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【创新设计】高中数学(北师大版选修2-1)配套练习：第2章 章末检测(A)(含答案解析)

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北师大版高中数学选修2--1检测试题答案-教师用卷

北师大版高中数学选修2--1检测试题答案-教师用卷

北师大版高中数学选修2--1检测试题答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 椭圆x 216+y 29=1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为( )A. 916B. 932C. 964D. −932【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，考查直线的斜率，考查分析与计算能力，属于中档题．在解决弦的中点问题，常用“点差法”，设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，代入椭圆得{x 1216+y 129=1x 2216+y 229=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)9=0，即(x 1+x 2)(x 1−x 2)16=−(y 1+y 2)(y 1−y 2)9，∴−9(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=y 1−y2x 1−x2， 又M(1,2)为弦AB 的中点， ∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴−9×216×4=y 1−y2x 1−x 2，即y 1−y 2x1−x 2=−932，∴弦所在的直线的斜率为−932，故选D ．2. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”；③“，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件． 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，属于中档题．根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义及三角形正弦定理，可判断④． 【解答】解：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题“若a >b ，则2a >2b −1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b −1”，故正确； ③“，x 2+1≥1”的否定是“，x 2+1<1”，故正确； ④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2RsinA >2RsinB ⇔sinA >sinB ， 故“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件，故正确． 故选C ．3. 一动圆P 过定点M(−4,0)，且与已知圆N ：(x −4)2+y 2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A. x 24−y 212=1(x ≥2) B. x 24−y 212=1(x ⩽2) C. x 24−y 212=1 D. y 24−x212=1 【答案】C【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于中档题．动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，由题意知，动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程． 【解答】解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4， 由题意知：当动圆与圆N 外切时，|PM |=r ，|PN |=r +4， 所以|PN |−|PM |=4;当动圆与圆N 内切时，|PM |=r ，|PN |=r −4， 所以||PM |−|PN ||=4;即动点P 到两定点的距离之差的绝对值为常数4，故P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且2a =4，2c =8， ∴b =2√3．∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24−y 212=1．故选C ．4. 若点O 与点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题．先求出左焦点坐标F ，设P(x 0,y 0)，根据P(x 0,y 0)在椭圆上可得到x 0、y 0的关系式，表示出向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据数量积的运算将x 0、y 0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案． 【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x 0,y 0)，则有x 024+y 023=1，解得y 02=3(1−x 024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02 =x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故选：C ．5. 下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若“p ∧q ”是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3−x 2+1>0”． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【解析】【分析】此题是个基础题．考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解．要说明一个命题不正确，举出反例即可①当x =0时不等式不成立，②根据复合命题真值表可知，“p ∧q ”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；③全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确． 【解答】 解：易知①当x =0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假； ②错，只需两个命题中至少有一个为假即可； ③正确，全称命题的否定是特称命题， 即只有一个命题是正确的， 故选B ．6. 已知椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A. √3B. √2C. 32D. 1【答案】A【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，属中档题.三角形AF 2B 为焦点三角形，根据椭圆方程，即可求出三角形AF 2B 的周长，欲使|BF 2|+|AF 2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案。

北师大版高中数学选修2-1选修2-1模块检测(北京师大版).docx

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高中数学学习材料唐玲出品选修2-1模块检测（北京师大版）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线2.已知p:|x+1|≤4;q:＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 设,若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4. 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝05. 若AB是过椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM•k BM=（）A．22ca- B.22ba-C．22cb-D．22ab-6. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM （ ）A ．和AC ，MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC ，MN 都不垂直7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E 是棱AB 的中点，点F （0，y ，z ）是正方体的面AA 1D 1D 上一点，且CF ⊥B 1E ，则点 F （0，y ，z ）满足方程（ ）A ．y-z =0B ．2y-z-1=0C ．2y-z-2=0D ．z-1=08. 圆心在抛物线22y x=（0y >）上，并且与抛物线的准线及（ ）x 轴都相切的圆的方程是A .221204x y x y +---=B .22210x y x y ++-+=C .22210x y x y +--+= D .221204x y x y +--+=9. 给出下列命题：①若“”是假命题，则是真 命题； ②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且； ④其中真命题的个数是（ ） A .1 B .2 C.3 D .410. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A .2 B . C . D .11. 已知△ABC 的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.221916x y -= B.221169x y -= C.221916x y -=(x>3) D.221169x y -= (x>4) 12. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ） A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．14. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件； ②“是“一元二次不等式a ＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. 在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是 .16. 若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为三、解答题（共70分）17. （12分）已知四棱锥-P ABCD 的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，点M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求AC 与PB 所成角的余弦值（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角的平面角的余弦值.18.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围19.（14分）已知椭圆22221x ya b+=(0)a b>>的离心率63e=，过点和的直线与原点的距离为32．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过?请说明理由．20. （16分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到平面1ACD 的距离（3）当AE 为何值时，二面角1--D EC D 的大小为4？21. （16分）设分别为椭圆：22221x y a b += (0)a b >>的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线22221x ya b-=写出类似的性质，并加以证明一、选择题1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.2. B 解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p 是q成立的必要不充分条件.3. A 解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.4. D 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.5. B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则k AM•k BM=22 0122 01y yx x--.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1x yx ya b a b+=+=，两式相减，可得k AM•k BM=22ba-，故选B．6. A解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a），∴OM=（-a，-a，a），MN=（0，a，a），AC=（-2a，2a，0）．∴OM•AC=0，OM•MN=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．7.D解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所以1B E=(-1，0，-2)，CF=(-2，y-2，z).因为CF⊥B1E，所以1B E•CF=0.即2-2z=0，即z=1.故选D．8. D 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为221204x y x y+--+=．9. B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，若,则，所以②是真命题；若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.10.A 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为34，则有2234abca b=+.又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或43.而，得222221a b ba a+=+＞2，所以.故（负值舍去）．11. C 解析:如图,|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除与轴的交点外），所以顶点C 的轨迹方程为221916x y -=(x ＞3)． 12. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为. 又，所以直线的斜率为.由题意得，解得. 二、填空题13. 解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使”是真命题，所以，解得. 14. ①②④ 解析：∵ 原命题与其逆否命题等价，∴ 若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件. x ≠1≠1，反例：x ＝－1＝1， ∴“x ≠1”是“≠1”的不充分条件. x ≠0x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0x ＞0x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件. 15. D 解析：()().-222,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h ⊥==∴⊥⊥⊥⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.30210sin cos ,,30210.30n n n nn PA a h a OD a a PBC OD OD OD OD PBC OD OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成角的正弦值为16. 6 解析：由题意，得F (-1，0)，设点，，则有 =1，解得=. 因为＝，，=，， 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值6. 三、解答题17. （1）证明：如图，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M .因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=∙==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥平面PAD .又DC 在平面PCD 内，故平面PAD ⊥平面PCD . （2）解：因为),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC .510||||,cos ,2,5||,2||=∙>=<=∙==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以所以故AC 与PB 所成角的余弦值为510. （3）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在λ∈R 使,MC NC λ=.21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使14,0,0,.25AN MC AN MC x z λ⊥∙=-==只需即解得 .0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=∙-===∙=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=∙=∙所以，得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,5552cos ,.3||||2.3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ==∙=-∙<>==--因为，所以由题图知所求二面角的平面角为钝角，故所求的二面角的平面角的余弦值为 18. 解：由－4ax +3＜0，得(x －3a )(x －a )＜0.又a ＞0，所以a ＜x ＜3a .（1）当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由得2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真q 真，所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.（2）若p 是q 的充分不必要条件，即q ，且p .设A ={x |p },B ={x |q },则A B .又A ={x |p }={x |x ≤a 或x ≥3a }，B ={x |q }={x |x ≤2或x ＞3}，则有0＜a ≤2且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.19. 解：（1）因为直线的方程为， 依题意得解得所以椭圆方程为2213x y +=． （2）假设存在这样的值，由得22(13)1290k x kx +++=,所以22(12)36(13)0k k D =-+>.①设11()C x y ，、22()D x y ，，则②而212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++×． 当且仅当时，以为直径的圆过点，则1212111y y x x =-++×， 即1212(1)(1)0y y x x +++=，所以21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=． ③ 将②式代入③式整理解得76k =．经验证，76k =使①式成立． 综上可知，存在76k =，使得以为直径的圆过点． 20. （1）证明：如图，以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴轴轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C ，).1,1(,1,0111-==x E D DA ，），（.,0)1,,1()1,0,1(111111DA E D E D DA x E D DA ⊥⊥=-⋅=⋅，即所以因为（2）解：因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD . 设平面1ACD 的法向量为n ),,(c b a =，则10,0,AC AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n即⎩⎨⎧=+-=+-,0,02c a b a 得⎩⎨⎧==,,2c a b a令b =1,从而n )2,1,2(=，所以点E 到平面1A C D 的距离为=h 1D E ∙n n.313212=-+= （3）解：设AE x =，平面1D EC 的法向量1n ),,(111c b a =， 所以),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由1110,0D C CE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ⎩⎨⎧=-+=-⇒.0)2(,021111x b a c b 令11112,2b c a x ===-，所以， 所以1n ).2,1,2(x -= 依题意=4πcos 1111DD DD ∙n n .225)2(2222=+-⇒=x 所以321+=x （不合题意，舍去），322-=x .所以当23AE =-时，二面角1--D EC D 的大小为4π.21. 解：（1）由题意知，椭圆的焦点在轴上.由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即. 又点312A 骣÷ç÷ç÷÷ç桫，在椭圆上，因此22232112b 骣÷ç÷ç÷ç÷桫+=，得，于是. 所以椭圆的方程为22143x y +=，焦点，. （2）设椭圆上的动点，线段的中点满足111,22x y x y -+==，即，. 因此=22(21)(2)143x y ++，即2214123y x 骣÷ç÷++=ç÷ç÷桫为所求的轨迹方程. （3）类似的性质为：若是双曲线22221x y a b -=上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点， 当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值. 证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中22221m n a b -=. 又设点的坐标为，由,PM PN y n y n k k x m x m-+==-+， 得2222y n y n y n x m x mx m -+-?-+-. 将22222222,b b y x b n a a =-=代入得22b a。

(北师大版)数学高中选修2-1课时同步练习汇总(全书完整版)

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（北师大版）高中数学选修2-1（全册）课时同步练习汇总[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2. 4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO，又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确； 由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． 所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． 得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ， 所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1， 即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q ，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2.所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β， α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得 Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数． 所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2. 答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.使不等式1a ＞1b 成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b ，故选D.2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D. 5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 解析：选B.6.a 为素数解析：由于a ＝2时不成立，∴a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，∴12＋a ＋2＝0，∴a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9.(1)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要{x |x ＜－m2}⊆{x |x ＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要{x |x ＜－m2}⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β/⇒ α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β/⇒ sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________． 解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数． ∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 014；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 014得|－x ＋3|≥2 014，即|x －3|≥2 014，所以x －3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x ≥2 017或x ≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D . 答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1.∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性． ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q .∴a ＋b ＝0. (2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n＝S n－S n－1＝(aq n－a)－(aq n－1－a)＝a(q－1)q n－1(n＞1)，∴a n＋1a n＝a（q－1）q na（q－1）q n－1＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.[A.基础达标]1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2， 所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}． 由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}． 显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b22＋ac ＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2； (3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .。

选修2-1数学课后习题答案(全)

