52 曲线与方程(教学案)-2018年高考数学(理)一轮复习资料含解析

1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2。

掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

1．抛物线的定义
（1）平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
（2）其数学表达式：|MF|＝d（其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程y2＝2px
（p>0）
y2＝－
2px(p〉0）
x2＝
2py(p〉0)
x2＝－2py
(p>0）p的几何意义:焦点F到准线l的距离
性质顶点O（0，0）
对称y＝0x＝0
轴
焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心
率
e＝1
准线
方程
x＝－错误!x＝错误!y＝－错误!y＝错误!
范围x≥0,y∈R x≤0，y∈
R
y≥0，x∈
R
y≤0,x∈
R
开口
方向
向右向左向上向下
高频考点一定义法求轨迹方程
例1、已知圆M:(x＋1)2＋y2＝1,圆N：（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程。

【方法规律】(1）求轨迹方程时，若动点与定点、定线
间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程。

（2）理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键。

（3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制。

【变式探究】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2,且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解
如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4,得O1（－2,0），O2（2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切,有|MO1|＝r－1;
由动圆M与圆O2外切,有｜MO2｜＝r＋2。

∴｜MO2｜－|MO1|＝3。

∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝错误!，c＝2，∴b2＝c2－a2＝错误!。

∴点M的轨迹方程为错误!－错误!＝1 (x≤－错误!）．
高频考点二直接法求轨迹方程
例2、已知动圆过定点A(4，0），且在y轴上截得弦MN 的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B（－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线,证明：直线l过定点。

（1)解如图,设动圆圆心为O1（x，y），
由题意，｜O1A｜＝|O1M|，
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点.
∴｜O1M|＝错误!，
又|O1A|＝错误!，
∴错误!＝错误!，化简得y2＝8x（x≠0）.
当O1在y轴上时，O1与O重合,点O1的坐标（0，0）也满足方程y2＝8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2）证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1），Q(x2,y2），
将y＝kx＋b代入y2＝8x中,
得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0。

其中Δ＝－32kb＋64〉0。

由根与系数的关系得，x1＋x2＝错误!，①
x1x2＝错误!，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以错误!＝－错误!，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b）（x2＋1)＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，
2kx1x2＋（b＋k）(x1＋x2）＋2b＝0③
将①，②代入③得2kb2＋（k＋b）(8－2bk）＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ〉0，
∴直线l的方程为y＝k（x－1），即直线l过定点（1，0).
【方法技巧】利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略。

【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b）为动点,F1，F2分别为椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
（1)求椭圆的离心率e；
(2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点,M是直线PF2上的点,满足AM，→·错误!＝－2，求点M的轨迹方程．解（1）设F1（－c，0)，F2（c,0）（c〉0)．
由题意，可得|PF2｜＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c，整理得2错误!2＋错误!－1＝0，
得错误!＝－1(舍去）或错误!＝错误!。

所以e＝错误!。

设点M的坐标为(x，y）,
则错误!＝错误!，错误!＝(x,y＋错误!c）．
由y＝错误!(x－c），得c＝x－错误!y。

于是错误!＝错误!，错误!＝(x，错误!x),由错误!·错误!＝－2，
即错误!·x＋错误!·错误!x＝－2。

化简得18x2－16错误!xy－15＝0。

将y＝错误!代入c＝x－错误!y，
得c＝错误!〉0.
所以x>0。

因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x>0)．【变式探究】已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的一个焦点为（5，0)，离心率为错误!.
(1)求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0,y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解（1)由题意知c＝错误!，错误!＝错误!,
所以a＝3,b2＝a2－c2＝4，
故椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1.
（2)设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P(±3，±2）．
②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3。

设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－错误!，
故l1的方程为y－y0＝k(x－x0）,联立x2
9
＋错误!＝1，
得（9k2＋4)x2＋18(y0－kx0）kx＋9(y0－kx0）2－36＝0。

