2017_18学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.2.2等差数列前n项和的性质课件
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13× (13-1) S13=13×25+ × 2
(−2) = 169.
解法三:先求出d=-2(同解法一). 由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0. 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0. 故当n=13时,Sn取得最大值169.
解法一:由 S17=S9,得 25×17+ 解得d=-2, 所以 Sn=25n+
������(������-1) × 2
17× ( 17- 1) ������ 2
= 25 × 9 +
9× ( 9- 1) ������, 2
(−2) = −(������ − 13)2 + 169.
由二次函数性质,得当 n=13 时 ,Sn 取得最大值 169.
题型一
题型二
题型三
(2)解法一 :由 S12>0,S13<0 可知 {an}为一个递减数列 . 因此 ,在 1≤n≤12 中 ,必存在一个自然数 n,使得 an≥0,an+1<0, 此时对应的 Sn 就是 S1,S2,…中的最大值 . ������ = 6(������6 + ������7 ) > 0, ∵ 12 ������13 = 13������7 < 0, ∴a7<0,a6> 0.∴S6 最大 . 解法二 :∵{an}是递减数列 ,∴d<0,
Sn=n·2
������������ +������������ 2
2
+1
������
,
������ ������
奇 偶
=
2 . ������������ +1 2
������������
【做一做1】 已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶 数项之和为30,则其公差d为( ). A.5 B.4 C.3 D.2 解析:解法一:由题意得,S偶-S奇=5d=15,所以d=3.
题型一
题型二
题型三
正解:解法一:取特殊值m=1, ∴Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100, 则S3m=S3=a1+a2+a3=3a2=3(S2-S1)=210. 解法二:由题意可知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴S3m-S2m=(S2m-Sm)×2-Sm=(100-30)×2-30=110. ∴S3m=S2m+110=100+110=210. 答案:C
题型一
题型二
题型三
反思在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项ai,使 这一项及它前面的各项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负 (正)值,则从第1项起到该项的和为最大(小)值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围. (2)该数列前几项的和最大?请说明理由. 解:(1)∵a3=12,S12>0,S13<0, ������1 + 2������ = 12,
12 , ������������ = ������3 + (������-3)������ ≥ 0, ������ ∴ 解得 12 ������������ +1 = ������3 + (������-2)������ < 0, ������ > 2- . ������ 24 12 12 由 − < ������ < −3, 可得n≤3− < 3 + = 7 ������ 3
12 × 11 12������1 + ������ > 0, ∴ 2 13 × 12 13������1 + ������ < 0, 2
������1 + 2������ = 12, 24 整理得 12������1 + 66������ > 0,解得 − < ������ < −3. 7 13������1 + 78������ < 0,
解得 S 偶=78,S 奇 =66.
∵项数为 12,∴S 偶 -S 奇=6d.∴d=12Fra bibliotek6= 2.
题型一
题型二
题型三
题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例2】 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值. 分析:建立Sn关于n的二次函数式,利用二次函数求最大值;也可确 定an≥0,an+1≤0时n的值,从而确定Sn的最大值.
90(������11+������100) 2
=
90(������1 +������110) . 2
题型一
题型二
题型三
解法五:∵{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,
∴ 是等差数列. ∵S10=100,S100=10, ∴
������������ ������
������������ 的公差 D= = ������ 90 100-10 ������110 ������ ∴ 110 = 10+(110-10)· D. 10 ������110 11 ∴ 110 =10+100× =-1. 100
题型一
题型二
题型三
(2)解法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn, 则 Sn=na1+
������(������-1) d. 2 10×9 ������ = 100, 2 由已知得 100×99 100������1 + ������ = 10. 2 11 ①×10-②整理得 d=-50, 1 099 代入①,得 a1= , 100 110×109 ∴S110=110a1+ 2 d 1 099 110×109 11 =110× + × 100 2 50 1 099-109×11 =110× 100
D=-22,
∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22) =-120. ∴S110=-110. 解法四:S100-S10=a11+a12+…+a100 =
∵S100-S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2. ∴S110=
110(������1 +������110) =-110. 2
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
题型二
题型三
解法三:数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列. 设其公差为 D,前 10 项的和为
10×9 10S10+ · D=S100=10,解得 2
解析: ∵公差 d=
2������-13 ≤ 0, ������������ ≤ 0, 由 得 ������������ +1 ≥ 0, 2������-11 ≥ 0, ∴5.5≤n≤6.5. 又n∈N+,∴n=6. 答案:6
-5+11 =2,∴an=2n-13,n∈N+. 3
题型一
题型二
题型三
题型一 等差数列前n项和的性质 【例1】 (1)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和 为33,求这个数列的中间项及项数. (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110 项之和. 分析:(1)考查等差数列奇数项、偶数项、特殊项和项数之间的关 系. (2)本题基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,求Sn再求S110,或利用性 质.