选修2-1数学课后习题答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章 常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+-- ()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真； （2）假.2、（1）真； （2）假.3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；（31≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0； （3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C ==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形， 利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=.因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c .（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得 直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B）为圆心，以线段2OA （或1OA ） 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x+=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁； （2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5， 因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±. 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.所以，QO QA QO QP OP r +=+==.又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x m x +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF PM d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得 12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''. 直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==. 所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=， 所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a -=.解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =.所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k-=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =； 3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32p x =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得 3x=±则 321y ==±因为OB k ，OA k=所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-=因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a +=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上.而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点， 所以，k的取值范围为k >k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A的坐标为11(,)x y，点B的坐标为22(,)x y，点M的坐标为(,)x y.并设经过点M的直线l的方程为1(2)y k x-=-，即12y kx k=+-.把12y kx k=+-代入双曲线的方程2212yx-=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k------=2(20)k-≠. ……①所以，122(12)22x x k kxk+-==-由题意，得2(12)22k kk-=-，解得4k=当4k=时，方程①成为21456510x x-+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=.2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得a c +=所以 (1c +=+ c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=. 由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……②（第4题）12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3.练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=（第7题）PRS B CAQ O（第3题）所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面， 于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==.向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-， 所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =- 所以2312CM ==，21312D N == 111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19. 11、31(,,3)22- 习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）292247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于292247.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++（第3题）222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅ 222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以 22cos AA d mn θ'=.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，212MN AD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-. 因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-= 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos 2θ===sin θ=点O 到平面ABC 的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，D ，1(0,,0)2B，3(0,,0)2C，A . ∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos θ==因此，二面角A BD C --的余弦cos cos()απθ=-=7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a = 222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅=，10OM BD ⋅=，所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==PQ =22cos 2PQ MNPQ PQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=， ()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==. 184233ABCD V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，,0,1)M -，,0)N .。

北师大版本高中高二数学选修21试卷试题包括答案

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高二数学选修 2－1 质量检测试题〔卷〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

第一卷1 至 2页。

第二卷 3 至 6 页。

考试结束后 . 只将第二卷和答题卡一并交回。

第一卷〔选择题共 60 分〕考前须知：1．答第一卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本 大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 顶点在原点，且过点 ( 4, 4) 的抛物线的标准方程是A. y 2 4xB. x 24yC. y 24x 或 x 2 4 yD.y 24x 或 x 2 4 y2. 以下四组向量中，互相平行的有〔〕组 .(1) a (1,2,1) , b (1, 2,3) ； (2) a (8, 4, 6) , b(4,2, 3) ；〔 3〕 a (0,1, 1) , b(0, 3,3) ；〔 4〕 a( 3,2,0) , b (4, 3,3)A. 一B. 二C. 三D. 四3. 假设平面 的法向量为 n 1(3,2,1) ，平面的法向量为 n 2(2,0, 1) ，那么平面 与 夹角的余弦是70 B.70 A.C.14104.“k5 Z 〞是“ , k1270 7014D. －10sin 21 〞的2A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5.“ 直线 l 与平面 内无数条直线都垂直〞 是“直线 l 与平面 垂直〞的〔〕条件A ．充要B．充分非必要C ．必要非充分 D．既非充分又非必要6.在正方体 ABCDA 1 BC 1 1D 1 中， E 是棱 A 1B 1 的中点，那么A 1B 与 D 1 E 所成角的余弦值为A ．5 B ．10C ．5D ．101010557. 两定点 F 1 (5,0) ， F 2 (5,0) ，曲线上的点 P 到 F 1 、 F 2 的距离之差的绝对值是 6，那么该曲线的方程为x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2y 2x2A.1 B.1 C.1D.25191616925 36368. 直线 l 过点 P(1,0,－ 1)，平行于向量 a(2,1,1) ，平面过直线 l 与点M(1,2,3) ，那么平面 的法向量 不可能 是A. (1,－ 4,2)B. ( 1, 1, 1)C. ( 1,1,1 )4 2 429. 命题“假设 a b ，那么 a c b c 〞的逆否命题是 A. 假设 a c b c ，那么 a b B. 假设 aC. 假设 a c b c ，那么 a bD. 假设aD. (0,－ 1,1)c b c ，那么 a bc b c ，那么 a bx 2 y 2 1 ，假设其长轴在 y 轴上 .焦距为 4 ，那么 m 等于10 . 椭圆m 2 10 mA. 4 .B. 5 .C. 7 .D . 8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为： 〔 1〕“ m 是实数〞是“ m 是有理数〞的充分不必要条件；(2) “ ab 〞是“ a 2b 2 〞的充要条件；(3) “ x 3 〞是“ x 22x 3 0 〞的必要不充分条件； 〔 4〕“ A B B 〞是“ A 〞的必要不充分条件 .A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个x 2 y 2 1〔 a0 ， b 0 〕的左、右焦点分别是 F 1， F 2 ，过 F 1 作12。

2017-2018学年北师大版高中数学选修2-1同步配套课时跟踪训练含解析

2017-2018学年北师大版高中数学选修2-1同步配套课时跟踪训练含解析

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 命题 (1)课时跟踪训练(二)充分条件与必要条件 (4)课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词 (8)课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非” (11)课时跟踪训练(五)从平面向量到空间向量 (15)课时跟踪训练(六)空间向量的运算 (18)课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 (22)课时跟踪训练(八)空间向量运算的坐标表示 (26)课时跟踪训练(九)空间向量与平行关系 (29)课时跟踪训练(十)空间向量与垂直关系 (33)课时跟踪训练(十一)直线间的夹角、平面间的夹角 (38)课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角 (43)课时跟踪训练(十三)距离的计算 (48)课时跟踪训练(十四)椭圆及其标准方程 (54)课时跟踪训练(十五)椭圆的简单性质 (58)课时跟踪训练(十六)抛物线及其标准方程 (62)课时跟踪训练(十七)抛物线的简单性质 (65)课时跟踪训练(十八)双曲线及其标准方程 (68)课时跟踪训练(十九)双曲线的简单性质 (71)课时跟踪训练(二十)曲线与方程 (75)课时跟踪训练(二十一)圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 (78)课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤－1 B ．若x ≤1，则x ＞－1 C ．若x ≤1，则x ≤－1 D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是____________________________，q 是__________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 6．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交； 逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行； 否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交； 逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.课时跟踪训练(二) 充分条件与必要条件1．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝13．已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b ＋cb ＝2”，则命题p 是命题q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2有公共点的充要条件是_________ _______________．6．在下列各项中选择一项填空： ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件④既不充分也不必要条件(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上为增函数”的________．7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2＞a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：△ABC 中，A ≠30°，q ：sin A ≠12.8．求方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件．答 案1．选A 当1＜x ＜2时，必有x ＜2；而x ＜2时，如x ＝0，推不出1＜x ＜2，所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件．2．选A 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于x ＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.3．选A 若a b ＋cb ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋cb ＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题p 是命题q 的必要不充分条件，故选A.4．选A 当a ＞3时，f (－1)f (2)＝(－a ＋2)(2a ＋2)＜0，即函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点；不一定是a ＞3，如当a ＝－3时，函数f (x )＝ax ＋2＝－3x ＋2在区间[－1,2]上存在零点．所以“a ＞3”是“函数f (x )＝ax ＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.5．解析：直线l 与圆C 有公共点⇔|－1＋m |2≤2⇔|m －1|≤2⇔－1≤m ≤3.答案：m ∈[－1,3]6．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件． 答案：(1)③ (2)①7．解：(1)△ABC 中，∵b 2＞a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＜0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2＜a 2＋c 2. ∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件． (2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的什么条件．∵A ＝30°⇒sin A ＝12，但是sin A ＝12⇒/ A ＝30°，∴△ABC 中sin A ＝12是A ＝30°的必要不充分条件．即p 是q 的必要不充分条件．8．解：①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，不符合要求；②当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，－2a <0，1a >0，解得0<a <1.所以ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的负实根的充要条件是0<a <1.课时跟踪训练(三)全称量词与存在量词1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立D．对任意x∈R，f(x)≤0成立3．下列命题为真命题的是()A．对任意x∈R，都有cos x＜2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)＜0成立C．对任意x＞0，都有3x＞3成立D．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x,2x＋1都是奇数．下列说法正确的是() A．四个命题都是真命题B．①②是全称命题C．②③是特称命题D．四个命题中有两个假命题5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．6．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_________________________________ ______________________________．7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)有的四边形没有外接圆；(2)某些梯形的对角线互相平分；(3)被8整除的数能被4整除．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．答 案1．选A 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x ，y ”，改成全称命题为：对任意实数x ，y ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．2．选A “关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.3．选A A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.4．选C ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 5．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称7．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非”1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则()A．p是真命题，q是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∉∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q 且p D．q5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．选C由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.2．选D由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.3．选A命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.4．选C很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p且綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．8．解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，∴a≥4或a≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．课时跟踪训练(五) 从平面向量到空间向量1．空间向量中，下列说法正确的是( )A ．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B ．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C ．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量 2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若a 是b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两个向量平行，则这两向量相等D ．在四边形ABCD 中，AB ＝DC3．在四边形ABCD 中，若AB ＝DC ，且|AC |＝|BD|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A ．BDB ．1BCC ．1BD D ．1A B5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC垂直的向量有________．6.如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点，则〈EF ，GH〉＝________.7.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB相等的向量；(2)写出与BA相反的向量；(3)写出与BA平行的向量．8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，11A B＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求〈PQ ，EF 〉，〈PQ ，GH〉，〈GH ，FE 〉．答 案1．选D 只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D 正确． 2．选B 模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若AB ＝DC，则四边形ABCD 是平行四边形．3．选B 若AB ＝DC，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC |＝|BD|，即AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形． 4．选A ∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1， ∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD为平面ACC 1A 1的法向量．5．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴11A B ⊥1BC；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC.答案：11A B 1A D6．解析：连接DB ，BC 1，DC 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， △BDC 1为等边三角形．∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AD ，BC ，CC 1的中点， ∴EF ∥BD ，GH ∥BC 1.∴〈EF ，GH 〉＝〈BD ，1BC〉＝60°.答案：60°7．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA . (2)DC ，11D C ，11A B ，AB .(3)AB ，CD，DC ，11D C ，11C D ，11A B ，11B A .8．解：由题意知，六边形EFGHPQ 为正六边形，所以〈PQ ，EF 〉＝∠HPQ ＝2π3；〈PQ ，GH 〉＝∠FGH ＝2π3；〈GH ，FE 〉等于∠QEF 的补角，即〈GH ，FE 〉＝π3.课时跟踪训练(六) 空间向量的运算1．如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设AB ＝a ， AD＝b ，1AA ＝c ，则下列与向量A C相等的表达式是( )A ．－a ＋b ＋cB ．－a －b ＋cC ．a －b －cD ．a ＋b －c2．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．±1D ．23.如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC)＝( )A ．ANB ．CNC ．BCD.12BC 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝AC ·AD ＝AB ·AD＝0，则△BCD 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5.如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点E ，P 为空间任意一点，若PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝x PE，则x ＝________.6．设a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |＝________.7．在四面体O －ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且|OA |＝1，|OB |＝2，|OC|＝3，G 为△ABC 的重心，求OG ·(OA ＋OB ＋OC)的值．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使〈BA ，CD〉＝60°，求B ，D 间的距离．答 案1．选D A C ' ＝A A ' ＋AB ＋BC＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c .2．选A a·b ＝(2i －j ＋k )(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.3．选A AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋BN ＝AN .4．选B BD ＝BA ＋AD ，BC ＝BA ＋AC ，CD ＝CA ＋AD，∴cos 〈BD ，BC 〉＝(BA ＋AD )·(BA ＋AC)|BA＋AD |·|BA ＋AC |＝2BA | BA ＋AD ||BA ＋AC |＞0，∴〈BD ，BC 〉为锐角，同理cos 〈CB ，CD〉＞0，∴∠BCD 为锐角，cos 〈DB ，DC〉＞0，∴∠BDC 为锐角，即△BCD 为锐角三角形．5．解析：过E 作MN ∥AB 分别交BC ，AD 于点M ，N .∴PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝(PA ＋PD )＋(PB ＋PC )＝2PN ＋2PM ＝2(PN＋PM )＝4PE .答案：46．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b . ∴|c |＝(－a －b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5. 答案： 57．解：∵OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋13(AC ＋AB)＝13(OA＋OB ＋OC )． ∴OG ·(OA ＋OB ＋OC )＝13(OA ＋OB ＋OC )2＝13(|OA |2＋|OB |2＋|OC |2＋2OA ·OB ＋2OA ·OC ＋2OB ·OC )＝13(1＋4＋9)＝143.8．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ·CD ＝0.同理，BA ·AC＝0.∵BD ＝BA ＋AC＋CD ，∴BD 2＝BA 2＋2AC ＋CD 2＋2BA ·AC ＋2BA ·CD ＋2AC ·CD ＝2BA ＋2AC ＋2CD ＋2BA ·CD ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ，CD〉＝4.∴|BD|＝2，即B ，D 间的距离为2.课时跟踪训练(七) 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ，b ＝12AB ，c ＝13AD ，AE＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝323．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB 在1CB上的投影为( )A ．－22B.22C ．－ 2 D. 24.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA＝a ，AB＝b ，1AC ＝c ，则1A B ＝( )A.12a ＋12b ＋12c B.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c5.如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA上的投影是________．6．在三棱锥O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE＝________(用a ，b ，c 表示)．7.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA，1DB 的坐标表示．8.如右图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG ，BG .答 案1．选C ③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．选A AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋12(A B '' ＋A D '' )＝2a ＋b ＋32c .3．选B ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C|＝ 2.∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22.4．选D 1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B)＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB )＝c －12a ＋12(－c )＋12b＝－12a ＋12b ＋12c .5．解析：1AC 在BA 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，BA〉，在△ABC 1中，cos ∠BAC 1 ＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC|＝ 6.∴|1AC |cos 〈1AC ·BA 〉＝6×⎝⎛⎭⎫－63＝－2. 答案：－26．解析：如图，OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋14(AB ＋AC)＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA)．＝12OA＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c7．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．∴DA ＝(1,0,0)，DB ＝(1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC＝(0,1,1)，1DD ＝(0,0,1)，1DA ＝(1,0,1)，1DB＝(1,1,1)．8．解：∵G 是△PDC 的重心，∴PG ＝23PN ＝13(PD ＋PC )＝13(PA＋AD ＋PA ＋AB ＋BC ) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ， BG ＝BA ＋AP ＋PG＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k＝－23i ＋23j ＋13k .课时跟踪训练(八) 空间向量运算的坐标表示1．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16，－24,40)2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－63．若a ＝(1，λ，－1)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦为19，则|a |＝( )A.94B.102C.32D. 64.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，E 为PD 的中点，则|BE|＝( )A ．2 B. 5 C. 6 D ．2 25．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 6．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线， 则p ＝________，q ＝________.7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，问是否存在实数x ，y ，使得AC ＝x AB＋y BC 成立？若存在，求x ，y 的值．8.如图，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB|＝3，|1AA|＝2，E 为BC 的中点．(1)求1AO 与1B E所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求O 1D 的长．答 案1．选D 对D 中向量g ，h ，16－2＝－243≠405，故g ，h 不平行．2．选B ∵a ＋b ＝(－2,1,3＋x )且(a ＋b )⊥c ， ∴－2－x ＋6＋2x ＝0，∴x ＝－4.3．选C 因为a·b ＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉＝2＋λ2×9×19＝132＋λ2，所以132＋λ2＝－λ.解得λ2＝14，所以|a |＝1＋14＋1＝32. 4．选C 由题意可得B (2,0,0)，E (0,1,1)，则BE ＝(－2,1,1)，|BE|＝ 6.5．解析：因为(k a －b )⊥b ， 所以(k a －b )·b ＝0， 所以k a·b －|b |2＝0，所以k (－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)2＝0， 解得k ＝7. 答案：76．解析：由A ，B ，C 三点共线，则有AB 与AC 共线，即AB＝λAC .又AB＝(1，－1,3)，AC ＝(p －1，－2，q ＋4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ(p －1)，－1＝－2λ，3＝λ(q ＋4).所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，p ＝3，q ＝2.答案：3 27．解：∵AB＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,2)，BC ＝(0，－1,2)．假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知得(－1,0,2)＝x (－1,1,0)＋y (0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x ，x,0)＋(0，－y,2y )＝(－x ，x －y,2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－x ，0＝x －y ，2＝2y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即存在实数x ＝1，y ＝1使结论成立． 8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由已知得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，所以1AO ＝(－2,0,2)，1B E＝(－1,0，－2)，所以cos 〈1AO ，1B E 〉＝1AO ·1B E|1AO ||1B E |＝－2210＝－1010.(2)因为1O D ⊥AC，AD ∥AC ，而C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，则1O D＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3⇒⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213.所以D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，所以O 1D ＝|1O D |＝228613.课时跟踪训练(九) 空间向量与平行关系1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1522．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．83．若两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，则( ) A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D.1035．已知两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，则l 1与l 2的位置关系是________．6．若平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，则y ＋z ＝________.7.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． 证明：直线MN ∥平面OCD .8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．答 案1．选D ∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.2．选A ∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.3．选A ∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.4．选B ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 5．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． 答案：平行或重合6．解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z.∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37．证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P⎝⎛⎭⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0，0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0. MN ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP ＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD ＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP ＝0，n ·OD ＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n .又MN ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12， 1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·1BA＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F·n＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .课时跟踪训练(十) 空间向量与垂直关系1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则( ) A ．l ∥π B ．l ⊥π C ．l πD ．l 与π斜交3.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶14．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP＝(x －1，y ，－3)，且BP⊥平面ABC ，则向量BP＝( )A.⎝⎛⎭⎫337，－157，－3 B.⎝⎛⎭⎫407，－157，－3 C.⎝⎛⎭⎫407，－2，－3D.⎝⎛⎭⎫4，407，－3 5．已知a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，若c ⊥d ，则m ＝________. 6．在直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：P A ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.答 案1．选B ∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．选B a ＝－13n ，∴a ∥n ，∴l ⊥π.3.选B 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，P A ＝a .则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，则F 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1.4．选A AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.BP＝⎝⎛⎭⎫337，－157，－3. 5．解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ＝0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37．证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2. ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心． 故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a2. ∴PA＝2EG ，则P A ∥EG .又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB＝(a ，a ，－a )， DE ＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2， 故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8．证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)， BC ＝(－2,2,0)，1CC＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·1AA ＝0，n 1·AD＝0， 得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 2·1CC ＝0， 得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。