因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0，
得9（y0－kx0)2k2－(9k2＋4）[(y0－kx0）2－4]＝0，
所以－36k2＋4[（y0－kx0）2－4］＝0,
所以（x错误!－9)k2－2x0y0k＋y错误!－4＝0，
所以k是方程（x2，0－9）x2－2x0y0x＋y错误!－4＝0(x0≠±3)的一个根,同理－错误!是方程(x错误!－9）x2－2x0y0x＋y错误!－4＝0（x0≠±3)的另一个根，
所以k·（－错误!）＝错误!，得x错误!＋y错误!＝13,其中x0≠±3，所以此时点P的轨迹方程为x错误!＋y错误!＝13(x0≠±3）．因为P（±3,±2)满足x2，0＋y错误!＝13，
综上可知，点P的轨迹方程为x错误!＋y错误!＝13.
【感悟提升】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略:
(1)题目给出等量关系,求轨迹方程．直接代入即可得出
方程．
（2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
【变式探究】（1)已知A，B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若错误!2＝λ
错误!·错误!，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（)
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
答案C
(2）如图所示，A(m，错误!m）和B(n，－错误!n)两点分别在射线OS，OT(点S、T分别在第一、四象限)上移动，且错误!·错误!＝－错误!，O为坐标原点，动点P满足错误!＝错误!＋错误!.
①求mn的值；
②求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
解①∵错误!·错误!＝(m，错误!m)·（n，－错误!n）
＝－2mn＝－错误!，∴mn＝错误!.
②设P（x，y）（x〉0），由错误!＝错误!＋错误!，
得(x，y)＝（m，3m)＋（n，－错误!n）＝（m＋n,错误!m －3n)．
∴错误!整理得x2－错误!＝4mn，
又mn＝错误!，∴P点的轨迹方程为x2－错误!＝1 （x>0）．它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2,焦距为4的双曲线x2－错误!＝1的右支．
高频考点三相关点法求轨迹方程
例3、如图,动圆C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，与椭圆C2:错误!＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1,A2分别为C2的左,右顶点。

求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
解由椭圆C2：错误!＋y2＝1,知A1(－3，0），A2(3，0）.设点A的坐标为（x0,y0)；由曲线的对称性，
得B（x0，－y0)，
设点M的坐标为（x，y),
直线AA1的方程为y＝
y0
x0＋3(x＋3）。

①
直线A2B的方程为y＝错误!(x－3)。

②
由①②相乘得y2＝错误!(x2－9).③
又点A(x0，y0）在椭圆C上，故y错误!＝1－错误!.④
将④代入③得错误!－y2＝1(x＜－3,y＜0）.
因此点M的轨迹方程为错误!－y2＝1（x＜－3，y＜0)。

【方法规律】“相关点法"的基本步骤：
（1)设点：设被动点坐标为（x,y)，主动点坐标为（x0，y0)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误! (3）代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便
可得到所求被动点的轨迹方程.
【变式探究】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A,B（a为定值），C为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解设△ABC的重心为G(x，y)，
点C的坐标为(x0，y0），A（x1,y1）,B（x2,y2）．
由方程组：错误!
消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝（x1－4a）＋（x2－4a)＝（x1＋x2)－8a＝4a。

∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴错误!∴错误!
又点C(x0,y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程
得：
(3y－4a)2＝4a（3x－12a），即（y－错误!）2＝错误!(x－4a）．又点C与A,B不重合，∴x0≠(6±2错误!）a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
（y－错误!）2＝错误!(x－4a）(x≠(6±错误!）a）．
【感悟提升】“相关点法"的基本步骤：
(1)设点:设被动点坐标为（x，y）,主动点坐标为（x1，y1);
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误! (3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【变式探究】设F（1，0),M点在x轴上，P点在y轴上，且错误!＝2错误!，错误!⊥错误!，当点P在y轴上运动时,求点N 的轨迹方程．
解设M（x0，0），P（0，y0），N(x，y),
∵错误!⊥错误!,错误!＝(x0，－y0）,错误!＝（1，－y0），
∴(x0,－y0）·（1，－y0）＝0，∴x0＋y错误!＝0。

由错误!＝2错误!得(x－x0，y）＝2(－x0，y0），
∴错误!即错误!
∴－x＋错误!＝0,即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x。

1。

【2016高考山东理数】(本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=＞＞ 的离
心率是
3
2
，抛物线E ：2
2x
y =的焦
点F 是C 的一个顶点。

