高考复习专题应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题

高考复习专题：应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题
1.（12丰台期末12分）如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L ，导轨上平行放置两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路。

已知两根导体棒的质量均为m 、电阻均为R ，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。

开始时，导体棒cd 静止、ab 有水平向右的初速度v 0，两导体棒在运动中始终不接触。

求： （1）开始时，导体棒ab 中电流的大小和方向；
（2）从开始到导体棒cd 达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热； （3）当ab 棒速度变为
4
3
v 0时，cd 棒加速度的大小。

【解析】：（12丰台期末12分）
（1）ab 棒产生的感应电动势 0=BLv E ab ，（1分）
ab 棒中电流 R
BLv R E I ab 2=
2=
，（1分） 方向由b a → （1分）
（2）当ab 棒与cd 棒速度相同时，cd 棒的速度最大，设最大速度为v
由动量守恒定律 mv mv 2=0（1分）
∴ 01
2
v v =
（1分） 由能量守恒关系 Q ＝21mv 20－2
1（2m ）v 2
（1 分）
∴ Q ＝4
1mv 2
0 （1分）
（3）设ab 棒的速度为03
4
v 时， cd 棒的速度为v ′
由动量守恒定律：v m v m mv ′+4
3
=00（1分）
041=′∴v v 。

043
=v BL E ab ；
04
1
=v BL E cd ；
I ＝R E E cd ab 2-=R v v BL 2)
4143(00- ∴I＝R
BLv 40
（2分）
cd 棒受力为 220
4B L v F IBL R
==（1分）；
此时cd 棒加速度为 220
4B L v F a m Rm
==（1分）
2.如图，相距L 的光滑金属导轨，半径为R 的1/4圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面，MNQP 范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场．金属棒ab 和cd 垂直导轨且接触良好，cd 静止在磁场中，ab 从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd 没有接触．已知ab 的质量为m 、电阻为r ，cd 的质量为3m 、电阻为r ．金属导轨电阻不计，重力加速度为g ．
（1）求：ab 到达圆弧底端时对轨道的压力大小
（2）在图中标出ab 刚进入磁场时cd 棒中的电流方向 （3）若cd 离开磁场时的速度是此刻ab 速度的一半， 求：cd 离开磁场瞬间，ab 受到的安培力大小
【解析】：
（1）设ab 到达圆弧底端时受到的支持力大小为N ，ab 下滑机械能守恒，
有：22
1
mv mgR ⨯=
…① 由牛顿第二定律：R
mv
mg N 2
=
-…②； 联立①②得：mg N 3=…③
由牛顿第三定律知：对轨道压力大小为mg N 3='…④
（2）如图（2分）（如用文字表达，正确的照样给分。

如：d 到c ，或d →c ） （3）设cd 离开磁场时ab 在磁场中的速度v ab ，则cd 此时的速度为ab v 2
1，
ab 、cd 组成的系统动量守恒，有：ab ab v m v m mv 2
13⨯+⨯=…⑤ ab 、cd 构成的闭合回路：由法拉第电磁感应定律：ab BLv E =…⑥ 闭合电路欧姆定律：r
E
I 2=
…⑦ 安培力公式：BIL F ab =…⑧联立①④⑤⑥⑦得r
gR
L B F ab 5222=
…⑨
3.（20分）如图所示，电阻均为R 的金属棒a ．b ，a 棒的质量为m ，b 棒的质量为M ，放在如图所示光滑的轨道的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a 棒一水平向左的的初速度v 0，金属棒a ．b 与轨道始终接触良好．且a 棒与b 棒始终不相碰。

请问： （1）当a ．b 在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？
（2）设b 棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a 棒已静止在水平轨道上，且b 棒与a 棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a ，b 的末速度为多少？ （3）整个过程中产生的内能是多少? 【解析】
（1）对a ．b 棒水平轨道分析，动量守恒；
1v 是稳定时a ．b 棒共同速度
1
0)(v M m mv += ①--3分，
解得
)(0
1M m mv v +=
②-1分，
损失的机械能为
2
1
20)(2121v M m mv E +-=∆)(22
0m M Mmv += ③-4分 （2）由于b 棒在冲上又返回过程中,机械能守恒,返回时速度大小不变12v v = ④--2分 b 棒与a 棒向右运动过程中，直到稳定，动量守恒：
3
2)(v m M Mv += ⑤-3分
达到新的稳定状态a ，b 的末速度:
20
3)(m M Mmv v +=
⑥-2分
（3）整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量
2320)(21
21v m M mv Q +-=
⑦---3分
解得：
))(1(213
22
0m M m M mv Q +-= ⑧--2分 4.(18分)如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L ，放在水平绝缘桌面上，半径为R 的1/4圆弧部分处在竖
直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B ，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。

