八年级反比例函数与一次函数综合题型含答案

正比例函数与一次函数综合之五兆芳芳创作
一．选择题（共12小题）
1．已知正比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在正比例图象上的点辨别为M1，M2，M3…，Mn，则
=_________．
2．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与正比例函数y=的图象相交于A、C 两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）
A ．S=1 B
．
S=2 C
．
S=3 D
．
S的值不克不及
确定
3．如图，已知点A是一次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）
A ．B
．
C
．
D
．
4
4．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y 总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）
A ．2 B
．
C
．
D
．
5．如图，直线y=+3与双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）
A ．1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
6．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象相交于C、D两点，辨别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）
A ．2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
7．函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
②当x＞2时，y2＞y1；
③当x=1时，BC=3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）
A ．①③④B
．
①②③C
．
②③④D
．
①②③④
8．如图，已知一次函数y=x+1的图象与正比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）
A ．B
．
2C
．
4 D
．
5
9．正比例函数y=x与正比例函数的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（）
A ．2m B
．
2 C
．
m D
．
1
10．如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k＜0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q辨别向x轴作垂线，垂足辨别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1、△POE的面积为S2、△QOF 的面积为S3，则有（）
A ．S1＜S2＜S3 B
．
S3＜S1＜S2
C ．S3＜S2＜S1 D
．
S1、S2、S3的
大
小无法确定
11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A 作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的周长
为（）
A B 5 C D
．．．．
12．如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y 轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）
A ．8 B
．
6 C
．
4 D
．
2
二．解答题（共18小题）
13．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与正比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．
（1）辨别求正比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．
14．如图，一次函数y=x+1与正比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．
15．如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C （﹣4，0）．
（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；
（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．
16．如图，已知正比例函数（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且
tan∠AOC=2．
（1）求出正比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，正比例函数y1的值大于一次函数y2的值？
17．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与正比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A （1，m），B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负标的目的平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a 的值及交点M的坐标．
19．如图，一次函数y=ax+b的图象与正比例函数y=的图象交于M（﹣2，1），N（1，t）两点．
（1）求k、t的值．
（2）求一次函数的解析式．
（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．
20．如图，直线y=kx+b与正比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定正比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积．
21．已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出合适条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．
22．如图，正比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A （1，3），B（n，﹣1）．
（1）求正比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）按照图象，直接答复：当x取何值时，一次函数的值大于正比例函数的值；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）在正比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P组成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．