第2课时
等差数列前n项和的性质
1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的性质,并能熟练运用这些性 质解题. 2.掌握等差数列与函数之间的关系.
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
������100 ������10 100 - 10
1 10-10
=-
11 . 100
∴S110=-110.
反思若{an}是等差数列,Sn是前n项和,则 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列;
(2)
������������ ������
是等差数列.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知等差数列{an}共有12项,且前12项的和为144, 其中偶数项的和比奇数项的和大12,求S奇、S偶及公差d. ������奇 + ������偶 = 144, 解 :由题意,得 ������偶 -������奇 = 12,
题型一
题型二
题型三
解:(1)设等差数列{an}共有2n-1项,则奇数项有n项,偶数项共有n-1 项,中间项为an. ������奇 ������ 44 ∴ = = , ∴ ������ = 4. ������偶 ������- 1 33 S奇-S偶=an=44-33,∴an=11. ∴这个数列{an}的中间项为11,项数为7.
(2)函数法:把 Sn=na1+
������( ������- 1) ������视为关于������的二次函数, 2
利用二次函数的知识来求最值, 但必须注意到������ ∈N+.
【做一做2-1】 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n 项和Sn取得最大值的自然数n是 . 解析:∵|a3|=|a9|,且d<0, ∴a3=-a9.∴a3+a9=0,即a6=0. ∴使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6. 答案:5或6 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,若a1=-11,a4=-5,则当前n项和 Sn取最小值时,n= .
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
解法二:解方程组 5������1 + 20������ = 15, 得d=3.故选 C. 5������2 + 20������ = 30,
答案:C
2.等差数列{an}的前n项和Sn的最值 首先要明确,此类问题一定是针对变号的等差数列而言.因为当 公差d≠0时,等差数列一定是单调数列,所以只有一个变号点. 常用方法如下: (1)定义法:Sn=a1+a2+…+an. 从等差数列的单调性分析Sn值的变化. 当a1>0,d<0时,n为使an≥0成立的最大的自然数时,Sn最大,因为当 an>0时,Sn-1<Sn,递增;当an+1<0时,Sn>Sn+1,递减;类似地,当a1<0,d>0 时,n为使an≤0成立的最大自然数时,Sn最小.
������ ≤ 3-
7,
12 12 ������ > 2 − > 2+ = 5.5, 24 ������ 7 ∴5.5<n<7.∵n∈N+,∴n=6,即 S6 最大 .
题型一
题型二
题型三
题型三 易错辨析 易错点:对等差数列前n项和的性质理解不清致误 【例3】 等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则 它的前3m项的和为( ). A.130 B.170 C.210 D.260 错解:A或B 错因分析:本题容易错选A或B.由数列{an}是等差数列,错误地认 为S3m=Sm+S2m,从而得出S3m=130,故错选A.由数列{an}是等差数列, 错误地认为Sm,S2m,S3m仍成等差数列,从而得出S3m=170,故错选 B.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,而不是Sm,S2m,S3m成等差数列.
题型一
题型二
题型三
解法二 :先求出 d=-2(同解法一 ). ∵a1=25> 0,d=-2, ������������ = 25-2 (������-1) ≥ 0, ������ ≤ 13.5, ∴ 得 ������������ +1 = 25-2������ ≤ 0, ������ ≥ 12.5, 即 12.5≤n≤13.5. ∵n∈N+,∴当 n=13 时 ,Sn 取得最大值 ,
(−2) = 169.
解法三:先求出d=-2(同解法一). 由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0. 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0. 故当n=13时,Sn取得最大值169.
解法一:由 S17=S9,得 25×17+ 解得d=-2, 所以 Sn=25n+
������(������-1) × 2
17× ( 17- 1) ������ 2
= 25 × 9 +
9× ( 9- 1) ������, 2
(−2) = −(������ − 13)2 + 169.
由二次函数性质,得当 n=13 时 ,Sn 取得最大值 169.
