a a a a =-⋅+⋅
21115589=-⨯+⨯
4895=．
故答案为：4895．
三、解答题
17．已知函数2()sin 12sin 62
x f x x π⎛⎫
=+
+- ⎪
⎝
⎭． （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B ，1b =，
a =c ．
【答案】（1）5
2,
2()6
6k k k π
πππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ；（2）1c =或2c =. 【分析】（1）把已知函数整理成()sin y A x C ωϕ=++的格式，然后利用正弦函数的单调增区间求()f x 的单调递增区间；
（2）根据()f B =求出角B ，然后运用余弦定理即可求出边c .
【详解】（1）13()cos cos cos 223f x x x x x x x π⎛⎫=
++=+=+ ⎪⎝⎭
，
利用正弦函数的单调增区间易得()f x 的单调增区间为
52,2()66k k k ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，
（2）()3f B B π⎛⎫=+= ⎪
⎝
⎭sin 13B π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，因为角B 是ABC 的内角，所以6
B π
=
由余弦定理知：2222cos
22a c b B ac +-===
，解得1c =或2c =． 【点睛】对于三角函数，求最小正周期、单调区间，对称轴、对称中心、最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为
2T ω
π
=
，其他则结合正弦、余弦函数的图象与性质即可求得.
18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，我校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：
（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； （2）依题意，完成以下22⨯列联表（直接填写表格即可）：
在线时长
数学成绩
不超过120分
超过120分
合计
不超过1小时 25 超过1小时 20 合计
20
25
45
是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．
()20P K k ≥
0.050 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 【答案】（1）2
9
；（2）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”．
【分析】（1）根据古典概型直接求出概率；
（2）由已知得22⨯列联表，求得2K ，然后与临界值进行比较即可得出结论. 【详解】（1）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， 但考试成绩超过120分的人数为225105⨯=人，∴其概率为102459
=； （2）依题意，得22⨯列联表：
数学成绩
在线学习时长 不超过120分
超过120分
合计
不超过1小时 15 10 25 超过1小时 5 15 20 合计
20
25
45
∵22
45(1515510)441
5.5125
6.6352025252080
K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯，
∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”． 19．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到
APC △的位置．
（1）求证：PB AC ⊥；
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出. （2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1
V AC S 3
-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，
取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O =
AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥
（2）由（1）知
AC POB 260AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===
平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1
AC S 3
=
⋅ =11
233sin sin 32
POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，
P ABC V -的最大值为1.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.
20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,2)，且离心率2
2
e =.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9
(,0)4
G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)22
142
x y += (2) 点G 在以AB 为直径的圆外
【详解】解法一：（Ⅰ）由已知得
2222,2{
2
,
b c a a b c ===+解得2
{22
a b c ===所以椭圆E 的方程为22
142
x y +=．
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．
由222
2
1
{(2)230,142
x my m y my x y =-+--=+=得 所以12122223y +y =
,y y =m 2m 2m ，从而0
22
m
y m =+.
所以2
22
2222
00000095525GH|()()(+1)+
+4
4
216
x y my y m y my =++=++=. 22
22
2
121212()(y )(m +1)(y )|AB|444
x x y y
22221212012(m +1)[(y )4y ]
(m +1)(y y )4
y y y ,
故
22222
2012222|AB|52553(m +1)25172
|GH|
my (m +1)y 0
4
216
2(m 2)m 21616(m 2)
m m y
所以|AB||GH|>
2，故G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则1
12299
GA
(,),GB (,).44
x y x y 由222
2
1
{(2)230,14
2
x my m y my x y =-+--=+
=得所以1212
2223
y +y =
,y y =m 2m 2m ， 从而121212129955GA GB ()()()()444
4
x x y y my my y y ⋅=+++=+++
222
12
122252553(m +1)25
(m +1)y (y )416
2(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)
m
所以cos GA,GB 0,GAGB 又，不共线，所以AGB 为锐角.
故点G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．
【解析】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．
21．已知函数()2
x
f x e ae x =-.
（1）讨论()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，证明：()2
ln f x e x >.