23．如图，已知正比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求
|AO|：|AC|的值；
（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．
24．阅读下面资料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个
图象辨别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．
25．（如图，已知正比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b （a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点辨别是A（﹣4，0），B（0，2）．
（1）求一次函数的关系式；
（2）正比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求正比例函数的关系式；
（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该正比例函数的图象上．
26．如图．已知A、B两点的坐标辨别为A（0，），B（2，0）．直线AB与正比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）求直线AB和正比例函数的解析式．
（2）求∠ACO的度数．
（3）将△OBC绕点O逆时针标的目的旋转α角（α为锐角），得到
△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，正比例函数y=的图象经过点（1，4），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．
（1）求正比例函数的关系式；
（2）直接写出菱形OABC的面积．
28．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC辨别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′辨别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
29．如图所示，直线y=kx+6与函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A
（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且与x轴、y轴辨别交于D、C两点．又AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．已知△COD的面积是△AOB面积的倍．
（1）求y1﹣y2的值．
（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图．
（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．
30．●探究：
（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点辨别为E，F．
①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为_________；
②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为_________；（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式暗示），并给出求解进程．
●归结：
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=
_________．（不必证明）
●运用：
在图中，一次函数y=x﹣2与正比例函数的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．
八年级正比例函数与一次函数综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（•内江）已知正比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在正比例图象上的点辨别为M1，M2，M3…，Mn，则
=．
考点：
正比例函数综合题．
阐发：
延长MnPn﹣1交M1P1于N，先按照正比例函数上点的坐标特点易求得M1的坐标为（1，1）；Mn的坐标为（n，）；然后按照三角形的面积公式得
=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn，而P1M2=P2M3=…=Pn﹣1Mn=1，则=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn ﹣1），经过平移得到面积的和为M1N，于是面积和等于（1﹣），然后通分便可．
解答：
解：延长MnPn﹣1交M1P1于N，如图，
∵当x=1时，y=1，
∴M1的坐标为（1，1）；
∵当x=n时，y=，
∴Mn的坐标为（n，）；
∴=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1）
=M1N
=（1﹣）
=．
故答案为．
点评：
本题考查了正比例函数综合题：点在正比例函数图象上，点的横纵坐标满足正比例函数的解析式；掌握三角形的面积公式．
2．（2000•天津）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与正比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）
A ．S=1 B
．
S=2 C
．
S=3 D
．
S的值不克不及
确定
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积．
专题：
数形结合．
阐发：
按照正比例函数y=kx（k＞0）与正比例函数y=的图象均关于原点对称，可求出A、C两点坐标的关系，设出两
点坐标再按照三角形的面积公式便可解答．
解答：
解：∵正比例函数y=kx（k＞0）与正比例函数y=的图象均关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，），则C点坐标为（﹣x，﹣），
∴S△AOB=OB•AB=x•=，
S△BOC=OB•|﹣|=|﹣x|•|﹣|=，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC=+=1．
故选A．
点评：
本题考查的是正比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关头是找出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标便可．
3．如图，已知点A是一次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）
A ．B
．
C
．
D
．
4
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题；两点间的距离公式；正比例函数系数k的几何意义．
专题：
代数几何综合题．
阐发：
先按照△AOB的面积求出k的值进而求出正比例函数的解析式，按照正比例函数与正比例函数有交点可求出A点坐标，利用两点间的距离公式可求出OC的长，由OA=OC可求出C点的坐标，再利用两点间的距离公式便可解答．
