2020高考理科数学全真模拟试卷含答案

一、选择题 :（本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.）
1．满足条件{1，2}⋃M =}{3,2,1的所有集合M 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知数列{}n a ，且)(2*∈=N n a n n ，则 （ ）
(A)1++k k a a 是数列{}n a 中的项 (B)k k a a --1是数列{}n a 中的项 (C)
1
+k k
a a 是数列{}n a 中的项 (D)1+k k a a 是数列{}n a 中的项 3．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 ( ) A ．80- B ．76- C ．75- D ．74- 5．
22=3=，a 与b 的夹角为4
π
，如果b a p 2+=，b a q -=2，-A ．132 B ．53 C ．63 D ．2249+
6．如果命题P:{}∅∈∅, 命题Q:{}∅⊂∅,那么下列结论不正确的是（ ） A “P 或Q ”为真 B ．“P 且Q ”为假 C ．“非P ”为假
D ．“非Q ”为假
7.．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，
则b
a 11
+的最小值是 （ ）
A.2
B.4
C.21
8．如图，目标函数y ax P +=仅在封闭区域OACB 边界）的点)5
4,32(C 处取得最大值，则a A.)125,310(-
- B.)103,512(-- C.)5
12,103( D.)103,512(-
9、函数
lg ||x y x
=
的图象大致是
( )
A B C D
10．若x R ∈，*n N ∈，定义(1)(1)n x E x x x n =++-L ，例如44(4)(3)(2)(1)24E -=----=，则函数199)(-=x xE x f 的奇偶性为 （ ）
(A)偶函数 (B)奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数又不是偶函数
二、填空题:（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分.）
11．已知抛物线y =x 2+bx +c 在点(1,2)处与直线y =x +1相切，则
b -
c =_________．
12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8),(332112312=+++=-a a a a a a S n n Λ，则10a 等于 ．
13．函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 。

14．以下同个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=u u u r u u u r
，则动点P 的轨迹
为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若
1(),2
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.
其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题 :（本大题有6小题, 共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分
14
分）若}{R x x x x A ∈>--=,022，
}
{R x a x a x x B ∈<+++=,05)25(22,
且}{2A B Z ⋂⋂=-，其中Z 为整数集,求实数a 的取值范围。

16．（本小题满分14分）若ABC ∆中，a ，b ，c 分别是C B A ∠∠∠,,的对边，且2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B ， （1）求A ∠；（2）若7=a ，ABC ∆的面积为310，求b+c 的值。

17．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，数列{}n b 满足：
2
1
n n b a =
+，前n 项和为n T ，设21n n n C T T +=-。

⑴ 求数列{}n b 的通项公式； ⑵ 求证：数列{}n C 是单调递减数列；
18．（本小题满分14分）在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N —CM —B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离.
19.（本题满分14分）定义：离心率2
1
5-=e 的椭圆为“黄金椭圆”。

已知椭圆E ：)0(122
2
2
>>=+b a b
y a x 的一个焦点为)0)(0,(>c c F ，P 为椭圆E 上的任意一点.
（1）试证：若c b a ,,不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E 为黄金椭圆，问：是否存在过点F 、P 的直线L ，使L 与y 轴的交点R 满足
2-=？若存在，求直线L 的斜率k ；若不存在，说明理由。

（3）已知椭圆E 的短轴长是2，点S (0, 2 )，求使2
取最大值时点P 的坐标。

20．（本小题满分14分）已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)2
1
(=f ，且满足)1,1(,-∈y x 有)1(
)()(xy y x f y f x f --=-，对数列21
1=x ，2
112n
n n x x x +=+。

（1）证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；（2）求)(n x f 的表达式；
（3）是否存在自然数m ,使得对于任意n ∈N*，有
4
8
)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n Λ 成立? 若存在，求出m 的最小值。

参考答案
一、选择题： DDBCB BBCDA 二、填空题： 11．-3
12．512
13．2
12+ 14．③④
三、解答题：
15．解：．}{12-<>=x x x A 或，}{0)52)((<++=x a x x B （………………2分） (1) 当2
5
=a 时,ϕ=B 不符合题意.（…………………5分）
(2当25<a 时,⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-<<-=a x x B 2
5得23<≤-a （……………………9分）
(3)当2
5
>a 时,⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧-<<-=25x a x B 不符合题意。