第二章 空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

第二章 空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)

→ → → → 1 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则MN＝ (a＋b＋c)． 2 → → → → → 1 又BD＝AD－AB＝b－a，∴MN·BD＝2(a＋b＋c)(b－a) 1 2 ＝2(b －a2＋c· b－c· a)． 又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c· b＝0，c· a＝0. 又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0. → → ∴MN·BD＝0，∴MN⊥BD. 同理可证，MN⊥A1B，又 A1B∩BD＝B， ∴MN⊥平面 A1BD.
第二章章末归纳整合
专题一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是 平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积 运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． → → → 【例 1】 沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向 有大小等于 1，2 和 3 的三个力 f1，f2，f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
高考真题 1．(2011· 上海)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同 → → → → → 的点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＋MA5＝0 成立的点 M 的个 数为( )．
A．0 B．1 C．5 D．10
解析
从特例入手，不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且
5．从近几年的高考试题来看，对本章内容的考查主要分两类： (1)以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质，此类题难度 不大，用以解答有关简单的化简、计算、长度、夹角、垂直等 问题． (2)向量在空间中的应用，主要是通过向量的坐标表示，运用计 算的方法研究三维空间几何图形的性质与计算，此类问题一般 是中档题．
解
(1)∵PA⊥平面 ABCD，由 ABCD 是正方形知 AD⊥CD.

高中数学北师大版选修2-1课时练课件-第二章-(共6份打包)5

高中数学北师大版选修2-1课时练课件-第二章-(共6份打包)5

|P→A|2－
→n |PA·
|2
计算．
|n|
(2)点到 平面的距离的向量求法
先 求出平面 的法向量 ，再在平 面内任取 一点，与 原来点构成
向 量，此向 量在法向 量上的投 影的绝对 值，就是 点到平面的 距离，即 d＝|P→A· n |.
|n|
在四棱锥 O-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形，OA⊥底面 ABCD，OA＝2，M，N，R 分别为 OA，BC， AD 的中点．求直线 MN 与平面 OCD 的距离，平面 MNR 与 平面 OCD 的距离．
(2)由题意可知，S→B＝(2，0，－2)，S→C＝(2, 2，－2)， 设 平 面 BSC 的 法 向 量 为 n1 ＝ (x1 ， y1 ， z1) ， 则
n1·S→C ＝ x1＋ y1－ z1＝ 0， n1·S→B＝ x1－ z1＝ 0，
令 z1＝1，则 n1＝(1，0，1)， D→S＝(0，－2，2)，D→C＝(2，0，0)，
A→D·A→A1＝
3×
5×
cos
60°
＝15. 2
因为A→C1＝A→B＋B→C＋C→C1
＝A→B＋A→D＋A→A1，
所以
|A→C1|2＝
→ (AB
＋A→D＋A→A1)2
＝
|A→B|2＋
|A→D|2＋
|A→A1|2＋
2(A→B·A→D＋
→ AB
·A→A1＋A→D·A→A1)
＝
42＋
32＋
52＋
20＋
10＋15 2
[解] 因为 M，R 分别为 AO，AD 的中点，所以 MR∥OD. 在正方形 ABCD 中，N，R 分别为 BC，AD 的中点， 所以 NR∥CD. 又 MR∩NR＝R， 所以平面 MNR∥平面 OCD. 又 MN 平面 MNR，所以 MN∥平面 OCD. 所以直线 MN 与平面 OCD 的距离，平面 MNR 与平面 OCD 的距离都等于点 N 到平面 OCD 的距离．

北师大版高二理科数学选修2-1测试题及答案(K12教育文档)

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选修2－1本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题,每小题6分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若A B =，则cos cos A B =”的否命题是A. 若A B =，则cos cos A B ≠ B 。

若cos cos A B =，则A B = C 。

若cos cos A B ≠，则A B ≠ D. 若A B ≠,则cos cos A B ≠2. “直线l 与平面a 平行”是“直线l 与平面a 内无数条直线都平行”的A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件3。

已知命题p ：23<，q ：23>，对由p 、q 构成的“p 或q"、“p 且q ”、“⌝p ”形式的命题,给出以下判断：①“p 或q"为真命题; ②“p 或q ”为假命题；③“p 且q ”为真命题； ④“p 且q ”为假命题； ⑤“⌝p ”为真命题； ⑥“⌝p ”为假命题. 其中正确的判断是A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤4。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 章末综合测评2