（I)求椭圆C 的方程；
(II ）设P 是E 上的动点,且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为
D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .
（i ）求证：点M 在定直线上;
（ii)直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，
PDM △的面积为2S ,求12
S S
的最大值及取得最大值时点P 的坐标。

【答案】(Ⅰ)142
2
=+y x ;(Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）1
2
S S
的最大
值为49
，此时点P 的坐标为)4
1,22(
【解析】
（Ⅰ）由题意知
2
3
22=
-a b a ，可得:b a 2=。

因为抛物线E 的焦点为)2
1,0(F ，所以2
1,1==b a ,
所以椭圆C 的方程为1422
=+y x
.
(Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2
,(2
>m m m P ，由y x 22=可得y'x =，
所以直线l 的斜率为m ，
因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即2
2
m mx y -=.
设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程2
22241m y mx x y ⎧=-
⎪⎨
⎪+=⎩
得014)14(4322
=-+-+m x m x m
，
由0∆>，得520+<<m 且14423
21+=+m m x x ，
因此14222
3
210+=+=m m x x x , 将其代入2
2
m mx y -
=得)
14(222
0+-
=m m y ，
因为m
x y
41
-
=,所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧
=-
=m
x x m y 41，得点M
的纵坐标为M
1
4
y
=-
， 即点M 在定直线4
1-=y 上.
（Ⅱ）由(Ⅰ）知直线l 方程为2
2
m mx y -
=，
令0=x 得22
m y -
=,所以)2
,0(2
m G -,
又21(,),(0,),22m P m F D ))
14(2,142(22
23+-+m m m m ，
所以)1(4
1
||2121
+==
m m m GF S
, )14(8)12(||||2122
202++=
-⋅=m m m x m PM S ，
所以2
22221)
12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122
+=m
t ，则
21
1)1)(12(2221++-=+-=t
t t t t S S , 当211=t ,即2=t 时，2
1
S S
取得最大值4
9，此时2
2
=m ,满足0∆>, 所以点P 的坐标为)41
,22(
，因此12
S S 的最大值为4
9，此时点P 的坐标为)4
1
,22(。

2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知直线:20l x y --=，抛物线2
:y
2(0)C px p =>
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q 。

①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --;
②求p 的取值范围.
【答案】（1）x y 82
=（2）①详见解析,②)3
4
,0(
【解析】
解：(1）抛物线2
:y
2(0)
C px p =>的焦点为(,0)2
p
由点(,0)2
p 在直线:20l x y --=上，得0202
p --=,即 4.p = 所以抛物线C 的方程为2
8.y
x =
因为0
(,)M x y 在直线l 上，所以0
2.x
p =-
因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --
②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-
由①知20p b +>,于是2(22)0p p +->，所以4.3
p <
因此p 的取值范围为4(0,).3
3。

【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：2
2y
x =的焦
点为F ，平行于x 轴的两条直线1
2
,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．
(I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；
（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的
轨迹方程。

【答案】(Ⅰ）见解析；（Ⅱ)2
1y
x =-．
【解析】由题设)0,2
1(F 。

设b y l
a y l ==:,:2
1
，则0≠ab ，且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---。

记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为
0)(2=++-ab y b a x .
.。

.。

3分
(Ⅰ）由于F 在线段AB 上,故01=+ab . 记AR 的斜率为1
k ，FQ 的斜率为2
k ，则
22
2111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=
， 所以AR FQ . .。

..。

.5分
1.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线2
4y x =相交
于A ，B 两点,与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为
线段AB 的中点。

若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是（ ）
(A ）()13， （B ）()14， (C ）()23， （D ）
()24，
【答案】D
【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设
11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2
11
222
44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得
121212()()4()y y y y x x +-=-。

由于12x x ≠，所以
1212
12
22y y y y x x +-⋅=-,即02ky =.
圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得0
0000
1,55
y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上。

将3x =代入2
4y
x =
得
2012,y y =∴-<<因为点
M 在圆()
()2
2250x y r r -+=>上，所
以22222000(5),412416x
y r r y -+==+<+=。