解答：
解：∵A点在正比例函数y=的图象上，
∴设A点的横坐标为x，则纵坐标为，
∵△AOB的面积为，即x•==，
∴k=，
∴此正比例函数的解析式为y=，
∵一次函数的图象与正比例函数y=的图象在第一象限内的交点，
∴x=，
∴x=1或x=﹣1（舍去），
∴A点坐标为（1，），
∴OA==2，
∵OA=OC，
∴C点坐标为（﹣2，0），
∴AC==2．
故选B．
点评：
本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点及两点之间的距离公式、用待定系数法求正比例函数的解析式、各象限内点的坐标特点，难度适中．
4．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y 总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）
A ．2 B
．
C
．
D
．
阐发：
辨别联立三个函数解析式，求交点坐标，再取最大值．
解答：
解：联立，解得或，
联立，解得，
联立，解得或，
∴当x≤﹣时，y1最小，其最大值为﹣，
当﹣＜x＜0时，y2最小，其最大值不存在，
当0＜x≤3﹣时，y1最小，其最大值为3﹣，
当3﹣＜x≤时，y1最小，其最大值为，
当＜x≤2时，y2最小，其最大值不存在，
当2＜x≤3+时，y2最小，其最大值不存在，
当x＞3+时，y3最小，其最大值不存在，
故选B．
点评：
本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题．关头是求各交点坐标，分段比较，确定最大值．
5．如图，直线y=+3与双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）
A ．1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
阐发：
首先按照直线y=+3可以求出 C的坐标，然后设B（x1，y1），D（x2，y2），由D是BC中点得到
2x2=x1+6 ①，
联立方程y=﹣x+3，y=，然后消去y得x2﹣3x+k=0，接着利用韦达定理可以得到 x1+x2=6②，x1x2=2k③，
联立它们便可求解．
解答：
解：∵直线y=+3，
∴当y=0时，x=6，
∴C（6，0），
设B（x1，y1），D（x2，y2），
∵D是BC中点，
那么 2x2=x1+6，
∴x1=2x2﹣6①，
联立方程y=﹣x+3，y=，然后消去y得
﹣x+3=，
∴x2﹣3x+k=0，
按照韦达定理
x1+x2=6②，
x1x2=2k③，
用①代入②3x2﹣6=6，
∴x2=4，
∴x1=2×4﹣6=2，
由③2k=x1x2=8，
那么k=4．
故选D．
点评：
此题主要考查了一次函数与正比例函数的交点坐标问题，同时也利用了中点坐标的公式，其中利用方程组和待定系数法确定函数的解析式，是经常使用的一种解题办法．同学们要熟练掌握这种办法．
6．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象相交于C、D两点，辨别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）
A ．2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
正比例函数与一次函数的交点问题；正比例函数系数k的几何意义；平行线的判定；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
阐发：
此题要按照正比例函数的性质进行求解，解决此题的关头是要证出CD∥EF，可从①问的面积相等入手；△DFE 中，以DF为底，OF为高，可得S△DFE=|xD|•|yD|=k，同理可求得△CEF的面积也是k，因此两者的面积相
等；若两个三角形都以EF为底，那么它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF，然后按照这个条件来逐一判断各选项的正误．
解答：
解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE=DF•OF=|xD|•||=k，
同理可得S△CEF=k，故⑤正确；
故S△DEF=S△CEF．故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件缺乏，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED，
同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，故④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
并且EF是公共边，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正确；
因此正确的结论有4个：①②④⑤．
故选C．
点评：
本题通过正比例函数的性质来证图形的面积相等，按照面积相等来证线段的平行或相等，设计巧妙，难度较大．
7．函数的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；
②当x＞2时，y2＞y1；
③当x=1时，BC=3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）
A ．①③④B
．
①②③C
．
②③④D
．
①②③④
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
阐发：
正比例函数与一次函数的交点问题．运用一次函数和正比例函数的性质来解决的一道罕有的数形结合的函数试题．一次函数和正比例函数的交点坐标就是一次函数与正比例函数组成的方程组的解．按照k＞0确定一次函数和正比例函数在第一象限的图象特征来确定其增减性；按照x=1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；当x=2时两个函数的函数值相等时按照图象求得x＞2时y1＞y2．
解答：
解：①由一次函数与正比例函数的解析式，
解得，，
∴A（2，2），故①正确；
②由图象得x＞2时，y1＞y2；故②错误；
③当x=1时，B（1，3），C（1，1），∴BC=3，故③正确；
④一次函数是增函数，y随x的增大而增大，正比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确．
∴①③④正确．
故选A．
点评：
本题主要是考学生对两个函数图象性质的理解．这是一道罕有的一次函数与正比例函数结合的一道数形结合题目，需要学生充分掌握一次函数和正比例函数的图象特征．理解一次函数和正比例函数的交点坐标就是一次函数与正比例函数组成的方程组的解．
8．如图，已知一次函数y=x+1的图象与正比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）
A ．B
．
2C
．
4 D
．
5
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
专题：
计较题；数形结合；待定系数法．
阐发：
首先可以按照△AOB的面积为1求出k的值，然后联立y=x+1可以求出A的坐标，也可以按照一次函数的解析式求出C的坐标，接着利用勾股定理便可求出AC的长．
解答：
解：设A的坐标为（x，y），
∴xy=k，
又∵△AOB的面积为1，
∴xy=k，
∴k=2，
∴y=，
当y=0时，y=x+1=0，
∴x=﹣1，