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1 章末综合测评2

章末综合测评(二) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 、b 、c 是空间任意三个向量，λ∈R ，下列关系式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＝b ＋a B ．λ(a ＋b )＝λb ＋λa C ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )D ．b ＝λa【解析】 只有a ，b 共线时，b ＝λa ，故选D. 【答案】 D2．已知点A 在基底a ，b ，c 下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底i ，j ，k 下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)【解析】 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ， 则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 【答案】 A3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【解析】 ∵u ＝－2a ，∴l ⊥α. 【答案】 B4.如图1，在四面体A -BCD 中，已知AD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE →等于( )图1A ．－a ＋23b ＋13c B ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c【解析】 DE →＝DC →＋CE →＝AC →－AD →＋23CB →＝AC →－AD →＋23(AB →－AC →)＝－AD →＋23AB →＋13AC →＝－a ＋23b ＋13c .【答案】 A5．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31)【解析】 设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)． 【答案】 B6．(2016·长春高二检测)已知向量e 1，e 2，e 3，是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b ＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 等于( )A ．15B ．3C ．－3D ．5【解析】 以(e 1，e 2，e 3)为基底，a ＝(3,2，－1)，b ＝(1,0,2)， (6a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3×1＋0×2－2)＝3. 【答案】 B7．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6D ．103【解析】 ∵α∥β，∴平面α的法向量与平面β的法向量也互相平行，∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6.【答案】 B8．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线DD 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( )【导学号：32550059】A.33 B ．63 C.13D ．23【解析】 以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设棱长为1，则平面A 1BC 1的法向量为n ＝(1,1,1)，DD 1→＝(0,0,1)，∴cos 〈n ，DD 1→〉＝13＝33，∴sin θ＝33.【答案】 A9．如图2，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )图2A.63 B ．255 C.155D ．105【解析】 建立如图所示坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→||n |＝25·2＝105.【答案】 D10．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 与DB 所成的角为( )A ．30°B ．60° B ．120°D ．150°【解析】 建立如图所示的坐标系，则B (a,0,0)，B 1(a,0，a )，C (a ，a,0)，D (0，a,0)， ∴B 1C →＝(0，a ，－a )，DB →＝(a ，－a,0)， ∴cos 〈B 1C →，DB →〉＝B 1C →·DB→|B 1C →|·|DB →|＝－a 22a ·2a ＝－12，∴〈B 1C →，DB →〉＝120°.∴异面直线B 1C 和DB 所成的角为60°. 【答案】 B11．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A.32 B ．22 C.104D ．64【解析】 如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64.【答案】 D12.如图3，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )图3【解析】 如图，以D 为原点，DA 、DC 分别为x ，y 轴建立如图所示空间直角坐标系，设M (x ，y,0)，设正方形边长为a ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，32a ，C (0，a,0)，则|MC |＝x 2＋(y －a )2，|MP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2.由|MP |＝|MC |得x ＝2y ，所以M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条直线y ＝12x .【答案】 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．【导学号：32550060】【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0) ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 与t ＝15时|b －a |有最小值为355. 【答案】35514．若平面α，β的法向量分别为u ＝(4,0,3)，v ＝(－1,1,0)，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(4,0,3)，v ＝(－1,1,0)． ∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u ||v |＝－45×2＝－225.∴两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为225. 【答案】22515．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，满足AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________．【解析】 将等式AC →＝13AB →改写为OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，即OC →＝OA →＋13(OB →－OA →)，OC →＝2OA →＋OB →3.又2OA →＋OB →＝(10，－3,7)，∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73，即点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫103，－1，73 16．在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，底面ABC 是等腰直角三角形，且AB ＝AC ＝1，AA ′＝2，则A ′到直线BC ′的距离为________．【导学号：32550061】【解析】 由题意，可知AB 、AC 、AA ′两两垂直，故以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A ′(0,0,2)，B (1,0,0)，C ′(0,1,2)，所以点A ′到直线BC ′的距离为d ＝|BA ′→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ′→·BC ′→|BC ′→|2＝5－256＝306.【答案】306三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，求p ，q ，p·q .【解】 p ＝a －b ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)． q ＝a ＋2b －c ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)． p·q ＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.18．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，侧棱垂直于底面，D 是侧棱CC 1的中点，问a 为何值时，点C 到平面AB 1D 的距离为1?【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，B -xyz .则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，C (0，a,0)，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.则AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，a .B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a2，0.设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·B 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32ax －a2y ＋az ＝0，ay －a 2z ＝0.令x ＝1，则y ＝33，z ＝233，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，233. ∴点C 到平面AB 1D 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →·n |n |＝24a . 令24a ＝1，∴a ＝2 2.19．(本小题满分12分)如图4，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.图4求证：(1)A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面； (2)平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.【证明】 图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,2)，B 1(1,1,2)，C 1(0,1,2)，D 1(0,0,2)．以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如 (1)∵A 1C 1→＝(－1,1,0)，AC →＝(－2,2,0)，D 1B 1→＝(1,1,0)，DB →＝(2,2,0)， ∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→. ∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行， 于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． (2)DD 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， DB →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0， ∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.又∵DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面B 1BDD 1. 又平面A 1ACC 1过AC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.20．(本小题满分12分)正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CB 的中点．EF ∩BD ＝G .求三棱锥B 1-EFD 1的体积．【解】 以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则B 1(22，22，4)，D 1(0,0,4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，∴D 1E →＝(22，2，－4)，D 1F →＝(2，22，－4)，D 1B 1→＝(22，22，0)，∴cos 〈D 1E →，D 1F →〉＝D 1E →·D 1F →|D 1E |·|D 1F | ＝2426·26＝1213，∴sin 〈D 1E →，D 1F →〉＝513，所以S △D 1EF ＝12|D 1E →|·|D 1F →|·sin 〈D 1E →，D 1F →〉＝12×26×26×513＝5， 又∵平面D 1EF 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，342，∴点B 1到平面D 1EF 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪D 1B 1→·n |n |＝165，∴VB 1-EFD 1＝13·S △EFD 1·d ＝13×5×165＝163.21.(本小题满分12分)如图5，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.图5(1)证明：P A ⊥平面ABCD ；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使BF ∥平面AEC? 【解】(1)证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∵AB ＝AD ＝AC ＝a . 在△ABP 中，P A 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2，∴P A ⊥AB .同理P A ⊥AD .∵AB ∩AD ＝A ，∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意，得A (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a .∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，a . 设点F 是PC 上一点，PF →＝λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32aλ，a2λ，－aλ，∴BF →＝BP →＋PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a (λ－1)，a2(1＋λ)，a (1－λ).令BF →＝mAC →＋nAE →，则⎩⎪⎨⎪⎧32a (λ－1)＝32am ，12a (1＋λ)＝12am ＋23an ，a (1－λ)＝13an .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝－12，n ＝32.即当F 为PC 中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF 不在平面AEC 内，故当F 为PC 中点时，BF ∥平面AEC .22.(本小题满分12分)(2014·山东高考)如图6，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图6(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．【导学号：32550062】①【解】 (1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ， 所以AB ∥DC . 又由M 是AB 的中点， 因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，如图①在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1， 可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ， 所以四边形AMC 1D 1为平行四边形．因此C 1M ∥D 1A ，又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.②(2)如图②，连接AC ，MC ，由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形．可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图②所示空间直角坐标系C -xyz .所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)．因此M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又CD 1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈CD 1，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.。

北师大版高中数学选修2-1第1章章末检测(A).docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 常用逻辑用语(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列语句中是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗？2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．04．已知命题p ：任意x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．“p 或q ”为真命题B ．“p 且q ”为假命题C ．“綈p 且q ”为真命题D ．“綈p 或綈q ”为真命题9．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是() A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，2] D．(－∞，－2)10．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p 或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是________________________________________________________________________．12．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．13．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为_______________________________________．14．若A：a∈R，|a|<1，B：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的________________条件．15．下列四个命题中①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；③函数y＝x2＋4x2＋3的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．17．(12分)判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．18.(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．19．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．20.(13分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．21．(14分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．单元检测卷答案解析第一章常用逻辑用语(A)1．A2．A[因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.] 3．C4．D [2x 2＋2x ＋12<0⇔(2x ＋1)2<0，p 为假；sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤2，故q 为真． ∴綈q 为假，故选D.]5．B [①中有“且”；②中没有；③中有“或”．]6．B [当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．]7．A [綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，綈q ：5x －6≤x 2， 即x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3，或x ≤2.∴綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒綈p ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．]8．A [命题p ：当a >1时，Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时，由|x |<1，得－1<x <1，即|x |<1是x <a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题．所以命题“p 或q ”是真命题．] 9．B [注意二次项系数为零也可以．]10．D [∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．] 11．圆的切线到圆心的距离等于半径 12．[－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立， 当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a <0； ∴－3≤a ≤0.13．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形解析 本题考查复合命题“非p ”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 14．充分不必要 15．①②③解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k |＝π，k ＝±1.②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝25；③函数y ＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t ≥3，y min＝3＋13＝433. 16．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题． (2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．(3)若一个方程为x 2－x ＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题． 17．解 方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a <1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∵a ≥74>1，∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．18．解 綈p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2，或x >10，A ＝{x |x <－2，或x >10}． 綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0， 解得x <1－m ，或x >1＋m ，B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－21＋m >10⇒m >9. 经验证，当m ＝9时，也符合题意． ∴m ≥9.19．解 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0－2k －12>1f (1)>0，即k <－2.所以其充要条件为k <－2.20．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔0≤a <4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14；如果p 真，且q 假，有0≤a <4，且a >14，∴14<a <4；如果q 真，且p 假，有a <0或a ≥4，且a ≤14，∴a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫14，4. 21．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12a >13，或a <－1，－2<a <0得－32<a <－1.∴所求实数a 的范围是a ≤－32或a ≥－1.。

北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1.docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.【答案】 A2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y －2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是()A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y －2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．【答案】 B3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 綈p ：－1≤x ≤1；綈q ：－2≤x ≤1，显然{x |－1≤x ≤1}{x |－2≤x ≤1}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．【答案】 A4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )A ．4B ．2C ．4或－4D ．2或－2【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p2＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4.【答案】 C5．已知E 、F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→、A 1D 1→、A 1A →为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.【答案】 D6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：32550101】A.12 B ．32 C ．1D ． 3【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝|±3－0|2＝32.【答案】 B7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →等于( )图1A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12c【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .故选B.【答案】 B8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a . ∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B ．y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2， ∴双曲线的标准方程为y 24－x 2b 2＝1.根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c . 又∵a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，⎩⎨⎧a ＋b ＝2c ，a 2＋b 2＝c 2，a ＝2，解得b 2＝4，∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1，故选B. 【答案】 B10．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35 B ．45 C.34D ．55【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0,2,1)． ∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝45.【答案】 B11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图2A. 2 B ． 3 C.32D ．62【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 【答案】 D12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B ．x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1【解析】 由已知得k AB ＝－15－0－12－3＝1.设E ：x 2a 2－y 2b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，则(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，而⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54a 2.①又c 2＝a 2＋b 2＝9，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y25＝1.【答案】 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题．【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2－4c ＜0⇒c ＞14，故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)15．如图3所示，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________．图3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1.设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →＝0，且n ·BC 1→＝0，即(x ，y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，又EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22. 【答案】 2216．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2， 于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ， 根据|FQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【导学号：32550102】【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨⎧ m ＜1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎨⎧m ≥1，m ＜2，1≤m ＜2.故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p綈q .所以B A .分析知，B A 的充要条件是⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图4所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：图4(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0n 1·PM →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，⇒⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC . 20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →－y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．【解】 (1)由题意可知，P A →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD .21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2. 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ，如图5②.① ②图5(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角B -AC -D 的余弦值；(3)求点C 到平面DEF 的距离．【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2.(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2＝12(a,0，－a )， ∴EF →＝12AB →.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)易知DB →＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量．设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．而AB →＝(a,0，－a )，BC →＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝xa －az ＝0，n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.令x ＝1，得z ＝1，y ＝33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →〉＝a a ·1＋13＋1＝217. ∴二面角B -AC -D 的余弦值为217.(3)平面DEF 内的向量DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，0. 设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧ m ·DE →＝32ay ＋a 2z ＝0，m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)． 又DC →＝(0，3a,0)，∴DC →·m ＝3a .∴点C 到平面DEF 的距离d ＝|DC →·m ||m | ＝3a 9＋3＋9＝217a .。

【创新设计】高中数学(北师大版选修2-1)配套练习：第2章章末检测(B)(含答案解析)

【创新设计】高中数学(北师大版选修2-1)配套练习：第2章章末检测(B)(含答案解析)