又2
044y +>（由于斜率不
204416,24y r <+<∴<<。

2。

【2015高考天津，理
6】已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>
的
一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线
2y =
的准线上，则双曲线的方程为（ )
（A ）22
12128
x y -=
（B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22
143
x y -=
【答案】D
【解析】双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>
的渐近线方程为
b
y x a
=±
，由点(
在渐近线上，所以b a
=,双曲线的一
个焦点在抛物线2
47y
x =准线方程7x =-上，所以7c =，
由此可解得2,3a b ==，所以双曲线方程为22
143
x y -=，故选
D 。

3.【2015高考浙江,理5】如图,设抛物线2
4y
x =的焦点为F ，
不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点
A ，
B 在抛物线上，点
C 在y 轴上,则BCF ∆与ACF ∆的面积之
比是（ ）
A.
11
BF AF -- B 。

2
2
11
BF AF -- C 。

11
BF AF ++ D 。

22
11
BF AF ++
【答案】A 。

【解析】
11
--=
==∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选
A 。

4。

【2015高考上海，理5】抛物线2
2y px =（0p >)上的动
点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．
【答案】2
【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到
准线的距离，即1, 2.2p p ==
1．(2014·广东卷）曲线y ＝e －5x ＋2在点（0，3）处的切线方程为________． 【答案】y ＝－5x ＋3
【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是:y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3。

2．（2014·辽宁卷）已知点A （－2，3）在抛物线C ：
y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切
于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A 。

错误! B 。

错误! C 。

错误! D.错误! 【答案】D
3．(2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若错误!＝4错误!,则｜QF |＝（ ） A.错误! B ．3
C。

错误!D．2
【答案】B
【解析】由题知F(2，0),设P（－2，t），Q（x0，y0），则FP＝（－4,t）,错误!＝（x0－2,y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2),解得x0＝1，根据抛物线定义得｜QF|＝x0＋2＝3.
4．（2014·安徽卷）如图1。

4,已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0）和E2：y2＝2p2x（p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1,A2两点,l2与E1，E2分别交于B1,B2两点．
图1。

4
(1）证明：A1B1∥A2B2；
（2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求
错误!的值．
【解析】解:（1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x（k1,k2≠0），
则由错误!得A1错误!，
由错误!得A 2错误!。

同理可得B 1错误!，B 2错误!。

所以错误!＝错误!＝2p 1错误!，
错误!
＝错误!＝2p 2错误!.
故错误!＝错误!错误!,所以A 1B 1∥A 2B 2
（2)由（1)知A 1B 1∥A 2B 2,同理可得B 1C 1∥B 2C 2，
C 1A 1∥C 2A 2,所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，
因此错误!＝错误!错误!。

又由（1）中的A 1B 1→＝错误!｜错误!｜知，错误!＝错误!， 故错误!＝错误!。

5．（2014·湖北卷)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点
F (1,0）的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2)设斜率为k 的直线l 过定点P （－2,1），求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．
【解析】解：（1）设点M （x ，y ），依题意得｜MF |＝｜
x ｜＋1，即（x －12＋y 2)＝|x |＋1，
化简整理得y 2＝2(｜x |＋x ）． 故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝错误!
（2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0）．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组错误!可得ky2－4y＋4(2k＋1）＝0.①
当k＝0时,y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝错误!.故此时直线l:y＝1与轨迹C恰好有一个公共点错误!.
当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0）,则由y－1＝k（x＋2）,令y＝0，得x0＝－错误!.③
（i)若错误!由②③解得k〈－1或k>错误!.
即当k∈(－∞，－1）∪错误!时,直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若错误!或错误!
由②③解得k∈错误!或－错误!≤k<0。

即当k∈错误!时，直线l与C1只有一个公共点．
当k∈错误!时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈错误!∪错误!时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
（iii)若错误!由②③解得－1〈k〈－错误!或0〈k〈错误!。

即当k∈错误!∪错误!时，直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈错误!∪错误!∪{0｝时，直线l与轨迹C 恰好有一个公共点;当k∈错误!∪错误!时，直线l与轨迹C 恰好有两个公共点；当k∈错误!∪错误!时，直线l与轨迹C 恰好有三个公共点．
6．（2014·湖南卷）如图1。