两金属棒ab 、cd 垂直于两导轨且与导轨接触良好。

棒ab 质量为2 m ，电阻为r ，棒cd 的质量为m ，电阻为r 。

重力加速度为g 。

开始棒cd 静止在水平直导轨上，棒ab 从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd 始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。

棒ab 与棒cd 落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。

求：
（1）棒ab 和棒cd 离开导轨时的速度大小；
（2）棒cd 在水平导轨上的最大加速度；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。

【解析】： （1）设ab 棒进入水平导轨的速度为1v ，ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：2122
1
2mv mgR ⨯=
①（ 2分） 离开导轨时，设ab 棒的速度为/
1v ，cd 棒的速度为/
2v ，ab 棒与cd 棒在水平导轨上运动，动量守恒，
/
2/1122mv mv mv += ② （ 2分）
依题意/1v >/
2v ，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移vt x =可知
/1v :/2v =x 1:x 2=3:1 ③（ 2分），联立①②③解得gR v 276/1=
，gR v 27
2/
2= （ 2分） （2）ab 棒刚进入水平导轨时，cd 棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为ε，
BLv =ε ④ （ 1分）
，r
I 2ε
= ⑤ （ 1分）
cd 棒受到的安培力为：BIL F cd = ⑥ （ 1分） 根据牛顿第二定律，cd 棒的最大加速度为：m
F a cd
=
⑦（ 1分） 联立④⑤⑥⑦解得：mr
gR
L B a 2222= （ 2分）
（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：
)2
1221(2212
/22/121mv mv mv Q +⨯-⨯=⑧（ 2分）
联立①⑧并代入/
1v 和/
2v 解得：mgR Q 49
22
= （ 2分）
5．（20分）如图所示，宽度为L 的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r 1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r 2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。

水平轨道所在的区域有磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场。

一根质量为m 的金属杆a 置于水平轨道上，另一根质量为M 的金属杆b 由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b 滑入水平轨道某位置时，a 就滑上了右端半圆轨道最高点(b 始终运动且a 、b 未相撞），并且a 在最高点对轨道的压力大小为mg ，此过程中通过a 的电荷量为q ，a 、b 棒的电阻分别为R 1、R 2，其余部分电阻不计。

在b 由静止释放到a 运动到右端半圆轨道最高点过程中，求： （1）在水平轨道上运动时b 的最大加速度是多大？ （2）自b 释放到a 到达右端半圆轨道最高点过程中
系统产生的焦耳热是多少？
（3）a 刚到达右端半圆轨道最低点时b 的速度是多大？ 解析：（20分） （1）由机械能守恒定律：
12
12
1Mgr Mv b = ∴112gr v b =-4分 b 刚滑到水平轨道时加速度最大，E=BLv b1，2
1R R E
I +=
，
由牛顿第二定律有：F 安=BIL=Ma ∴ )
(2211
22R R M gr L B a +=-4分
（2）由动量定理有： -BILt=Mv b2–Mv b1， 即：-BLq=Mv b2–Mv b1 ∴M
BLq
gr v b -
=122 根据牛顿第三定律得：N=N ΄
=mg ，2
2
1r v m N mg a
=+ ∴212gr v a =
∵Q r mg mv Mv Mgr a b +++=
2212
2122
121 ∴M q L B mgr BLq gr Q 23222221--=-6分 （3）∵能量守恒有2
12222
1212a a mv mv mgr -= ∴226gr v a = 3分 ∵动量守恒定律231a b b mv Mv Mv += ∴21362gr M
m
gr v b -
=3分 6．两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为d=100cm ，在左端斜轨道部分高h=1.25m 处放置一金属杆a ，斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆b ，杆A ．b 电阻R a =2Ω，R b =5Ω，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T 。