第二章空间向量与立体几何 (B)(时间： 120 分钟满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分)→ → →1．空间四个点 O 、 A 、 B 、C ，OA ，OB ， OC 为空间的一个基底，则以下说法不正确的 是 ()A ． O 、 A 、B 、C 四点不共线B ． O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线C ． O 、A 、B 、 C 四点中随意三点不共线D ． O 、 A 、B 、C 四点不共面2．已知 A(2 ，－ 5,1)， B(2 ，－ 2,4)， C(1，－ 4,1)，则向量A ． 30°B ． 45°C ． 60°→ →AB 与AC 的夹角为 ()D ． 90°→ → →3．已知正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，点 E 为上底面 A 1C 1 的中心，若 AE ＝ AA 1＋ xAB ＋ → ) yAD ，则 x ， y 的值分别为 (1 A ． x ＝ 1，y ＝ 1B ． x ＝ 1， y ＝21，y ＝11， y ＝1C ． x ＝ 22D ． x ＝2 34．设 E ， F 是正方体 AC 1 的棱 AB 和 D 1C 1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面 A 1ECF 成 60°角的对角线的数量是 ( )A ． 0B ． 2C ．4D ． 65．已知点 P 是平行四边形→→ ABCD 所在的平面外一点，假如 AB ＝ (2，－ 1，－ 4)，AD ＝→ →(4,2,0) ，AP ＝ (－ 1,2，－ 1)．关于结论：① AP ⊥ AB ；② AP ⊥ AD ；③ AP 是平面 ABCD 的→ → )法向量；④ AP ∥ BD .此中正确的个数是 ( A ． 1B ． 2C ．3D ． 46．已知 a ＝ (－ 3,2,5) ，b ＝ (1， x ，－ 1)且 a ·b ＝ 2，则 x 的值是 ( )A ． 3B ． 4C ．5D ． 67．设 A 、 B 、C 、D 是空间不共面的四点，且知足 → → → → → →AB ·AC ＝ 0，AC ·AD ＝ 0，AB ·AD ＝ 0，则△ BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确立8．正三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中，若∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ＝ AA 1，则异面直线 BA 1与AC 1 所成的角等于 ( )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°→ → → ，点 → →9．已知 OA ＝ (1,2,3) ， OB ＝ (2,1,2) ，OP ＝ (1,1,2) Q 在直线 OP 上运动，则当 QA ·QB获得最小值时，点 Q 的坐标为 ()13 113 3 A. 2， 4，3B. 2， 2，44，4，8D. 4， 4，7C. 33 33 3 3 10．在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，平面 A 1BD 与平面 C 1BD 所成二面角的余弦值为()13A. 2B. 213 C.3D. 3题号答 案二、填空题 (本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分 )11．若向量 a ＝(1,1，x)，b ＝ (1,2,1) ，c ＝ (1,1,1) ，知足条件 (c －a) ·(2b)＝－ 2，则 x ＝ ________.12．若 A 0， 2， 19 ，B 1，－ 1， 5 ，C －2，1，5 是平面 α内的三点，设平面 α的法8 8 8 向量 a ＝ (x ， y ， z)，则 x ∶ y ∶ z ＝ __________.13．平面 α的法向量为 m ＝ (1,0，－ 1)，平面 β的法向量为 n ＝ (0，－ 1,1)，则平面 α与平面 β所成二面角的大小为 __________ ．14．若向量 a ＝ (2,3， λ)，b ＝ － 1， 1， 36的夹角为 60°，则 λ＝________.15．在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 中，∠ ABC ＝ 90°，AB ＝ BC ＝ AA 1＝2，点 D 是 A 1C 1 的中点，则异面直线 AD 和 BC 1 所成角的大小为 ________． 三、解答题 (本大题共6 小题，共 75 分)16． (12 分 )如图，已知 ABCD — A 1B 1C 1D 1 是平行六面体．设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC 1B 1 对角线 BC 1 上的 3→→→→ 4分点，设 MN ＝ αAB ＋ βAD ＋γAA 1，试求 α、 β、γ的值．17.(12 分 )如图，四棱锥 S — ABCD 的底面是边长为 SD ＝ 2a ，点 E 是 SC 上的点，且 SE ＝λ a (0< λ≤． 2)2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ， SB ＝(1)求证：对随意的λ∈ (0,2] ，都有 BD ⊥ AE ；(2)若 SC ⊥平面 BED ，求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小．→ →18.(12 分 )已知空间三点A( －2,0,2) ， B( － 1,1,2)， C(－3,0,4) ，设 a ＝AB ， b ＝ AC.(1)求 a 和 b 的夹角 θ的余弦值；(2)若向量 ka＋ b 与 ka－2b 相互垂直，求k 的值．19． (12 分)如下图，在三棱锥 S— ABC 中， SO⊥平面 ABC ，侧面 SAB 与 SAC 均为等边三角形，∠ BAC ＝ 90°， O 为 BC 的中点，求二面角 A — SC— B 的余弦值．20.(13 分 )如图，在底面是矩形的四棱锥 P— ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ，PA＝ AB ＝ 2，BC ＝4，E 是 PD 的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面 PAD；(2)求点 B 到平面 PCD 的距离．21．(14 分 )如图，四棱锥 S— ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍， P 为侧棱 SD 上的点．(1)求证： AC ⊥SD；(2)若 SD⊥平面 PAC，求二面角P— AC —D 的大小；(3)在 (2)的条件下，侧棱 SC 上能否存在一点 E，使得 BE ∥平面 PAC.若存在，求 SE∶ EC 的值；若不存在，试说明原因．第二章空间向量与立体几何 (B) 1． B2． C→→[AB ＝ (0,3,3) ， AC ＝( －1,1,0)，→→31∴ cos〈AB， AC 〉＝3 2·2＝2，→→∴〈 AB ， AC 〉＝ 60°.]3． C→→→→1→→→1→ 1 →[AE ＝ AA1＋ A 1E＝ AA1＋(A 1B 1＋A 1D1)＝AA1＋AB＋ AD，2221由空间向量的基本定理知，x＝ y＝2.]4． C→→5． C[∵ AB ·AP＝－ 2－2＋ 4＝ 0，∴ AP⊥ AB ，①正确；→ →→∵ AP·AD ＝－ 4＋ 4＝ 0，∴ AP⊥ AD ，②正确；由①②知 AP 是平面 ABCD 的法向量，∴③正确，④错误． ]6． C→ →→→→→→2>0.∴∠ B 为锐角，同理，∠ C，7．B [△ BCD 中，BC ·BD ＝(AC －AB ) ·(AD － AB )＝AB∠D 均为锐角，∴△ BCD 为锐角三角形． ]8． C[建系如图，设AB ＝ 1，则 B(1,0,0) ， A 1(0,0,1) ， C1(0,1,1) ．→∴ BA 1＝ (－ 1,0,1)，→AC 1＝ (0,1,1)→→∴ cos〈BA1， AC 1〉→ →＝1＝ BA1·AC1＝1.→ →2·2 2|BA 1||AC1|→→BA 1与 AC 1所成的角等于 60°.]∴〈 BA 1，AC 1〉＝ 60°，即异面直线→－x， 2－ x,3－ 2x)→9． C [ ∵ Q 在 OP 上，∴可设 Q(x ， x,2x) ，则 QA ＝ (1， QB ＝ (2－x,1－x,2－ 2x) ．→ →24 → →4 4 8 .]∴ QA ·QB ＝6x－ 16x ＋ 10，∴ x ＝ 时， QA ·QB 最小，这时Q， ，333 310．C [以点 D 为原点， DA 、DC 、 DD 1 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为→→1，则 A 1C ＝(－ 1,1，－ 1)，AC 1＝( － 1,1,1)． 能够证明 A 1 C ⊥平面 BC 1D ， AC 1⊥平面 A 1BD. → → 1，联合图形可知平面A 1BD 与平面 C 1BD 所成二面角的余弦值又 cos 〈 AC 1， A 1C 〉＝ 31 为 3.]11． 2分析∵ a ＝ (1,1，x) ，b ＝ (1,2,1) ， c ＝(1,1,1) ，∴ c － a ＝ (0,0,1 － x)， 2b ＝ (2,4,2) ．∴ (c － a) ·(2b)＝ 2(1－ x)＝－ 2，∴ x ＝ 2.12． 2∶ 3∶ (－ 4)→7分析 AB ＝ 1，－ 3，－ 4 ， → － 2，－ 1，－ 7 ， AC ＝ 42→ →x ＝ 3y，由 a ·AB ＝ 0， a ·AC ＝ 0，得 4z ＝－ 3y2 4 y ＝ 2∶ 3∶ (－4) ． x ∶ y ∶ z ＝ y ∶ y ∶ －3313． 60°或 120 °分析∵ cos 〈 m ， n 〉＝m ·n＝ －1＝－ 1，|m||n|2· 2 2∴〈 m ，n 〉＝ 120°，即平面 α与 β所成二面角的大小为 60°或 120°.23 614.12分析∵ a ＝ (2,3，λ)，b ＝ －1， 1， 6 ，3622 6∴ a ·b ＝ 3 λ＋1， |a|＝ λ＋ 13， |b|＝3 ，6∴ cos 〈 a ， b 〉＝a ·b＝ 3 λ＋ 1＝ 1. |a||b|22 6 2λ＋ 13· 323 6∴ λ＝ 12 .π15.6分析成立如下图坐标系，则 →AD ＝ (－ 1,1，－ 2)，→BC 1＝ (0,2，－ 2)，→→〉＝ 6＝3 →→〉＝π∴ cos 〈AD ， BC，∴〈 AD ， BC 6.12 2·621π即异面直线AD 和 BC 1 所成角的大小为 6.16．解 → →→ 1 → 3 →∵MN ＝MB ＋ BN ＝ DB ＋ BC 124＝ 1 → → 3 →→(AB －AD )＋ (CC 1－CB)2 4＝ 1 → → 3 → →(AB －AD )＋ (AA 1＋ AD )2 4＝ 1 → 1 → 3 → 3 →AB － AD ＋ AA 1＋ AD2 2 4 4＝ 1 → 1 → 3 →AB ＋ AD ＋ AA 1，2 4 4 ∴ α＝ 1，β＝ 1， γ＝3.2 4 417． (1)证明 连接 BD ，AC ，设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形，得 BD ⊥AC.∵ SB ＝ SD ，O 为 BD 中点，∴ BD ⊥SO.又 AC ∩SO ＝O ，∴ BD ⊥面 SAC.又 AE ? 面 SAC ，∴ BD ⊥AE.(2)解由 (1)知 BD ⊥SO ，同理可证 AC ⊥ SO ，∴ SO ⊥平面 ABCD.取 AC 和 BD 的交点 O 为原点成立如下图的坐标系，设SO ＝ x ，则 OA ＝ 4a 2－ x 2，OB ＝ 2a 2－ x 2.∵ OA ⊥ OB ， AB ＝2a ，22222∴ (4a － x )＋ (2a － x )＝ 4a ，解得 x ＝ a. ∴ OA ＝ 3a ，则 A(3a,0,0)，C( － 3a,0,0)，S(0,0， a)．→∵ SC ⊥平面 EBD ，∴ SC 是平面 EBD 的法向量．→ →∴ SC ＝ (－ 3a,0，－ a)，SA ＝ ( 3a,0，－ a)．设 SA 与平面 BED 所成角为α，→ →221则 sinα＝|SC ·SA|＝|－ 3a ＋ a |→ →＝ ，3＋ 1a · 3＋1a 2|SC| ·|SA|即 SA 与平面 BED 所成的角为 π6.18．解 →a ＝ AB ＝ (－1,1,2) － (－ 2,0,2) ＝(1,1,0) ，→b ＝AC ＝ (－ 3,0,4)－ (－ 2,0,2)＝ (－1,0,2) ．a ·b ＝ －1＋0＋0 10， (1)cos ＝θ ＝－10|a|b| 2× 5∴ a 与 b 的夹角 θ的余弦值为－1010.(2)ka ＋ b ＝ (k ， k,0)＋ (－ 1,0,2) ＝ (k － 1， k,2) ，ka － 2b ＝ (k ， k,0) － (－ 2,0,4)＝ (k ＋ 2， k ，－ 4)，∴ (k － 1， k,2) ·(k ＋ 2， k ，－ 4)＝ (k － 1)(k ＋ 2)＋k 2－8＝ 0.即 2k 2＋k － 10＝ 0，∴ k ＝－ 5或 k ＝2. 219．解以 O 为坐标原点，射线 OB ，OA ， OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，成立如下图的空间直角坐标系 Oxyz. 设 B(1,0,0) ，则 C( － 1,0,0)， A(0,1,0) ，S(0,0,1) ， SC 的中点11M －2，0，2 .故→＝1，，－1，→＝1，，－1，MO0MA12 22 2→SC ＝ (－ 1,0，－ 1)，→→→→因此 MO ·SC ＝ 0， MA ·SC ＝0.即 MO ⊥SC ， MA ⊥ SC.→ →〉为二面角 A — SC — B 的平面角．故〈 MO ， MA → →→ → 3MO ·MA＝cos 〈 MO ， MA 〉＝ → → 3 .|MO ||MA | 即二面角 A — SC — B 的余弦值为 33.20． (1)证明如图，以 A 为原点， AD 、AB 、 AP 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0) ，B(0,2,0) ， C(4,2,0) ， D(4,0,0) ， P(0,0,2)．→ →→ ，－ 2)．∴ PD ＝ (4,0，－ 2)， CD ＝ (0，－ 2,0)， PA ＝(0,0 设平面 PDC 的一个法向量为n ＝ (x ， y,1)，→－ 2y ＝0 y ＝ 0n ·CD ＝ 0则??1，→4x － 2＝0x ＝n ·PD ＝02因此平面 PCD 的一个法向量为1，0， 1 .2∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥AB ，又∵ AB ⊥ AD ，PA ∩AD ＝ A ，∴ AB ⊥平面 PAD.∴平面 PAD 的法向量为→．AB ＝(0,2,0) → → ∵ n ·AB ＝0，∴ n ⊥AB .∴平面 PDC ⊥平面 PAD.(2)解由 (1) 知平面 PCD 的一个单位法向量为n ＝ 5，0，2 5.|n|55→ n525＝ 4 5，∴BC ·＝， 0，55|n|(4，0， 0) ·5∴点 B 到平面 PCD 的距离为4 55 .21． (1)证明连接 BD ，设 AC 交 BD 于点 O ，由题意知SO ⊥平面 ABCD ，以 O 点为→ → →轴、 y 轴、 z 轴的正方向，成立空间直角坐标系Oxyz 坐标原点， OB 、OC 、OS 分别为 x 如下图．设底面边长为 a ，则高 SO ＝62 a.622于是 S(0,0， 2 a)， D － 2 a ， 0， 0 ， C 0， 2 a ，0，B 22 a ， 0， 0 ，→2OC ＝ 0， 2 a ， 0 ， → ＝ － 26SD2 a ，0，－ 2 a ，→→∴ OC ·SD ＝ 0.∴ OC ⊥SD ，即 AC ⊥ SD.(2)解 由题意知，平面→2 a ， 0， 6PAC 的一个法向量 DS ＝22 a ，平面 DAC 的一个法→6，向量 OS ＝0， 0， 2a→ →设所求二面角为θ，则 cos θ＝ OS ·DS＝3，→ →2|OS||DS|故所求二面角 P — AC —D 的大小为 30°. (3)解在棱 SC 上存在一点 E 使 BE ∥平面 PAC.→由 (2)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量，→ 2 6 →2 6且 DS ＝2 a ，0，2a， CS ＝ 0，－2 a ， 2 a ，→＝－22， BC2 a ， 2 a ， 0 → → 设 CE ＝ tCS ，→ →→ →→则 BE ＝ BC ＋CE ＝BC ＋ tCS＝ －22 a(1－t) ， 62 a ，2 2 at .→ →1由 BE ·DS ＝ 0，得 t ＝ ，3→ →即当 SE ∶ EC ＝ 2∶ 1 时， BE ⊥ DS而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE ∥平面 PAC.。