4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C,F两点,则错误!＝
________．
图1.4
【答案】1＋错误!
【解析】依题意可得C错误!，F错误!，代入抛物线方程得a ＝p，b2＝2a错误!，化简得b2－2ab－a2＝0，即错误!2－2错误!－1＝0，解得错误!＝1＋错误!.
7．（2014·全国卷）已知抛物线C:y2＝2px(p〉0)的焦点为F,直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且｜QF｜＝错误!|PQ｜.
（1)求C的方程；
（2)过F的直线l与C相交于A，B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点,且A,M,B，N四点在同一圆上，求l的方程．
【解析】解：（1）设Q(x0，4),代入y2＝2px,得x0＝错误!，所以｜PQ｜＝错误!，|QF|＝错误!＋x0＝错误!＋错误!.
由题设得错误!＋错误!＝错误!×错误!,解得p＝－2(舍去）或p ＝2,
所以C的方程为y2＝4x.
将上式代入y2＝4x,
并整理得y2＋错误!y－4(2m2＋3）＝0.
设M（x3，y3),N（x4，y4），
则y3＋y4＝－错误!,y3y4＝－4（2m2＋3）．
故线段MN的中点为E错误!,
|MN |＝错误!｜y 3－y 4|＝错误!.
由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ,M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE ｜＝|BE |＝错误!｜MN |, 从而1
4|AB ｜2＋｜DE ｜2＝错误!｜MN |2,即
4（m 2＋1)2＋错误!错误!＋错误!错误!＝
错误!
，
化简得m 2－1＝0,解得m ＝1或m ＝－1,
故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 8．（2014·新课标全国卷Ⅱ］ 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A 。

错误! B 。

错误! C.错误! D.错误! 【答案】D
【解析】抛物线的焦点为F 错误!，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝错误!错误!,即x ＝错误!y ＋错误!,代入抛物线方程得y 2－3 3y －错误!＝0.设A (x 1，y 1）,B （x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3
3，y 1y 2＝－9
4
，则S △OAB ＝错误!｜OF ||y 1
－y 2|＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
9．(2014·山东卷)已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线
l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D,且有|FA|＝|FD｜.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（1）求C的方程．
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E。

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在,请说明理由．
【解析】解：(1）由题意知F错误!.
设D（t，0）（t>0）,则FD的中点为错误!。

因为｜FA|＝｜FD｜，
由抛物线的定义知3＋p
2
＝错误!，
解得t＝3＋p或t＝－3（舍去)．
由错误!＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x。

（2)①证明:由（1)知F(1，0)．
设A（x0，y0）（x0y0≠0),D(x D,0）（x D〉0）．因为｜FA｜＝｜FD｜,则|x D－1｜＝x0＋1，由x D〉0得x D＝x0＋2,故D(x0＋2,0）．
故直线AB的斜率k AB＝－错误!。

因为直线l1和直线AB平行,
设直线l1的方程为y＝－错误!x＋b,
代入抛物线方程得y2＋错误!y－错误!＝0，
由题意Δ＝错误!＋错误!＝0，得b＝－错误!。

设E（x E,y E），则y E＝－错误!，x E＝错误!.
当y错误!≠4时，k AE＝错误!＝－错误!＝错误!,
可得直线AE的方程为y－y0＝错误!(x－x0)，
由y错误!＝4x0，
整理可得y＝错误!（x－1)，
直线AE恒过点F（1,0）．
当y20＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F（1，0）．所以直线AE过定点F（1,0）．
直线AB的方程为y－y0＝－错误!(x－x0），
由y0≠0，得x＝－2
y0y＋2＋x0。

代入抛物线方程得y2＋8
y0y－8－4x0＝0,
所以y 0＋y 1＝－错误!，
可求得y 1＝－y 0－错误!，x 1＝错误!＋x 0＋4.
所以点B 到直线AE 的距离为
d ＝错误!
＝错误!
＝4错误!，
则△ABE 的面积S ＝错误!×4错误!x 0＋错误!＋2≥16，
当且仅当错误!＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．
所以△ABE 的面积的最小值为16。

10．（2014·陕西卷）如图1.5所示，曲线C 由上半椭圆
C 1：y 2
a 2＋错误!＝1(a >
b >0,y ≥0）和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0）连接而成,C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为错误!。