题型一
题型二
题型三
(2)解法一 :由 S12>0,S13<0 可知 {an}为一个递减数列 . 因此 ,在 1≤n≤12 中 ,必存在一个自然数 n,使得 an≥0,an+1<0, 此时对应的 Sn 就是 S1,S2,…中的最大值 . ������ = 6(������6 + ������7 ) > 0, ∵ 12 ������13 = 13������7 < 0, ∴a7<0,a6> 0.∴S6 最大 . 解法二 :∵{an}是递减数列 ,∴d<0,
Sn=n·2
������������ +������������ 2
2
+1
������
,
������ ������
奇 偶
=
2 . ������������ +1 2
������������
【做一做1】 已知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶 数项之和为30,则其公差d为( ). A.5 B.4 C.3 D.2 解析:解法一:由题意得,S偶-S奇=5d=15,所以d=3.
题型一
题型二
题型三
正解:解法一:取特殊值m=1, ∴Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100, 则S3m=S3=a1+a2+a3=3a2=3(S2-S1)=210. 解法二:由题意可知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴S3m-S2m=(S2m-Sm)×2-Sm=(100-30)×2-30=110. ∴S3m=S2m+110=100+110=210. 答案:C
题型一
题型二
题型三
反思在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项ai,使 这一项及它前面的各项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负 (正)值,则从第1项起到该项的和为最大(小)值.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围. (2)该数列前几项的和最大?请说明理由. 解:(1)∵a3=12,S12>0,S13<0, ������1 + 2������ = 12,
12 , ������������ = ������3 + (������-3)������ ≥ 0, ������ ∴ 解得 12 ������������ +1 = ������3 + (������-2)������ < 0, ������ > 2- . ������ 24 12 12 由 − < ������ < −3, 可得n≤3− < 3 + = 7 ������ 3
12 × 11 12������1 + ������ > 0, ∴ 2 13 × 12 13������1 + ������ < 0, 2
������1 + 2������ = 12, 24 整理得 12������1 + 66������ > 0,解得 − < ������ < −3. 7 13������1 + 78������ < 0,
解得 S 偶=78,S 奇 =66.
∵项数为 12,∴S 偶 -S 奇=6d.∴d=12Fra bibliotek6= 2.
题型一
题型二
题型三
题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例2】 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值. 分析:建立Sn关于n的二次函数式,利用二次函数求最大值;也可确 定an≥0,an+1≤0时n的值,从而确定Sn的最大值.
90(������11+������100) 2
=
90(������1 +������110) . 2
题型一
题型二
题型三
解法五:∵{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和,
∴ 是等差数列. ∵S10=100,S100=10, ∴
������������ ������
������������ 的公差 D= = ������ 90 100-10 ������110 ������ ∴ 110 = 10+(110-10)· D. 10 ������110 11 ∴ 110 =10+100× =-1. 100
题型一
题型二
题型三
(2)解法一:设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn, 则 Sn=na1+
������(������-1) d. 2 10×9 ������ = 100, 2 由已知得 100×99 100������1 + ������ = 10. 2 11 ①×10-②整理得 d=-50, 1 099 代入①,得 a1= , 100 110×109 ∴S110=110a1+ 2 d 1 099 110×109 11 =110× + × 100 2 50 1 099-109×11 =110× 100
D=-22,
∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22) =-120. ∴S110=-110. 解法四:S100-S10=a11+a12+…+a100 =
∵S100-S10=10-100=-90,∴a1+a110=-2. ∴S110=
110(������1 +������110) =-110. 2
∴Sn=-100n2+ 10 n.
11
11
10
111
∴S110=-100×1102+ 10 ×110=-110.
111
题型一
题型二
题型三
解法三:数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列. 设其公差为 D,前 10 项的和为
10×9 10S10+ · D=S100=10,解得 2
解析: ∵公差 d=
2������-13 ≤ 0, ������������ ≤ 0, 由 得 ������������ +1 ≥ 0, 2������-11 ≥ 0, ∴5.5≤n≤6.5. 又n∈N+,∴n=6. 答案:6
-5+11 =2,∴an=2n-13,n∈N+. 3
题型一
题型二
题型三
题型一 等差数列前n项和的性质 【例1】 (1)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和 为33,求这个数列的中间项及项数. (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110 项之和. 分析:(1)考查等差数列奇数项、偶数项、特殊项和项数之间的关 系. (2)本题基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,求Sn再求S110,或利用性 质.
