2016-2017学年广西南宁二中高一下学期期末考试数学试题(理)

广西南宁二中2016-2017学年高一下学期期末考试
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线013=+-y x 的倾斜角为（） A ．
π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π6
2.在等差数列}{n a 中，95=a ，且6223+=a a ，则1a 等于（） A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1
3.已知c b a >>且0=++c b a ，则下列不等式恒成立的是（）
A ．222c b a >>
B ．b c b a >
C ．bc ac >
D ．ac ab > 4.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题中错误的是（） A ．若αα//,n m ⊥，则n m ⊥ B ．若α//,//n n m ，则α//m C. 若β⊥n n m ,//，则βα⊥
D ．若βαβα//,//,//,//,n n m m A n m = ，则βα//
5.在ABC ∆中，角C B ,所对的边分边为c b ,，已知︒===60,20,40C c b ，则此三角形的解的情况是（）
A ．有一解
B ．有两解 C.无解 D ．有解但解的个数不确定 6.若直线kx y =与圆1)2(2
2
=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为（）
A ．4,21-==
b k B ．4,21
=-=b k C.4,21==b k D ．4,2
1
-=-=b k
7.已知向量与的夹角为︒12032==，若+=λ，且
0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为（）
A ．
73 B ．7
12
C. 6 D ．13 8.已知某个几何体的三视图如下图所示（单位：cm ）可得这个几何体的表面积是（）
A ．
34000cm 3 B ．3
8000cm 3
C. 38000cm D ．34000cm 9.从原点O 引圆1)2()(2
2
2
+=-+-m y m x 的切线为kx y =，当m 变化时切点P 的轨迹方程是（） A ．22
2
=+y x
B ．3)1(2
2=+-y x
C.1)1()1(2
2
=-+-y x D ．32
2
=+y x 10.已知正实数y x ,满足3=+y x ，则
y
x 1
4+的最小值（） A ．2 B ．3 C.4 D ．310 11.已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆4
1
)2(22=
+-y x 上的动点，则PM PN -的最大值是（）
A ．15-
B ．2 C.3 D ．5
12.如图是棱长为4的正方体，点B 为棱的中点，若三棱锥ABC D -的四个顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是（）
A ．36π
B ．48π C.56π D ．64π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 23+=的最小值为．
14.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若βγβα//,//，则γα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若αβα⊂l ,//，则β//l ④若,//,,,γαγγββαl n m l === ，则.//n m 其中正确结论的编号为．（请写出所有正确的编号） 15.已知向量),4
cos ,4(cos ),1,4sin
3(2x x n x m ==
若n m ⊥，则π
cos()3x +的值为．
16.如图，正四面体ABC P -中，E D ,分别是AB 及PC 的中点，则直线AE 与PD 所成的角的余弦值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分10分）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23= （1）求角C 的大小； （2）若7=c ，且ABC ∆的面积为
2
3
3，求b a +的值.
18. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为111
,,21(2,).2
n n n S a S S n n -=
=+≥∈N*
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记12
log ()n n b a n =∈N*，求⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n n b b 的前n 项和.n T
19.（本题满分12分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是直角梯形，
⊥PA AB DC ,//底面ABCD ，M AB DC AD PA ,2
1
=
==为PC 的中点，N 点在AB 上，且NB AN 3
1
=
.
（1）证明：//MN 平面PAD ； （2）求直线MN 与平面PBC 所成的角.
20. （本题满分12分）已知曲线042:2
2
=+--+m y x y x C
（1）若1=m ，过点)3,2(-的直线l 交曲线C 于N M ,两点，且32=MN ，求直线l 的方程；
（2）若曲线C 表示圆，且直线01=--y x 与圆C 交于B A ,两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.
21. （本题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，平面⊥11ACC A 平面ABC ，
,3,30,21=︒=∠==AA ACB BC AB E C A BC ,11⊥为AC 的中点.
(1)求证：⊥C A 1平面EB C 1； (2)求二面角C AB A --1的余弦值.
22.（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和2
24()n n S n +=-∈N*，函数)(x f 对一切
实数x 总有1)1()(=-+x f x f ，数列}{n b 满足).1()1
()2()1()0(f n
n f n f n f f b n +-++++=
（1）分别求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；
（2）若数列}{n c 满足n n n b a c ⋅=，n T 数列}{n c 的前n 项和，若存在正实数k ，使不等式
n n a n T n n k 226)369(>+-对于一切的n ∈N*恒成立，求k 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1-5:B A D B C 6-10:A B B D B 11-12：B C 二、填空题
13. 1 14.①③④ 15.21 16.3
2 三、解答题
17.解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝
32
. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π
3
.