现杆b 以初速度v 0=5m/s 开始向左滑动，同时由静止释放杆a ，杆a 滑到水平轨道过程中，通过杆b 的平均电流为0.3A ；a 下滑到水平轨道后，以a 下滑到水
平轨道时开始计时，A ．b 运动图象如图所示(a 运动方向为正)，其中m a =2kg ，m b =1kg ，g=10m/s 2
，求 （1）杆a 落到水平轨道瞬间杆a 的速度v ； （2）杆a 在斜轨道上运动的时间；
（3）在整个运动过程中杆b 产生的焦耳热。

【解析】：
（1
）5m/s v ==，
（2）b 棒，()20-=∆v m t I Bd b ，得5t s ∆= （3）共产生的焦耳热为22011161()226a b a b Q m gh m v m m v J '=+
⨯-+= B 棒中产生的焦耳热为5115
J 19J 256
Q Q '==≈+
7.（12分）如图所示，两根间距为L 的金属导轨MN 和PQ ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d 、方向竖直向上的匀强磁场I ，右端有另一磁场II ，其宽度也为d ，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B 。

有两根质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 和b 与导轨垂直放置，b 棒置于磁场II 中点C 、D 处，导轨除C 、D 两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K 倍，a 棒从弯曲导轨某处由静止释放。

当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即v x ∆∝∆。

求：
（1）若a 棒释放的高度大于h 0，则a 棒进入磁场I 时会使b 棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h 0为多少？ （2）若将a 棒从高度小于h 0的某处释放，使其以速度v 0进入磁场I ，结果a 棒以
2
v 的速度从磁场I 中穿出，求在a 棒穿过磁场I 过程中通过b 棒的电量q 和两棒即将相碰时b 棒上的电功率P b 为多少？
【解析】（
（1）根据左手定则判断知b 棒向左运动。

（2分） a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有2
012
mgh mv = 得： v =1分） a 棒刚进入磁场I 时 E BLv = , 此时感应电流大小 2E I R
=
此时b 棒受到的安培力大小F BIL =，依题意，有F Kmg =,求得：222
044
2K m gR h B L
=（3分） （2）由于a 棒从小于进入h 0释放，因此b 棒在两棒相碰前将保持静止。

流过电阻R 的电量q I t =∆ ；
又因：E B S I R R t R t φ∆∆
===∆∆
总总总
所以在a 棒穿过磁场I 的过程中，通过电阻R 的电量：
,
故：2B S BLd q R R ∆==总（3分）（没有推导过程得1分）
将要相碰时a 棒的速度 0
00
022
24
v v v v d v d -
=
-⨯=（1分） 此时电流：028BLv BLv I R R
==
（1分），此时b 棒电功率：222
2
064b B L v P I R R ==
8．（20XX 届海淀期末10分）如图21所示，两根金属平行导轨MN 和PQ 放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L ，电阻不计。

水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B ，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B ，方向竖直向下。

质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 和b 垂直导轨放置在其上，金属棒b 置于磁场Ⅱ的右边界CD 处。

现将金属棒a 从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。

设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。

【解析】
（1）① a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有 ① 解得： ②
a 棒刚进入磁场I 时
③, 此时通过a 、b 的感应电流大小为 2E
I R
解得： ④
② a 棒刚进入磁场I 时，b 棒受到的安培力大小
⑤
为使b 棒保持静止必有 ⑥ 由④ ⑤ ⑥联立解得： ⑦
（2）由题意知当金属棒a 进入磁场I 时，由左手定则判断知a 棒向右做减速运动；b 棒向左运动加速运动。

二者产生的感应电动势相反，故当二者的感应电动势大小相等时闭合回路的电流为零，此后二者均匀速运动，故金属棒a 、b 均匀速运动时金属棒b 中产生焦耳热最大， 设此时a 、b 的速度大小分别为与，由以上分析有：BL =2BL ⑧ 对金属棒a 应用动量定理有： ⑨
对金属棒b 应用动量定理有:
⑩
联立⑧⑨⑩解得 ；
由功能关系得电路产生的总电热为：
图21
故金属棒b中产生焦耳热最大值为。