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拉丁超立方抽样
从蒙特卡罗误差估计中，我们可以看到，大多数统计量的估计值的敛散性都与亠有关。

特别的，对y/N 于均值的估计量，我们发现：
而问题在于厶是否能被改善。

值得注意的是蒙特卡y/N 罗方法的一个主要优点就是他的敛散性依赖于独立的随机参数个数，而接下来我们将要看到的是一种完全不同的抽样方式：拉丁超立方抽样（LHS）。

但首先，我们要先了解一下分层抽样的相关内容。

分层抽样
我们考虑一维的单个变量输入问题：y = f（x）, x 是一个随机变量。

分层抽样通过如下的步骤来进行：
1）定义参与计算机运行的抽样数目M
2）将x等概率地分成若干个区域——"bin”，
x o<x l<x2<xy<x…<x n+l■■-<x N
使得P（x n<x<x n+1） = l:
3）样本一次落入哪一个bin屮取决丁•该bin的概率密
度函数，样本0使得且概率为
P （兀邸 VXV£）
此时，均值的估计量可表示为:
N W-刃2
7?=1 等等 分层抽样的谋岸估计
我们只考虑均值y 的标准误差，有： 这里，同等于第i 个bin 中y 的均值。

（再_] ） 等式右边第一项同蒙特卡罗方法的标准误差一样，第 一项为附加项，它使方差变小。

所以，较之基于随机 抽样的蒙特卡罗方法，分层抽样降低了误差的方差。

多维分层抽样
对于有多个随机变量的输入，分层抽样需要 将输入的样本空间等概率地化为N 个区域，而这操作 起来
S,
1 N — 1
是很困难的。

（注意：仅仅在每一维上等概划分是不行的）考虑一个二维的情形：
2 bins
2 bins
假设珀，勺是均匀分布的（即二向同性的），则有：N =2x2 = 4 bins
对于一般N”个bins,考虑一个d维输入问题，我们发现有：
N=（Nj
举个例子，对于8维输入且每维上有2个bins,
N = 2S= 256 bins
或者，每维有3个bins,
TV =38 =6561 bins
显然，抽样数目随着每维bins的数目的增加而迅速增加。

拉丁超立方抽样
拉丁超立方抽样是另一种多维分层抽样方法，下面我们介绍它的工作原理：
1）定义参与计算机运行的抽样数目M
x iO<x il<x i2<x i3---<x in
2）把每一次输入等概率地分成N列，
且有 P （X <x<x +1） = -^
3）对每一列仅抽取一个样本，各列中样本bin 的位置 是随机的。

相对于单纯的分层抽样，拉丁超立方抽样的最大优势 就
在于任何大小的抽样数目都能容易地产生。

至于估计均值，通常的做法是：
_ 1 N
y 和孚的
一般情况下，这种估计的标准误差不能认为是对标准 蒙特卡洛抽样方法的改进。

但实际上，拉丁超立方抽 样对均值和方差的估计和蒙特卡罗方法相比，在效果 上至少是一样的，且常常会显著改善。

问题:因为拉丁超立方抽样标准误差的理论估计并不 是''贴紧”的，（例如：实际的均值远好于由误差估计 得到的值），边界必然是很悲观的。

尽管一般来讲误差 估计对于拉丁超立方抽样不是很理想，但有个特别的 N = 4个样本 的2维问题
X. k 丄 *«*
i.，亢U &二耳芒
《AJ ）/
例子表明拉丁超立方抽样较Z 蒙特卡罗方法有潜在的 改进。

我们来看看这个例子：
假设y 是关于输入变量的线性函数y 土小分别利
/=1
用蒙特卡罗抽样和拉丁超立方抽样方法，再对均值进 行估计，结果都是：y =》£/（*）
而标准误差分别是：
拉丁超立方抽样的标准误差 1
------------------------ = ---
蒙特卡洛抽样的标准课差 N 2 我们可以看到，拉丁超立方抽样对样本数量的节省非 常显著。

因此，对丁•输出结果能用一个线性函数很好的逼 近的情况下，我们认为拉丁超立方抽样比蒙特卡洛抽 样更好。

MC
：
LHS。