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北师大版高中数学选修2-1综合测试A.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作综合测试A时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0且a ≠1”是“log a 3>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] ∵a >0且a ≠1⇒/ log a 3>0， log a 3>0⇒a >1.∴“a >0且a ≠1”是“log a 3>0”的必要不充分条件．2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( )A ．12a ＋12b ＋14cB ．14a ＋14b ＋12cC ．14a ＋12b ＋14cD ．12a ＋14b ＋14c[答案] D[解析] OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12·12(AB →＋AC →)＝OA →＋14AB →＋14AC →＝OA →＋14(OB→－OA →)＋14(OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c ，故选D.3．下列双曲线中，以直线x ＝±2y 为渐近线的是( ) A ．x 216－y 24＝1B ．x 24－y 216＝1C ．x 22－y 2＝1D ．x 2－y 22＝1[答案] A[解析] x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x .故以x ＝±2y 为渐近线的双曲线为x 216－y 24＝1.4．(2014·荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中高二期中)下列选项中，说法正确的是( )A ．若命题“p ∨q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题．．．是真命题C ．命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的否命题．．．是真命题 D ．命题“若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底”的逆否命题．．．．为真命题 [答案] D[解析] 由“p ∨q ”一真为真知，A 错误；命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，这是一个假命题，∵当m ＝0时错误，故B 错误；“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的否命题为“若a ≠－b ，则|a |≠|b |”，这是一个假命题，例如a ＝(1,3)，b ＝(－3,1)，此时a ≠－b ，但|a |＝|b |＝10，故C 错误；若{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }不能构成空间的一个基底，则存在实数λ，μ，使a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴(1－μ)a ＋(1－λ)b －(λ＋μ)c ＝0，∵a ，b ，c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－μ＝0，1－λ＝0，－(λ＋μ)＝0，此方程组显然无解，因此{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以构成空间的一个基底，由原命题正确知逆否命题正确，故选D.5．(2014·广东文)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件[答案] A[解析] 本题考查三角形内角和，诱导公式及充要条件．由a ≤b 得A ≤B .当B 为锐角时，sin A ≤sin B ；当B 为直角时，sin A ≤sin B ；当B 为钝角时，π－B ＝A ＋C >A ，此时π－B 为锐角，所以sin(π－B )>sin A ，即sin B >sin A ，综上：sin A ≤sin B .反之亦成立，选A.分类讨论是解决本题的关键．另解：由正弦正理得，a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sin B ，故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a 的最小值为( )A ．233B ．33C ．2D ．1[答案] A[解析] 由e ＝2得c a ＝2，从而b ＝3a >0，所以3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a ＝213＝233.当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立．故选A.7．(2013·新课标全国Ⅱ理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )[答案] A[解析] 在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得此四面体在zOx 平面投影图形为A.8．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A ．x 216＋y 212＝1B ．x 212＋y 216＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝1[答案] D[解析] ∵椭圆的顶点和焦点分别是x 24－y 212＝－1的焦点和顶点，∴椭圆的长半轴长为4，半焦距为2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝4，且焦点在y 轴上，故所求方程为y 216＋x 24＝1.9．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A ．233B ．263C ．33D ． 3[答案] B[解析] 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3 ①.又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24 ②.将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263，故点M 到y 轴的距离为263. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－13[答案] D[解析] 依题意可知A ，O ，B 三点在同一直线上，(O 为坐标原点)，e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝23，∴b 2a 2＝13.设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A 、B 两点关于原点对称，则k 1k 2＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2(x 2－x 21)x 2－x 21＝－13.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．[答案] 30°[解析] 如图建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)，B (0,0,0)，由D 为A 1C 1中点知D (1,1,2)． ∴AD →＝(－1,1,2)，BC 1→＝(0,2,2)．∴cos 〈AD →，BC 1→〉＝AD →·BC 1→|AD →||BC 1→|＝66×22＝32.∴异面直线AD 与BC 1所成的角为30°.12．已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么在下列命题中： ①M 的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素，真命题有________．[答案] ②④[解析] 若命题p 错误，则非p 正确，即“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”正确，因此②④正确．13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．[答案] 2[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及离心率等知识． 由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c 2a2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.与圆锥曲线基本量计算有关的问题，一定要将方程化为标准形式．14．(2014·江西文)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，作F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．[答案]33[解析] 本题是椭圆综合性质的考查，如图∵AB ⊥x 轴，不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，又∵D 是F 1B 与y 轴的交点，可求得D (0，－b 22a)且为BF 1的中点．∵AD ⊥F 1B ，∴△F 1AB 为等腰三角形，∴|AF 1|＝|AB |＝2·b 2a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝2·b 2a ＋b 2a ＝3·b 2a ，由椭圆定义得3·b 2a ＝2a ，∴b 2a 2＝23∴c 2a 2＝13，∴e ＝33，此题要注意椭圆定义与已知几何关系的综合利用． 15.如图，在直角梯形P 1DCB 中，P 1D ∥CB ，CD ⊥P 1D ，P 1D ＝6，BC ＝3，DC ＝6，A 是P 1D 的中点，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面P AB 的位置，使P A ⊥平面ABCD .则下列命题正确的个数是________．①二面角P －CD －B 成45°角；②设折起后几何体的棱PD 的中点为F ，则AF ∥平面PEC ；③平面PEC 和平面P AD 所成的锐二面角的大小为60°；④点D 到平面PEC 的距离为324. [答案] 2[解析] 如图，∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，∵CD ⊥AD ，∴CD⊥平面P AD ，∴PD ⊥CD .∴∠P AD 为二面角P －CD －B 的平面角，在Rt △PDA 中，P A ＝AD ，∴二面角P －CD －B 成45°角．故①正确；取PC 的中点M ，连接EM ，FM ，FM ＝EA ， 且FM ∥EA ，则四边形EAFM 为平行四边形， ∴F A ∥EM ，∴AF ∥平面PEC .故②正确； 设平面PEC 和平面P AD 所成二面角为θ， ∵EA ⊥平面P AD ，CD ⊥平面P AD ，S △P AD ＝12×P A ×AD ＝12×3×3＝92，S △PEC ＝12×PC ×EM ＝12×26×322＝33，∴cos θ＝S △P AD S △PEC ＝32，θ＝π6.故③错误；设点D 到平面PEC 的距离为h ，连接BD 、ED ，则V P －ECD ＝13×S △ECD ×P A ＝13×12×3×6×3＝362，V D －PEC ＝13×S △PEC ×h ＝13×33×h ＝3h ，∴362＝3h ，h ＝322.故④错误．综上，正确命题的个数为2. 三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．已知命题p ：{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，命题q ：(x －3)2<16，且p 是q 的充分而不必要条件，求c 的取值范围．[解析] 命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}， 由(x －3)2<16可解得命题q 对应的集合B ＝{x |－1<x <7}， ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c >0，1－c ≥－1，1＋c <7，或⎩⎪⎨⎪⎧c >0，1－c >－1，1＋c ≤7，∴0<c ≤2或0<c <2，∴0<c ≤2，所以所求c 的取值范围为0<c ≤2.17．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．[解析] 如图，设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点，即定点A (－3，0)和定圆圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.所以点P 的轨迹是以A 、B 为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b ＝42－32＝7的椭圆，方程为：x 216＋y 27＝1. 18．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.(1)若D 为AA 1的中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； (2)若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，求AD 的长．[解析] (1)如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)．即C 1B 1→＝(0,2,0)，DC 1→＝(－1,0,1)，CD →＝(1,0,1)，由CD →·C 1B 1→＝(1,0,1)·(0,2,0)＝0，得CD ⊥C 1B 1.由CD →·DC 1→＝(1,0,1)·(－1,0,1)＝0，得CD →⊥DC 1→.又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D . 又CD 平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2) 设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos60°＝m ·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 19．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的一个顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴的长为2，半焦距c ＝4－b 2. ∴e ＝c a ＝4－b 22＝32，∴b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)． ∴抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由已知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∴y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0.Δ＝(4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0 ①， ∴x 1·x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1.此时k ＝1满足①，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.20．(2014·重庆理)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A －PM －C 的正弦值．[解析] (1)如图，连结AC ，BD ，因ABCD 为菱形，则AC ∩BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .因∠BAD ＝π3，故OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，OB →＝(0,1,0)，BC →＝(－3，－1,0)． 由BM ＝12，BC ＝2知，BM →＝14BC →＝(－34，－14，0)，从而OM →＝OB →＋BM →＝(－34，34，0)，即M (－34，34，0)． 设P (0,0，a )，a >0，则AP →＝(－3，0，a )，MP →＝(34，－34，a )，因为MP ⊥AP ，故MP →·AP →＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32，a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝(－3，0，32)，MP →＝(34，－34，32)，CP →＝(3，0，32)，设平面APM 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AP →＝0，n 1·MP →＝0，得⎩⎨⎧ －3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝(1，533，2)，由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0， 得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)， 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155.故所求二面角A －PM －C 的正弦值为105. 21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．[解析] (1)设M 的坐标为(x ，y )， 由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2>0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .(2)当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.于是|5k ＋y 0＋4k |k 2＋1＝3.整理得72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0.①设过P 所作的两条切线P A ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根．马鸣风萧萧 故k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 04. ② 由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x 得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0. ③设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以y 1y 2＝20(y 0＋4k 1)k 1. ④ 同理可得y 3y 4＝20(y 0＋4k 2)k 2. ⑤于是由②，④，⑤三式得y 1y 2y 3y 4＝400(y 0＋4k 1)(y 0＋4k 2)k 1k 2＝400[y 20＋4(k 1＋k 2)y 0＋16k 1k 2]k 1k 2＝400(y 20－y 20＋16k 1k 2)k 1k 2＝6400. 所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.。

【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：模块测试(二) Word版含答案[ 高考]