∴C的坐标为（﹣1，0），
而A的坐标满足方程组，
解之得x=﹣2或x=1，而A在第一象限，
∴A的横坐标为x=1，纵坐标为y=x+1=2，
∴AC==2．
故选B．
点评：
本题主要考查了待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式和正比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．正比例函数y=x与正比例函数的图象相交于A、C两点，
AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为
（）
A ．2m B
．
2 C
．
m D
．
1
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
专题：
计较题．
阐发：
先解方程组得到A（，），C（﹣，﹣），则OB=OD=，AB=CD=，得到四边形ABCD
的面积=2S△ADB=2•••2=2m．
解答：
解：解方程组得，
或，
∴A（，），C（﹣，﹣），
而AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴OB=OD=，AB=CD=，
∴四边形ABCD的面积=2S△ADB=2•••2=2m．
故选A．
点评：
本题考查了求直线与正比例函数图象的交点坐标：解两个解析式所组成的方程组便可；也考查了三角形的面积公式．
10．如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k＜0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q辨别向x轴作垂线，垂足辨别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1、△POE的面积为S2、△QOF 的面积为S3，则有（）
A ．S1＜S2＜S3 B
．
S3＜S1＜S2
C ．S3＜S2＜S1 D
．
S1、S2、S3的
大小关系无法
确定
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
阐发：
由于点A在y=上，可知S△AOD=，又由于点P在双曲线的上方，可知S△POE＞，而Q在双曲线的下方，可得S△QOF＜，进而可比较三个三角形面积的大小．
解答：
解：如右图，
∵点A在y=上，
∴S△AOD=，
∵点P在双曲线的上方，
∴S△POE＞，
∵Q在双曲线的下方，
∴S△QOF＜，
∴S3＜S1＜S2．
故选B．
11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A 作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的周长为（）
A ．B
．
5 C
．
D
．
阐发：
易得点A的坐标，按照等角对等边可得AB=OB，那么△ABC的周长为AC与OC之和．
解答：
解：，
解得或，
由图可得点A坐标为（3，2），
∵∠OAB=∠AOX，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=AC+OC=5，
故选B．
点评：
考查一次函数与正比例函数交点问题；得到△ABC的周长的关系式是解决本题的关头．
12．如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y 轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）
A ．8 B
．
6 C
．
4 D
．
2
阐发：
先求出A、B的坐标，便可利用三角形的面积公式求出△BOC的面积．
解答：
解：把y=x与y=组成方程组得，
，
解得，．
∴A（2，2），B（﹣2，﹣2），
∴S△COB=CO•BF=×2×2=2．
故选D．
点评：
本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，求出函数图象的交点坐标是解题的关头．
二．解答题（共18小题）
13．（•云南）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与正比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）辨别求正比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC的面积．
正比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求正比例函数解析式；三角形的面积．
阐发：
（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；正比例函数解析式为y2=（a≠0），将A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得到方程组，求出便可；将A（2，1）代入y2得出关于a的方程，求出便可；
（2）求出C的坐标，按照三角形的面积公式求出便可．
解答：
解：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；正比例函数解析式为y2=（a≠0），
∵将A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得：，
∴，
∴y1=x﹣1；
∵将A（2，1）代入y2得：a=2，
∴；
答：正比例函数的解析式是y2=，一次函数的解析式是y1=x﹣1．
（2）∵y1=x﹣1，
当y1=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1，
∴S△AOC=×1×1=．
答：△AOC的面积为．
点评：
本题考查了对一次函数与正比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式的应
14．（•雅安）如图，一次函数y=x+1与正比例函数的图象相交于点A （2，3）和点B．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．
计较题．
阐发：
（1）将A的坐标代入正比例函数解析式中，求出k的值，便可确定出正比例函数解析式；
（2）将正比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，按照B所在的象限便可得到B的坐标；
（3）三角形ABC的面积可以由BC为底边，A横坐标绝对值与B横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出便可．
解答：
解：（1）将A点坐标代入正比例函数y=，得k=6，
故正比例函数的解析式为y=；
（2）由题意将两函数解析式联立方程组得：，
消去y得：x（x+1）=6，即x2+x﹣6=0，
分化因式得：（x+3）（x﹣2）=0，
解得：x1=﹣3，x2=2，
∴B点坐标为（﹣3，﹣2）；
③在△ABC中，以BC为底边，高为|2|+|（﹣3）|=5，
则S△ABC=×2×5=5．
点评：
此题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分化法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想办法，学生做题时注意灵活运用．
15．（•贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．
