创新设计高中数学必修4课时作业【全套142页】附有详细解析

§3.2 简单的三角恒等变换

课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．

1．半角公式

(1)S α2：sin α

2＝____________________；

(2)C α2：cos α

2＝____________________________；

(3)T α2：tan α

2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理

形式)．

2．辅助角公式

使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2

sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．

一、选择题

1．已知180°<α<360°，则cos α

2的值等于( )

A ．－1－cos α

2

B. 1－cos α

2

C ．－

1＋cos α2 D. 1＋cos α

2 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )

A ．2

B ．1 C.1

2

D. 3

3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )

A ．－2

B ．－ 3

C ．－ 2

D ．－1

4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π

6

，－π6

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，0 6．若cos α＝－4

5，α是第三象限的角，则1＋tan

α21－tan

α

2

等于( )

A ．－12 B.1

2 C ．2 D ．－2

答 案

7．函数f (x )＝sin(2x －π4

)－22sin 2

x 的最小正周期是______．

8．已知等腰三角形底角的余弦值为2

3，则顶角的正弦值是________．

9．已知等腰三角形顶角的余弦值为4

5

，则底角的正切值为________．

10.

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____． 三、解答题

11．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．

12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m

＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ2＋π8的值． 能力提升

13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32 B ．－3

2

C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．

2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2

sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a

(或sin φ＝

b

a 2＋

b 2

，cos φ＝a

a 2＋

b 2

)．

3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正

弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2

知识梳理

1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α

1＋cos α

1－cos α

sin α

2.

a a 2＋b

2

b a 2＋b 2

点(a ，b )

作业设计

1．C

2．B [y ＝2sin x cos π

3＝sin x ．]

3．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.

∵－π4≤x －π4≤π4

，

∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝2

3

π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .]

5．D [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )，

令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－4

5

，

∴sin α＝－3

5

.

∴1＋tan α21－tan α2＝1＋

sin

α2

cos α21－

sin α2cos

α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝

1－

35

－

45

＝－12.]

7．π

解析 f (x )＝

22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋2

2cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π

2＝π.