第2课时
等差数列前n项和的性质
1.掌握等差数列与其前n项和Sn有关的性质,并能熟练运用这些性 质解题. 2.掌握等差数列与函数之间的关系.
1.等差数列前n项和的性质 (1)在等差数列{an}中,每m项的和 a1+a2+…+am,am+1+am+2+…+a2m,a2m+1+a2m+2+…+a3m,…仍为等差 数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍为等差数列. (2)在等差数列{an}中,公差为d,S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数 项的和, ①当n为奇数时,
������100 ������10 100 - 10
1 10-10
=-
11 . 100
∴S110=-110.
反思若{an}是等差数列,Sn是前n项和,则 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列;
(2)
������������ ������
是等差数列.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知等差数列{an}共有12项,且前12项的和为144, 其中偶数项的和比奇数项的和大12,求S奇、S偶及公差d. ������奇 + ������偶 = 144, 解 :由题意,得 ������偶 -������奇 = 12,
题型一
题型二
题型三
解:(1)设等差数列{an}共有2n-1项,则奇数项有n项,偶数项共有n-1 项,中间项为an. ������奇 ������ 44 ∴ = = , ∴ ������ = 4. ������偶 ������- 1 33 S奇-S偶=an=44-33,∴an=11. ∴这个数列{an}的中间项为11,项数为7.
(2)函数法:把 Sn=na1+
������( ������- 1) ������视为关于������的二次函数, 2
利用二次函数的知识来求最值, 但必须注意到������ ∈N+.
【做一做2-1】 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n 项和Sn取得最大值的自然数n是 . 解析:∵|a3|=|a9|,且d<0, ∴a3=-a9.∴a3+a9=0,即a6=0. ∴使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6. 答案:5或6 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,若a1=-11,a4=-5,则当前n项和 Sn取最小值时,n= .
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
������奇 ������偶
2
������ + 1 = (项数加 1 比项数减 1); ������-1
②当 n 为偶数时,S 偶-S 奇= 2 ������ ,
10������1 +
① ②
=-110. 故此数列的前 110 项之和为-110.
题型一
题型二
题型三
解法二:设 Sn=an2+bn. ∵S10=100,S100=10, 102 ������ + 10������ = 100, ∴ 1002 ������ + 100������ = 10, 11 ������ = , 100 解得 111 ������ = .
解法二:解方程组 5������1 + 20������ = 15, 得d=3.故选 C. 5������2 + 20������ = 30,
答案:C
2.等差数列{an}的前n项和Sn的最值 首先要明确,此类问题一定是针对变号的等差数列而言.因为当 公差d≠0时,等差数列一定是单调数列,所以只有一个变号点. 常用方法如下: (1)定义法:Sn=a1+a2+…+an. 从等差数列的单调性分析Sn值的变化. 当a1>0,d<0时,n为使an≥0成立的最大的自然数时,Sn最大,因为当 an>0时,Sn-1<Sn,递增;当an+1<0时,Sn>Sn+1,递减;类似地,当a1<0,d>0 时,n为使an≤0成立的最大自然数时,Sn最小.
������ ≤ 3-
7,
12 12 ������ > 2 − > 2+ = 5.5, 24 ������ 7 ∴5.5<n<7.∵n∈N+,∴n=6,即 S6 最大 .
题型一
题型二
题型三
题型三 易错辨析 易错点:对等差数列前n项和的性质理解不清致误 【例3】 等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则 它的前3m项的和为( ). A.130 B.170 C.210 D.260 错解:A或B 错因分析:本题容易错选A或B.由数列{an}是等差数列,错误地认 为S3m=Sm+S2m,从而得出S3m=130,故错选A.由数列{an}是等差数列, 错误地认为Sm,S2m,S3m仍成等差数列,从而得出S3m=170,故错选 B.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,而不是Sm,S2m,S3m成等差数列.
题型一
题型二
题型三
解法二 :先求出 d=-2(同解法一 ). ∵a1=25> 0,d=-2, ������������ = 25-2 (������-1) ≥ 0, ������ ≤ 13.5, ∴ 得 ������������ +1 = 25-2������ ≤ 0, ������ ≥ 12.5, 即 12.5≤n≤13.5. ∵n∈N+,∴当 n=13 时 ,Sn 取得最大值 ,