（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；
（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．
（1）求出B的横坐标，代入y=x求出y，便可得出B的坐标，把B的坐标代入y=求出y=，解方程组
便可得出A的坐标；
（2）设OE=x，OD=y，由三角形的面积公式得出xy﹣y•1=10，x•4=10，求出x、y，便可得出OD=5，求出OC，相加便可．
解答：
解：（1）∵BC⊥x，C（﹣4，0），
∴B的横坐标是﹣4，代入y=x得：y=﹣1，
∴B的坐标是（﹣4，﹣1），
∵把B的坐标代入y=得：k=4，
∴y=，
∵解方程组得：，，
∴A的坐标是（4，1），
即A（4，1），B（﹣4，﹣1），正比例函数的解析式是y=．
（2）设OE=x，OD=y，
由三角形的面积公式得：xy﹣y•1=10，x•4=10，
解得：x=5，y=5，
即OD=5，
∵OC=|﹣4|=4，∴CD的值是4+5=9．
16．（•烟台）如图，已知正比例函数（k1＞0）与一次函数
y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求出正比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，正比例函数y1的值大于一次函数y2的值？
（1）设OC=m．按照已知条件得，AC=2，则得出A点的坐标，从而得出正比例函数的解析式和一次函数的表达式；
（2）易得出点B的坐标，正比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方时，即y1大于y2．
解答：
解：（1）在Rt△OAC中，设OC=m．
∵tan∠AOC==2，
∴AC=2×OC=2m．
∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1，
∴m2=1．
∴m=1，m=﹣1（舍去）．
∴m=1，
∴A点的坐标为（1，2）．
把A点的坐标代入中，得k1=2．
∴正比例函数的表达式为．
把A点的坐标代入y2=k2x+1中，得k2+1=2，
∴k2=1．
∴一次函数的表达式y2=x+1；
（2）B点的坐标为（﹣2，﹣1）．
当0＜x＜1或x＜﹣2时，y1＞y2．
点评：
本题考查了一次函数和正比例函数的交点问题，以及用待定系数法求二次函数的解析式，是根本知识要熟练掌握．
17．（•泰安）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与正比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM 的面积为2．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
探究型．
阐发：
（1）按照一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入
y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上便可求出k2的值，进而求出其正比例函数的解析式；
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
解答：
解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
∴，
∴
∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线上，
∴，
∴k2=12
∴正比例函数的表达式为
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）
18．（•泸州）如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负标的目的平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a 的值及交点M的坐标．
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
专题：
函数思想．
阐发：
（1）将点A（1，m），B（n，2）代入正比例函数的解析式，求得m、n的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；
（2）按照题意，写出一次函数变更后的新的图象的解析式，然后按照根的判别式求得a值．最后将a值代入其中，求得M的坐标便可．
解答：
解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在正比例函数的图象上，
∴，
解得，；
∴一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点．
∴，
解得，，
∴一次函数的解析式是y=﹣2x+8；
（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负标的目的平移a（a＞0）个单位长度得到新图象的解析式是：y=﹣2（x+a）+8．
按照题意，得，
∴x2+（a﹣4）x+3=0；
∴这个新图象与函数的图象只有一个交点，
∴△=（a﹣4）2﹣12=0，
解得，a=4±2；
①当a=4﹣2时，
解方程组，得
，
∴M（，2）；
②当a=4+2时，
解方程组，得
∴M（﹣，﹣2）．
∵M点在第一象限，故x＞0，
x=﹣不合适题意，舍去，
综上所述，a=4﹣2，M（，2）．
点评：
本题主要考查了正比例函数与一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是经常使用的一种解题办法．同学们要熟练掌握这种办法．
19．（•雅安）如图，一次函数y=ax+b的图象与正比例函数y=的图象交于
M（﹣2，1），N（1，t）两点．
（1）求k、t的值．
（2）求一次函数的解析式．
（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．
考点：
正比例函数与一次函数的交点问题．
专题：
数形结合．
阐发：
（1）把点M的坐标代入正比例函数表达式计较便可求出k的值，从而得到正比例函数解析式，再把点N的坐标代入正比例函数解析式计较便可求出t的值；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式列式计较便可得解；
（3）设一次函数与x轴的交点为B，求出点B的坐标，然后求出AB的长度，然后按照
S△AMN=S△ABM+S△ABN，列式计较便可得解．
解答：
解：（1）∵点M（﹣2，1）在函数y=的图象上，
∴=1，
解得k=﹣2，
∴正比例函数解析式为y=﹣，
又∵点N（1，t）在函数y=的图象上，
∴﹣=t，
解得t=﹣2；
（2）∵一次函数y=ax+b的图象经过点M（﹣2，1），N（1，﹣2），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1；
（3）如图，设一次函数图象与x轴的交点为B，
当y=0时，﹣x﹣1=0，
解得x=﹣1，∴点B坐标为（﹣1，0），∴AB=2﹣（﹣1）=2+1=3，
∴S△AMN=S△ABM+S△ABN，
=×3×1+×3×2，
=+3，
=．
点评：
本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，以及三角形的面积的求解办法，先求出正比例函数解析式然后求出点N的坐标是解题的关头，也是本题的突破口．。