(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为33
2，
∴12ab sin π3＝33
2
，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π
3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②
由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及11
2
a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得21
4
a =
. 又由121n n S S -=+，① 可知121+=+n n S S ，② ②-①得12n n a a +=，即)2(2
1
1≥=+n a a n n .且1n =时，2112a a =适合上式，
因此数列{}n a 是以
12为首项，公比为12的等比数列，故1
2
n n a =()n ∈*N . （2）由（1）及12log n n b a =()n ∈*N ，可知121log 2n
n b n ⎛⎫
== ⎪⎝
⎭，
所以
()11111
11n n b b n n n n +==-++， 故223
1111n n n n T b b b b b b +=
+++
=1111
112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
1=111
n
n n -
=
++. 19.解：（I ）过点M 作CD ME //交PD 于E 点，连结AE ，
EM DC AB AN NB AN ===∴=
2
1
41,31 , 又AN EM AB DC EM //////∴AEMN ∴为平行四边形,
//,//MN AE MN ∴平面PAD .
（II ）过N 点作AP NQ //交BP 于点Q ，CB NF ⊥于点F , 连结QF ,过N 点作QF NH ⊥于H ，连结MH
易知⊥QN 面,,BC QN ABCD ⊥∴而⊥∴⊥BC BC NF ,面QNF ,,NH BC ⊥∴ 而⊥∴⊥NH QF NH ,面PBC ,NMH ∠∴为直线MN 与平面PCB 所成角，
通过计算可得24
3,43,22===
=NF QN AE MN ， 46
22=+⋅=⋅=
∴NF
QN NF QN QF NF QN NH ，
60,2
3sin =∠∴==
∠∴NMH MN NH NMH ， ∴直线MN 与平面PCB 所成角为 60.
20.解：(1) 当1=m 时, 曲线C 是以)2,1(C 为圆心,2为半径的圆, 若直线l 的斜率不存在,显然不符，
故可直线l 为:)2(3+=-x k y ，即032=++-k y kx ． 由题意知，圆心)2,1(C 到直线l 的距离等于1)3(22
2
=-， 即:
11
3
222
=+++-k k k
解得0=k 或43-
=k .故的方程3=y 或2
3
43+-=x y (即0643=-+y x ) (2)由曲线C 表示圆2
2
240x y x y m +--+=，即2
2
(1)(2)5x y m -+-=-， 所以圆心C （1,2）
，半径r =，则必有5<m
.
假设存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，则OA OB ⊥，设1122(,),(,)A x y B x y ，
则12120x x y y +=，由22240
10
x y x y m x y ⎧+--+=⎨--=⎩得22850x x m -++=
648(5)2480m m ∴∆=-+=->，即3m <，又5m <，
故3m <,从而12125
4,
2
m x x x x ++==
1212121251
(1)(1)()1322
m m y y x x x x x x +-∴=--=-++=-=
121251
2022
m m x x y y m +-∴+=
+=+= 23m ∴=-<, 故存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，2m =-．
21.（1）证明：∵BA BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，
平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥平面11A ACC ，又1
AC ⊂平面11A ACC ，∴1BE A C ⊥．又11BC AC ⊥,1BE BC B ⋂=，∴1A C ⊥面1C EB ． （2）解：设H E C C A =11 ,由1A C ⊥1C E ，
则2221111A H C H A C +=,2
12
12CC H C CH =+
从而求得:1=CH ,故311==A A C A ,故1A E AC ⊥， 由面11A ACC ⊥面ABC ，则1A E ⊥面ABC ，过E 作
EF AB ⊥于F ，连1A F ，则1A FE ∠为二面角1A AB C --的平面角，
由平面几何知识易得EF =
1A F =
111cos 3AE A FE A F ∠=
==．
22.解：（1）12111,
244n a S +===-=
()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=
1n =时满足上式，故
()1
2n n a n +=∈*
N
∵()(1)f x f x +-=1∴ ∵12(0)()()n b f f f n n
=+++1
()(1)n f f n -++①
∴12
(1)()()n n n b f f f n n
--=+++(1)(0)f f ++②
∴①+②，得1
212
n n n b n b +=+∴=
（2）
n n n c a b =⋅(1)2n n c n ∴=+⋅
123223242(1)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①
2n T =2341223242(1)2n n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅②
①-②得231
422(1)2n n T n +-=+++⋅⋅⋅-+⋅ 即1
2n n T n +=⋅
由n n a n T n n k 2
26)369(>+-恒成立,2
6936
n k n n ∴>
-+对于一切的n ∈*
N 恒成立, 即6
369
k n n >
+- 令6()369g n n n =+-,
则6()2369g n n n
=
≤=+- 当且仅当6n =时等号成立,故max ()2g n = 所以2k >为所求.
11
()()1n f f n
n
-+=。