（…………………12分） 综上所得[)2,3-∈a （…………………14） 16解：（1）由272cos 2sin 42
=-+A C B 得：2
7
2cos )]cos(1[4=-+-A C B ， 可得：01cos 4cos 42=+-A A ，2
1
cos =A ，3
π=
∠∴A 。

（2）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+=3sin
213103
cos 272
22ππbc bc c b
169)(2=+∴c b ，13=+∴c b 。

17．⑴ 12a =，当1n >时，121n n n a S S n -=-=-
∴()()231,1,1n n
n b n =⎧⎪=⎨>⎪⎩ ⑵
211221n n n n n n C T T b b b ++++=-=+++L
∵111111
022*******
n n C C n n n n n +-=
+-=-<+++++ ∴数列{}n C 是单调递减数列。

18．解：（Ⅰ）取AC 中点D ，连结SD 、DB.
∵SA=SC ，AB=BC ， ∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，
∴AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， ∴AC ⊥SB.
（Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面SDB ⊥平面ABC.
过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥CM 于F ，连结NF ， 则NF ⊥CM.
∴∠NFE 为二面角N －CM －B 的平面角.
∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD. ∵SN=NB ，∴NE=2
1SD=
2
122AD SA -=
2
1412-=2，且ED=EB.
在正△ABC 中，由平几知识可求得EF=4
1MB=2
1， 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=
EF
EN
=22， ∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22. （Ⅲ）在Rt △NEF 中，NF=22EN EF +=2
3， ∴S △CMN =2
1CM ·NF=
2
33，S △CMB =
2
1
BM ·CM=23. 设点B 到平面CMN 的距离为h ，
∵V B-CMN =V N-CMB ，NE ⊥平面CMB ，∴3
1
S △CMN ·h=3
1S △CMB ·NE ， ∴h=
CMN
CMB S NE S ςς⋅=324.即点B 到平面CMN 的距离为32
4. （此题也可建空间直角坐标系利用向量求解，略） 19．(I)证明：
假设E 为黄金椭圆，则a c a
c e 2
1
5,215-=-==
即 ac a a a c a b =-=--=-=∴2
2
22222
15)2
15(
即成等比数列，c b a ,,与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆” 分3ΛΛΛ
(II)解：依题假设直线L 的方程为)(c x k y -=
令)kc 0R ,kc y 0--==，
的坐标为（即点有x )kc ,2c (P )0,c (F ,PF 2RP 的坐标为点点∴-=Θ 分5ΛΛΛ
Θ点P 在椭圆上1b c k a 4c 22
222=+∴,ac b =2Θ∴1422=+e k e
故0412
2
<-=e
e k ，与02≥k 矛盾 所以，满足题意的直线不存在
分7ΛΛΛ
（III ）依题有12=b ，由点P ()11y ,x 在E 上知)1(21221y a x -=
)4(4)1()2(||21212212122
++--=-+==∴a y y a y x
2
2
221214)4()12)(1(a
a a y a --++--
-= 11,01112≤≤-<-∴>y a a 又Θ 分10ΛΛΛ （ⅰ）[]的减函数，是时当11112
31122
-∈∴-≤-≤
<y a a
故11-=y 时2
取得最大值，此时点P 的坐标是（0，-1）
（ⅱ）当3>a 时11212<-<-a 2
112
a y -=
∴时2SP 取得最大值， 此时点P 的坐标是⎪⎭
⎫
⎝⎛----±
22
42
12,321a a a a a 分14ΛΛΛ 20．解：（1）当x =y =0时，0)0(=f ；
令x =0，得)()()0(y f y f f -=-即0)()(=-+y f y f ∴对任意的)1,1(-∈x ，0)()(=-+x f x f 故)(x f 在)1,1(-上为奇函数。

（2）∵{n x }满足211=x ，2112n n n x x x +=
+。

∴10<<n x ， ∵∴])(1)([
)()(n n n n n n x x x x f x f x f ----=--)12(2n n x x f +=， )(x f 在)1,1(-上为奇函数。

∴)(2)(1n n x f x f =+； 由1)21(=f ，2
11=x ，∴1)(1=x f
从而)(n x f =12-n 。

（3）)(1)(1)(121n x f x f x f +++Λ=122121211-++++n Λ=21121
1--n =1212--n 假设存在自然数m ,使得对于任意n ∈N*，有
4
8)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n Λ成立 即4
82121-<-
-m n 恒成立。

∴24
8≥-m 解得16≥m ∴存在自然数16≥m ，使得对于任意n ∈N*，有 4
8)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n Λ成立。

此时，m 的最小值为16。