数学上册三角函数的零点与像练习题

数学上册三角函数的零点与像练习题
一、简答题
1. 什么是三角函数的零点？
三角函数的零点是指使得三角函数取值为0的实数点。

对于正弦函
数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等三角函数，零点的集
合分别是[2kπ, (2k+1)π]、[(2k-1)π/2, (2k+1)π/2]和[kπ, (k+1)π]，其中k为整数。

2. 什么是三角函数的像？
三角函数的像是指三角函数在定义域中取得的所有实数值的集合。

对于正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等三角函数，它们的像分别是[-1, 1]、[-1, 1]和实数集。

二、计算题
1. 计算sin(π/3)的值。

根据正弦函数的定义，sin(π/3) = √3/2。

2. 计算cos(π/4)的值。

根据余弦函数的定义，cos(π/4) = √2/2。

3. 计算tan(π/6)的值。

根据正切函数的定义，tan(π/6) = sin(π/6) / cos(π/6) = (√3/2) /(√3/2) = 1。

4. 求解sin(x) = 0的解。

根据正弦函数的性质，sin(x) = 0的解为x = kπ，其中k为整数。

5. 求解cos(x) = 1的解。

根据余弦函数的性质，cos(x) = 1的解为x = 2kπ，其中k为整数。

6. 求解tan(x) = √3的解。

根据正切函数的性质，tan(x) = √3的解为x = π/3 + kπ，其中k为整数。

三、证明题
证明sin(π/6) = 1/2。

根据角度的减法公式sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)，可以得到sin(π/3 - π/6) = sin(π/3)cos(π/6) - cos(π/3)sin(π/6)。

化简得到sin(π/6) = 1/2。

四、解答题
1. 证明sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

根据三角函数的基本关系sin^2(x) + cos^2(x) = 1证明如下：
由正弦函数的定义sin(x) = o/h，其中o为对边，h为斜边。

由勾股
定理可知h^2 = o^2 + a^2，将o/h代入得sin^2(x) + cos^2(x) = o^2/h^2 + a^2/h^2，即sin^2(x) + cos^2(x) = o^2 + a^2 / o^2 + a^2 = (o^2 + a^2) /
(o^2 + a^2) = 1。

2. 证明sin(π/4) = cos(π/4)。

根据正弦函数与余弦函数的定义，sin(π/4) = √2/2，cos(π/4) = √2/2。

通过对比可以发现它们的值相等。

通过以上的练习题，我们可以更加熟练地掌握三角函数的零点和像的计算方法，也加深了对于三角函数的理解和运用。

熟能生巧，希望大家能够多做练习，提高自己的数学水平。