【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的
减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞，（2）证明见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导数，分0a ≤和0a >，分别由导数大于零和小于零，可求得函数的单调区间；
（2）要证明22ln x ae x e x e ->，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数()2
ln x
g x e e x =-，
然后利用导数求出此函数的最小值即可，或要证明22ln x ae x e x e ->，只要证
22
ln x e x x e x ae ->
，构造函数()()20x g x ae x x e =->，然后用导数求其最小值，构造函数()()2ln 0x
h x e x x
=>，然后利用导数求其最大值，或要证明22ln x ae x e x e ->．
由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->，构造函数
()()()222222ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，令
()()220x h x e e x e x =-+>，()222ln m x e x e e x =--，再利用导数求其最小值即可
【详解】（1）解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，()2
x
f x e ae '=-．
当0a ≤时，0f x ，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间． 当0a >时，由0f
x
，得2ln x a =+．
当(),2ln x a ∈-∞+时，0f
x
；当()2ln ,x a ∈++∞时，0f
x
，
所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞． （2）证明：法一：要证明22ln x ae x e x e ->． 由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．
设()2
ln x
g x e e x =-，则()2x
g x e e x '=-，()220x g x e x
e ''=+>，
所以()g x '在0,
上是增函数．
又()2
10g e e '=-<，()222
2022
e g e
e '=-=>，
所以存在()01,2x ∈，使得()0
2000x g e x e x '=-=，即0
20
x e e x =，00ln 2x x =-． 所以当()00,x x ∈时，0g x ；当()0,x x ∈+∞时，0g x
，
所以()g x 有极小值， 且极小值为
()()0
222
2
2222000000
ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=．
因此()
0g x
>，即2ln 0x e x -->．
综上，当0a <时，()2
ln f x e x >．
法二：要证明2
2
ln x
ae x e x e ->，只要证22
ln x e x x
e x ae ->
． 设()()2
0x g x ae x x e =->，则()()2
1x x e g x x
-'=． 当01x <<时，0g x
；当1x >时，0g x ，
所以()g x 在0,1上是减函数，在1,
上是增函数，
所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2
min 1g x g e ae ==-．
令()()2ln 0x
h x e x x =>，则()()22
1ln x h x x
e -'=． 当0x e <<时，()0h x '>；当e x >时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，
所以x e =是()h x 的极大值点，也是最大值点，且()()max h x h e e ==，
所以当0a <时，()()2
g x e ae e h x ≥->≥，即22
ln x e x x
e x ae ->
． 综上，当0a <时，()2
ln f x e x >．
法三：要证明22ln x ae x e x e ->．
由于当0a <时，20ae x <，只要证2ln 0x e e x ->．
设()()()
222222
ln ln x x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，
令()()2
2
0x
h x e e x e
x =-+>，则()2x h x e e '=-，
当02x <<时，()0h x '<；当2x >时，()0h x '>，
所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min 20h x h ==．
设()222
ln m x e x e e x =--，则()()2
2
2
1x e m x e x x
e
-'=-=
． 当01x <<时，()0m x '<；当2x >时，()0m x '>， 所以()m x 在0,1上是减函数，在1,
上是增函数，
所以1x =是()m x 的极小值点，也是()m x 的最小值点，即()()min 10m x m ==． 综上，()0h x ≥（当且仅当2x =时取等号），()0m x ≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()()()0g x h x m x =+>，
故当0a <时，()2
ln f x e x >．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是将不等式等价转化，然后构造函数，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题
22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C
的参数方程为,
x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），
直线l
的参数方程为,
,
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交
于M 、N 两点；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围； （2）求证：2
2
OM
ON +为定值.
【答案】（1）
()4
R π
θρ=∈；()222cos 50a a ρθ-+-=；a
的取值范围是(（2）证明见解析；
【分析】（1）消参可得直线l 的直角坐标方程，利用直角坐标与极坐标的互化可得直线l
和圆C 的极坐标方程，根据原点在圆的内部可得()2
2
005a -+<，解不等式即可.
（2
）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程可得2250a ρρ+-=，由
2
2
22
12OM ON ρρ+=+，利用韦达定理即可求解.
【详解】解（1）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =，
所以直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈；
将圆C 的参数方程化为直角坐标方程，得()2
2
5x a y -+=， 所以圆C 的极坐标方程为()2
2
2cos 50a a ρθρ-+-=.
由原点O 在圆C 的内部，得()2
2
005a -+<
，解得a <<
故a
的取值范围是(. （2）将4
π
θ=
代入()2
2
2cos 50a a ρθρ-+-=，
得2250a ρρ+-=.
则12ρρ+，2
125a ρρ=-， 所以()2
2
2
22
1212122OM
ON ρρρρρρ+=+=+-
)
()2
22510a =
--=，
故2
2
OM ON +为定值.
【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标方程的应用，属于基础题. 23． 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；
（2）记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且
230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.
【答案】（1）{}
22x x -≤≤；（2）
9
14
. 【分析】（1）利用零点分界法即可求解.
（2）利用绝对值三角函数不等式可得3m =，进而可得233a b c ++=，再利用柯西不等式即可求解.
【详解】解：（1）()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩或112
1216x x x ⎧
-<<⎪
⎨⎪-++≤⎩或122116
x x x ⎧
≥
⎪⎨
⎪-++≤⎩，
解得22x -≤≤，即不等式()6f x ≤的解集为{}
22x x -≤≤. （2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时取等号，∴3m =. 故233a b c ++=. 由柯西不等式(
)()
()2
222
2
221
23239a b c
a b c ++++≥++=，
整理得222
914
a b c ++≥
， 当且仅当
123
a b c
==，即314a =，614b =，914c =时等号成立.
所以222a b c ++的最小值为9
14
.
【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。