(1）求a ,b 的值；
（2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．
图1.5
【解析】解:（1）在C 1,C 2的方程中，令y ＝0，可得b
＝1，且A（－1,0)，B(1，0）是上半椭圆C1的左、右顶点．
设C1的半焦距为c,由错误!＝错误!及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1。

（2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为y2
4
＋x2＝1
（y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k （x－1）(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
（k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0。

（＊)
设点P的坐标为(x P，y P）,
∵直线l过点B，∴x＝1是方程（*)的一个根．
由求根公式，得x P＝错误!，从而y P＝错误!，
∴点P的坐标为错误!。

同理,由错误!
得点Q的坐标为（－k－1，－k2－2k）．
∴错误!＝错误!(k，－4），错误!＝－k（1，k＋2)．
∵AP⊥AQ，
∴AP·AQ＝0，即错误!［k－4（k＋2）]＝0，
∵k≠0，
∴k－4(k＋2）＝0，解得k＝－错误!。

经检验，k ＝－错误!符合题意，
故直线l 的方程为y ＝－83
（x －1)． 方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0），比照方法一给分．
1.方程(2x ＋3y －1）（x －3－1)＝0表示的曲线是（ )
A.两条直线
B.两条射线
C 。

两条线段
D 。

一条直线和一条射线
解析 原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x ＋3y －1＝0（x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线。

答案 D
2.若方程x 2＋错误!＝1（a 是常数），则下列结论正确的是（ ）
A.任意实数a 方程表示椭圆
B.存在实数a 方程表示椭圆
C 。

任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线
解析 当a >0且a ≠1时,方程表示椭圆，故选B 。

答案B
3.设圆(x＋1）2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1
C.错误!－错误!＝1
D.错误!＋错误!＝1
解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝｜MQ|,∴｜MC|＋|MA｜＝｜MC|＋
|MQ|＝|CQ｜＝5,故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝错误!,∴c＝1，则b2＝a2－c2＝错误!，
∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

答案D
4.设点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且｜PA｜＝1，则点P的轨迹方程是（）
A。

y2＝2x B.（x－1）2＋y2＝4
C.y2＝－2x D。

（x－1）2＋y2＝2
解析如图,设P（x，y)，圆心为M（1，0），连接MA，则MA⊥PA，且｜MA|＝1，
又∵|PA｜＝1，
∴｜PM|＝错误!＝错误!，
即｜PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案D
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B（－1，3)，若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2错误!（O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( ）
A。

直线 B.椭圆
C。

圆D。

双曲线
解析设C（x,y),因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，
所以（x，y）＝λ1(3,1）＋λ2(－1，3）,即错误!
解得错误!又λ1＋λ2＝1，
所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案A
6。

已知两定点A（－2,0),B（1,0)，如果动点P满足｜PA|＝2｜PB｜,则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________。

解析设P(x,y)，由｜PA|＝2｜PB|,
得（x＋2）2＋y2＝2错误!，
∴3x2＋3y2－12x＝0,即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2,0）为圆心，半径为2的圆.
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案4π
7。

已知点A(1，0），直线l：y＝2x－4，点R是直线l 上的一点,若错误!＝错误!，则点P的轨迹方程为________。

8。

在△ABC中,|错误!｜＝4,△ABC的内切圆切BC于D 点，且|错误!｜－|错误!｜＝2错误!，则顶点A的轨迹方程为________.
解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点。

则｜BE|＝｜BD｜,｜CD｜＝｜CF|，
|AE|＝｜AF|.
∴｜AB|－|AC|＝2错误!＜｜BC|＝4，
∴点A的轨迹为以B,C的焦点的双曲线的右支（y≠0）且a＝错误!，c＝2,∴b＝错误!，
∴轨迹方程为错误!－错误!＝1(x＞错误!)。

答案错误!－错误!＝1(x＞错误!）
9.已知点C(1，0)，点A，B是⊙O:x2＋y2＝9上任意两个不同的点,且满足AC，→·错误!＝0，设P为弦AB的中点。

（1）求点P的轨迹T的方程;
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在,求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由。

(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px（p＞0)上，其中错误!＝1.
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组错误!得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，由x≥0，
故取x＝1,此时y＝±2.
故满足条件的点存在，其坐标为（1，－2）和（1，2）.。