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综合学习与测试(二)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、已知命题p :“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是 （ ）①非p ②非q ③p 或q ④p 且qA.①②B.①③C.②③D.③④ 2、下列命题是假命题的是 （ ） A ，命题“若220,x y +=则,x y 全为0”的逆命题； B ，命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；C ，命题“若0,m >则20x x m +-=有实数根”的逆否命题；D ，命题“ABC ∆中，如果090C ∠=，那么222c a b =+” 的逆否命题； 3、下列命题是真命题的是 （ ）A ，“a b >”是“22a b >”的充分条件；B ，“a b >”是“22a b >”的必要条件；C ，“a b >”是“22ac bc >” 的充分条件；D ，“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件。

4、已知条件p :x +y ≠-2，条件q :x ≠-1且y ≠-1，则p 是q 的 （ ） A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件5、如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是21＜x ＜23，则实数a 的取值范围是( )A. 21＜a ＜23B. 21≤a ≤23 C.a ＞23或a ＜21 D.a ≥23或a ≤216、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010 7、已知→-a =（2，-1，3），→-b =（-4，2，x ），若→-a 与→-b 夹角是钝角，则x 取值范围是 ( )A 、（-∞，310） B 、（-∞，2） C 、（310，+∞） D 、（-∞，310-） 8、抛物线y=－2x 2的准线方程 ( ) （A ）y=21（B ）x=81 （C ）y=81 （D ）y=41 9、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)两点，若x 1+x 2=6，则|PQ |的值为 ( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）510、 P 是长轴在x 轴上的椭圆22a x +22by ＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则｜PF 1｜·｜PF 2｜的最大值与最小值之差一定是( )（A ） 1 （B ） a 2 （C ）b 2 （D ）c 2第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、命题：“a,b 是整数”是命题：“20x ax b ++=有且仅有整数解”的 条件。

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习： 第二章章末综合检测 Word版含解析

2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习： 第二章章末综合检测 Word版含解析

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D解析：选A.∵BD →＝BC →＋CD →＝2(a ＋2b )＝2AB →，B 为公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B ．NP → C ．0D ．MN →解析：选C.PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇒M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．4．平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1B ．76C.56D ．23解析：选 B.在平行六面体中，AC 1→＝xAB →＋2yBC →＋3zC 1C →＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →－C 1C →.比较系数知x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝76.5．已知两个平面的一个法向量分别是m ＝(1，2，－1)，n ＝(1，－1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角的余弦值为( )A ．－36B ．36 C ．－36或36D ．－33或33解析：选C.cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－16×2＝－36， 由于两平面所成角的二面角与〈m ，n 〉相等或互补．故选C.6．已知a ＝(2，－1，2)，b ＝(2，2，1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B ．652C ．4D ．8解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝43×3＝49，sin 〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫492＝659，∴S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝9×659＝65. 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面B 1BCC 1的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面B 1BCC 1的一个法向量， M (a ，12a ，12a )，N (12a ，12a ，a )， MN →＝(－12a ，0，12a )，由于C 1D 1→·MN →＝0，且MN 平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．94C ．4D ．－94解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得，|AC |2＝42＋42－2×4×4cos 30°＝32－163， ∴|AC |＝2(6－2)，cos ∠CAD ＝cos 〈AD →，AC →〉＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24， 又AD ＝12AB ＝2，∴AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 〈AD →，AC →〉＝4(6－2)×6＋24＝4，故选C.9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B ．23 C.63D ．32解析：选C.以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，C 1(0，1，1)．∴DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，BC 1→＝(－1，0，1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1B 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DA 1→·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，∴x ＝－y ＝－z .令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)． 设直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23·2＝63. 10．四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别为PB ，PD 的中点，则P 到直线EF 的距离为( )A ．1B ．22 C.32D ．62解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，设AC 与BD 的交点为O ，∵|PB |＝|PD |， ∴PO ⊥BD ， 又O (1，1，0)，∴P 点到BD 的距离为|PO |＝（1－0）2＋（1－0）2＋（0－2）2＝6， 又EF 綊12BD ，∴P 到EF 的距离为62. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________． 解析：λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3. 答案：312．若A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于________． 解析：AB →＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，所以|AB →|＝（1－x ）2＋（2x －3）2＋（－3x ＋3）2 ＝14x 2－32x ＋19＝14（x －87）2＋57，当x ＝87时，|AB →|取得最小值．答案：8713．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．解析：a ·b ＝－3－2(x －1)－3＝－2x －4，由题意知cos 〈a ，b 〉∈(－1，0)，即－1≠－2x －422×x 2－2x ＋3＜0，解之得x ＞－2且x ≠53.答案：(－2，53)∪(53，＋∞)14．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是________．解析：法一：取AC 的中点D ，连接BD ，MD ，由于BD ⊥平面AA 1C 1C ，故∠BMD 即为所求直线与平面所成角，设三棱柱棱长为a ，其中BD ＝32a ，DM ＝a 2， 故tan ∠BMD ＝BDDM＝3，解得∠BMD ＝60°. 法二：由题意知此三棱柱为各棱长均相等的正三棱柱，设棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (3，1，0)，M (0，1，1)，BM →＝(－3，0，1)， 取平面ACC 1A 1的一个法向量n ＝(1，0，0)， cos 〈BM →，n 〉＝－32×1＝－32，设BM 与平面ACC 1A 1所成的角为θ， 则sin θ＝32，∴θ＝60°. 答案：60°15.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．解析：∵A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 之距等于A 1点到平面D 1EF 之距，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，F (1，1，12)，E (1，0，12)，设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·ED 1→＝0，易求得平面D 1EF 的一个法向量n ＝(1，0，2)，A 1E →＝(0，0，－12)，∴d ＝|A 1E →·n ||n |＝55. 答案：55三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)(2014·德州高二检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，设a ＝(x ，y ，z )， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0x 2＋y 2＋z 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1. ∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)． 17．(本小题满分10分)已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解：ON →＝12(b ＋c )，OM →＝12a ，MN →＝12b ＋12c －12a ，∵MG →＝2GN →，∴MG →＝23MN →＝13b ＋13c －13a ，∴OG →＝OM →＋MG →＝12a ＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c .18．(本小题满分10分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是AA 1上靠近点A 的三等分点，在线段DD 1上是否存在一点G ，使CG ∥EF ？若存在，求出点G 的位置，若不存在，说明理由．解：存在．如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则E (1，12，0)，F (1，0，13)，C (0，1，0)，假设在DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，则CG →∥EF →，由于点G 在z 轴上，设G (0，0，z )，∴EF →＝(0，－12，13)，CG →＝(0，－1，z )．∵CG →∥EF →，∴CG →＝λEF →，即(0，－1，z )＝λ(0，－12，13)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝λ×0，－1＝－12λ，z ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，z ＝23. 由于z ＝23∈[0，1]，所以点G 在线段DD 1上，其坐标为(0，0，23)，故在线段DD 1上存在一点G ，使CG ∥EF ，点G 是DD 1上靠近点D 1的三等分点． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥底面ABC ，且∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CP ＝2. (1)求二面角B -AP -C 的余弦值； (2)求点C 到平面P AB 的距离．解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系． 则C (0，0，0)，A (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)． 易得面P AC 的法向量为n 1＝(1，0，0)， P A →＝(0，2，－2)，PB →＝(2，0，－2)， n 2＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·P A →＝0n 2·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x －2z ＝0.可取n 2＝(1，1，1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝13＝33.∴二面角B -AP -C 的余弦值为33. (2)d ＝|CA →·n 2||n 2|＝23＝233，∴点C 到平面P AB 的距离为233.20．(本小题满分13分)已知在几何体A -BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(2)试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．解：(1)由题知，CA ，CB ，CE 两两垂直，以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A (4，0，0)，B (0，4，0)，D (0，4，1)，E (0，0，4)， ∴DE →＝(0，－4，3)，AB →＝(－4，4，0)， ∴cos 〈DE →，AB →〉＝－225，∴异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为225.(2)设满足题设的点Q 存在，其坐标为(0，m ，n )，则AQ →＝(－4，m ，n )， BQ →＝(0，m －4，n )，EQ →＝(0，m ，n －4)，QD →＝(0，4－m ，1－n )． ∵AQ ⊥BQ ，∴m (m －4)＋n 2＝0，①∵点Q 在ED 上，∴存在λ∈R (λ＞0)使得EQ →＝λQD →， ∴(0，m ，n －4)＝λ(0，4－m ，1－n )，∴m ＝4λ1＋λ，②n ＝4＋λ1＋λ.③ 由①②③得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋41＋λ2＝16λ（1＋λ）2，∴λ2－8λ＋16＝0，解得λ＝4. ∴m ＝165，n ＝85.∴满足题设的点Q 存在，其坐标为⎝⎛⎭⎫0，165，85.。

高一数学北师大版选修21第二章§1应用创新演练

高一数学北师大版选修21第二章§1应用创新演练

1．空间向量中，下列说法正确的是( )A ．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B ．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C ．如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等D ．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量．故D 正确．答案：D2．在等腰直角三角形ABC 中，角B 为直角，则〈BC ， CA 〉等于( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．不确定解析：易知∠BCA ＝45°，由向量夹角的定义知〈BC ，CA 〉＝135°.答案：B3．AB ＝CD 的一个必要不充分条件是( )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合， B 与D 重合C ．|AB |＝|CD |D ．A 、B 、C 、D 四点共线解析：若AB ＝CD ，则|AB |＝|CD |；若|AB |＝|CD |，不一定能得出AB ＝CD .故应选C.答案：C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( )A ．BDB ．1BC C ．1BD D ．1A B解析：∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥面ACC 1A 1，故BD 为平面ACC 1A 1的法向量．答案：A5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量1BC 垂直的向量有________．解析：A 1B 1⊥面BCC 1B 1，∴11A B ⊥1BC ；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴1A D ⊥1BC .答案：11A B 1A D6．对空间向量a ，b ，有如下命题：①〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉②若a ⊥α，b ⊥α，且|a |＝|b |，则a ＝b③若a ≠b ，则|a|≠|b |④若a ，b 都是直线l 的方向向量，则a ∥b其中说法正确的是________解析：①由两向量夹角的定义知为真；只有a ，b 同向时才能得出a ＝b ，故②为假；若两向量不相等，但其模可能相等，故③为假；由方向向量定义知④为真．答案：①④7.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与1BB 相等的向量；(2)写出与BA 相反的向量；(3)写出与BA 平行的向量．解：(1) 1CC ，1DD ，1AA .(2) DC ，11D C ，11A B .(3) AB ，CD ，DC ，11D C ，11C D ，11A B ，11B A .8.如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．(1)试指出以E 为起点的直线PB 的一个方向向量；(2)证明：PA 是平面ABCD 的法向量．解：(1)连接BD 交AC 于O ，连接OE .由菱形ABCD 知O 是BD 的中点．又E 是PD 的中点，∴OE 綊12BP . 则直线PB 的一个方向向量为EO .(2)证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝a .在△P AB 中，由P A2＋AB2＝2a2＝PB2知P A⊥AB. 同理P A⊥AD.∴P A⊥平面ABCD.故PA是平面ABCD的法向量．。

2021年北师大版数学选修21第二单元测试题及答案

2021年北师大版数学选修21第二单元测试题及答案

数学学科选修2-1第二单元质量检测试题参赛试卷学校:宝鸡铁一中 命题人: 杨文兵一、选择题(本大题共10个小题,每小题6分,共60分) 1.已知向量={1,2,3}, ={3,0,-1}, ={51-,1,53-},有下列结论: ①｜++｜=｜--｜;②(++)2=2+2+2;③(·)= (·)；④(a +b )·c =a ·(b -c ).其中正确的结论的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 2.同时垂直于=(2,2,1), =(4,5,3)的单位向量是( )A.(32,32,31-) B.(32,32,31--) C.(32,31,31-) D.(32,32,31-)或(32,32,31--) 3.已知三点A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则=,=的夹角为( ) A.2π B.3π C.6π D.4π 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量1AC 的个数有( ) ①(+)+1CC ②(1AA +11D A )+11C D ③(+1BB )+11C B ④(1+11B A )+11C B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知 =3 +2j -, =-j +2,则5与3的数量积等于( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 6.已知向量=(0,2,1), =(-1,1,-2),则与的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180° 7.以下命题中，正确的命题为( )A.| a |-|b |＜|a +b |是a 、b 不共线的充要条件B.(·)·=·(·)=(·)· C.向量在向量方向上的射影向量的模为||·cos 〈，〉D.在四面体ABCD 中，若·=0，·=0，则A ·=0 8.若a =(2,-2,-2), b =(2,0,4),则sin 〈a ,b 〉等于( )A.15210 B.8569 C.85854 D.1 9.已知a =(λ+1,0,2λ), b =(6,2μ-1,2),若a ∥b ,则λ与μ的值分别为…( ) A.21,51 B.5，2 C.21,51-- D.-5，-210.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A.52-B.52C.53D.1010二、填空题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)11.已知a =(1,2,-2),若|b |=2|a |,且a ∥b ,则b =______________. 12.已知a =(cosα,1,sinα), b =(sinα,1,cosα),则向量+与-的夹角是_____________________.13.已知过O 点长为1,2,3的三个向量为, ,,且·=·=·=0,则｜++｜的值为________.14.已知{, ,}为单位正交基底，且=-++3, =2-3-2，则向量+与向量-2的坐标分别是_________________________________，________________________________.15.已知A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，若|a |=3，且a ⊥AB ,a ⊥AC ,则向量的坐标为___________________________. 三、解答题(本大题共4小题,共60分)16.已知a=(2,4,x),b=(2,y,2)，求|a|=6且a⊥b，求x+y的值.17.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，证明AD⊥BC.(用向量方法)18.如右图，棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1中点，O1、O2、O3分别是面A1C1、面BC1、面AC的中心.(1)求证:B1O3⊥PA；(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；19.如右图，四面体PABC，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E是AB的中点，F是CE的中点.(1)写出点B、C、E、F的坐标；(2)求BF与底面ABP所成的角的余弦值.金台区数学学科选修2-1第二单元质量检测试题参赛试题答案学校:宝鸡铁一中 命题人: 杨文兵一、选择题(本大题共10个小题,每小题6分,共60分) 1.已知向量a ={1,2,3},b ={3,0,-1},c ={51-,1,53-},有下列结论: ①｜++｜=｜--｜;②(++)2=2+2+2;③(·)= (·)；④(+)·=·(-).其中正确的结论的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案:A2.同时垂直于a =(2,2,1), b =(4,5,3)的单位向量是( )A.(32,32,31-)B.(32,32,31--) C.(32,31,31-) D.(32,32,31-)或(32,32,31--) 答案:D3.已知三点A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则a =AB ,b =AC 的夹角为( ) A.2π B.3π C.6π D.4π 答案:B4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量1AC 的个数有( ) ①(+)+1CC ②(1+11D A )+11C D ③(AB +1BB )+11C B ④(1+11B A )+11C B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:D5.已知 =3 +2j -, =-j +2,则5与3的数量积等于( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1思路分析:设空间向量=(a 1,a 2,a 3), =(b 1,b 2,b 3),则·=a 1·b 1+a 2·b 2+a 3·b 3,把5a =(15,10,-5),3b =(3,-3,6)代入上式即可. 答案:A6.已知向量=(0,2,1), =(-1,1,-2),则与的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180° 思路分析:设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3)，则 cos 〈,〉=232221332221332211b b b a a a b a b a b a ++•++++,把=(a 1,a 2,a 3), =(b 1,b 2,b 3)代入上式即可求得cos 〈a ,b 〉，从而得出a 与b 的夹角. 答案:C7.以下命题中，正确的命题为( )A.| |-||＜|+|是、不共线的充要条件B.(·)·=·(·)=(·)· C.向量a 在向量b 方向上的射影向量的模为|a |·cos 〈a ，b 〉D.在四面体ABCD 中，若AB ·CD =0，AC ·BD =0，则A AD ·BC =0 答案:D8.若a =(2,-2,-2), b =(2,0,4),则sin 〈a ,b 〉等于( )A.15210 B.8569 C.85854 D.1 答案:A9.已知=(λ+1,0,2λ), =(6,2μ-1,2),若∥,则λ与μ的值分别为…( ) A.21,51 B.5，2 C.21,51-- D.-5，-2思路分析:a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a =m b .又a =(λ+1,0,2λ), b =(6,2μ-1,2),则有⎪⎩⎪⎨⎧=-==+.22),12(0,61m m m λμλ可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,51μλ 答案:A10.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A.52-B.52C.53D.1010思路分析:建立空间直角坐标系D 1—A 1C 1D(图略)，则易知AM=(0，21，-1)，CN =(1，0，21-)，代入向量的夹角公式，可求得cos 〈AM ，CN 〉=52.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)11.已知=(1,2,-2),若||=2||,且∥,则=______________. 答案:(2,4,-4)或(-2，-4，4)12.已知=(cosα,1,sinα), =(sinα,1,cosα),则向量+与-的夹角是_____________________.答案:90°13.已知过O 点长为1,2,3的三个向量为a , b ,c ,且a ·b =b ·c =c ·a =0,则｜a +b +c ｜的值为________. 答案:1414.已知{, ,}为单位正交基底，且=-++3, =2-3-2，则向量+与向量-2的坐标分别是_________________________________，________________________________. 答案:(1,-2,1)，(-5,7,7)15.已知A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，若||=3，且⊥AB ,⊥AC ,则向量a 的坐标为___________________________. 思路分析:设=(x,y,z),又AB =(-2,-1,3),AC =(1,-3,2),则由||=3,⊥AB ,⊥AC ,可解得x=y=z=1或x=y=z=-1.答案:(1，1，1)或(-1，-1，-1)三、解答题(本大题共4小题,共60分)16.已知a=(2,4,x),b=(2,y,2)，求|a|=6且a⊥b，求x+y的值.思路分析:本题只需代入向量的模的公式及向量垂直的条件，解方程组即可.解:由|a|=6，得22+42+x2=36，①又a⊥b a·b=0，即4+4y+2x=0，②由①②,有x=4,y=-3或x=-4,y=1.∴x+y=1或-3.17.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，证明AD⊥BC.证明:令AB=a,AC=b,AD=c,∵AB⊥CD,∴AB·CD=0,即AB·(AD-AC)=0.∴a·c-a·b=0,即a·c=a·b∵AC⊥BD,∴AC·BD=0,即AC(AD-AB)=0.∴b·c-b·a=0,即b·c=a·b∴a·c=b·c.∴c·(b-a)=0,即AD·(AC-AB)=0.∴AD·BC=0.∴AD⊥BC.18.如右图，棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1中点，O1、O2、O3分别是面A1C1、面BC1、面AC的中心.(1)求证:B1O3⊥PA；(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；答案:(1)证明:以D为坐标原点，DA、DB、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如右图所示空间直角坐标系D—xyz.则A(1,0,0),B 1(1,1,1),P(0,0,21),O 3(21,21,0)， ∴31Q B =(-21,-21,-1),PA=(1,0,-21).∴31Q B ·PA PA=-21×1-21×0-1×(-21)=0. ∴31Q B ⊥PA .∴B 1O 3⊥PA.(2)解:∵O 1(21,21,1),O 2(21,1,21), ∴21O O =(0,21,-21).又3PO =(21,21,21-),设3PO 与21O O 夹角为θ, ∴cosθ=||||213213O O PO O O PO •=3622232141410414141)21(212121021=•=++•++-⨯-⨯+⨯. ∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为36. 19.如右图，四面体PABC ，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E 是AB 的中点，F 是CE 的中点.(1)写出点B 、C 、E 、F 的坐标；(2)求BF 与底面ABP 所成的角的余弦值.解:(1)如右图，以PA 为x 轴，PB 为y 轴，PC 为z 轴，P 为原点建立空间直角坐标系，则B 点坐标为(0,2,0)，C 点坐标为(0,0,4),A 点坐标为(2,0,0).∵E 为AB 中点， ∴E(1,1,0).∵F 为CE 中点，∴F(21,212). (2)设G 为PE 中点，则G(21,21,0).∵PA 、PB 、PC 两两互相垂直，∴PC ⊥面ABP. ∵F 、G 分别为CE 、PE 中点，∴FG ∥PC. ∴FG ⊥面ABP.故∠FBG 为BF 与面ABP 所成的角.∴∠FBG=〈BF ,BG 〉,BF =(21,23-,2), BG =(21,-23,0). ∴cos 〈BF ,BG 〉||||BG BF =26525=1365.。

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第二章 空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－|b|＝|a ＋b|是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若a ，b ，c 为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A ．2B ．3C ．4D ．52．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)，若a ∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1524．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( ) A ．－23 B.23 C.53 D ．－536．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确8．若两点A(x,5－x,2x －1)，B(1，x ＋2,2－x)，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )A ．19B ．－87 C.87 D.19149.如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22 B.33 C.77 D.5710．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b|＝______.12．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC 的形状是________________． 13．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．15.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.17．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．18.(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．(1)求证：EF∥平面ACD1；(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．19．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.20.(13分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．21．(14分)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．第二章 空间向量与立体几何(A)1．C [只有命题④正确．] 2．D[如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c.] 3．D [∵a ∥b ，∴存在实数λ，使⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λx ＝4λy ＝5λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝152.]4．C [设a ＝(x ，y ，z)，∵AB →＝(－2，－1,3)， AC →＝(1，－3,2)，又|a|＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．] 5．C [∵AB →＝(1,0,0)，CD →＝(－2，－2,1)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝－23，∴sin 〈AB →，CD →〉＝53.]6．B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A(0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.]7．A [∵v ＝－3u ，∴v ∥u.故α∥β.] 8．C [AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝(1－x)2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．]9．C [如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，即二面角B —AP —C 的余弦值为77.] 10．B[以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB 1→＝(1,1,1)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈DB 1→，CM →〉＝1515，从而sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.]11.258解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)， ∴|a －2b|＝82＋(－5)2＋132＝258. 12．不等边的锐角三角形解析 AB →＝(3,4,2)，AC →＝(5,1,3)，BC →＝(2，－3，1)，AB →·AC →>0，得∠A 为锐角；CA →·CB →>0，得∠C 为锐角；BA →·BC →>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且|AB →|＝29， |AC →|＝35，|BC →|＝14. 13.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD.设正四面体的棱长为4，则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13， 所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为： cos θ＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝413.14.π3或2π3解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·2＝－12，∴〈n 1，n 2〉＝2π3.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为π3或2π3.15.3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ.16．证明 以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系． 设B(a ，b,0)，C(c,0,0)，A 1(0,0，d)，则B 1(a ，b ，d)，C 1(c,0，d)，AB 1→＝(a ，b ，d)， BC 1→＝(c －a ，－b ，d)，CA 1→＝(－c,0，d)， 由已知AB 1→·BC 1→＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0， CA 1→·BC 1→＝－c(c －a)＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2. 再由两点间距离公式可得： |AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2， |CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.17．证明 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD.又因为AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， 因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，所以四边形ABCD 为梯形． 18．(1)证明如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知得D(0,0,0)， A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，D 1(0,0,2)，E(1,0,2)， F(0,2,1)．易知平面ACD 1的一个法向量是DB 1→＝(2,2,2)．又∵EF →＝(－1,2，－1)，由EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0，∴EF →⊥DB 1→.又∵EF ⊆平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (2)解 ∵AB →＝(0,2,0)，cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63.19．证明 设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ， 依题意，|a|＝|b|，又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ， 于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ， CC 1→·BD →＝c·(a －b)＝c·a －c·b ＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0， 所以C 1C ⊥BD.20．解 因为BC →＝AC →－AB →， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.21．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A 1(0,0,4)，E ⎝⎛⎭⎫1，32，0.易得EF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，A 1D →＝(0,2，－4)， 于是cos 〈EF →，A 1D →〉 ＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35. (2)证明 易知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，4，ED →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0.因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED.又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED.(3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ u·EF →＝0，u·ED →＝0，即⎩⎨⎧ 12y ＋z ＝0，－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF →为平面A 1ED 的一个法向量，于是cos 〈u ，AF →〉＝u·AF →|u||AF →|＝23， 从而sin 〈u ，AF →〉＝53. 所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为53.。

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