2016-2017学年江西省南昌二中、临川一中联考高三下学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016-2017学年江西省南昌二中、临川一中联考高三（下）期中
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合N＝{x|lnx≥0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1≤x≤4}D．{x|x≥﹣1}
2．（5分）若复数z满足|z|•＝20﹣15i，则z为（）
A．4+3i B．4﹣3i C．3+4i D．3﹣4i
3．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．平均数B．标准差C．众数D．中位数
4．（5分）在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．﹣2
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
A．25πB．50πC．75πD．100π
6．（5分）已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，]D．[，+∞）7．（5分）设m，n∈R，若直线mx+ny＝2与圆x2+y2＝1相切，则m+n的取值范
围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）8．（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与我国古老的算法﹣“辗转相除法”实质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a＝6102，b＝2016时，输出的a＝（）
A．6B．9C．18D．54
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，若该图象上相邻两条对称轴间的距离为2，则f（x）的单调递增区间是（）
A．（2k﹣，2k+），k∈Z
B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（4k﹣，4k+），k∈Z
D．（4kπ﹣，4kπ+），k∈Z
10．（5分）系统找不到该试题
11．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）
A．4B．5C．6D．7
12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）
A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝且（+）⊥，则与的夹角β为．
14．（5分）（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，xy3z3项的系数为．15．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是．
16．（5分）下列命题正确的是
①若函数y＝f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x
＝1对称；
②在线性回归分析中，相关系数r＝，且r越接近于
1，该组数据的线性相关程度越大；
③在△ABC中，•＞0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”；
⑤由样本数据得到的回归方程＝x+必过样本点的中心（，）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．
（1）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求边AC的长；
．
（2）若∠ADC＝，求三角形ABD的面积S
△ABD
18．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB ＝2BC＝2，O为AD中点．
（1）求证：A1O∥平面AB1C
（2）求直线B1C与平面C1CDD1所成角的正弦值．
19．（12分）甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、
（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．
20．（12分）过原点O作斜率为k1（k1≠0）的直线l交抛物线Γ：y＝x2﹣1于A，B两点，
（1）当k1＝1时，求+的值；
（2）已知M（0，3），延长AM交抛物线Γ于C点，延长BM交抛物线Γ于D
点．记直线CD的斜率为k2，问是否存在实数λ，都有k2＝λk1成立，如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣e（x+1）lna﹣（a＞0，且a≠1），e为自然对数的底数．
（1）当a＝e时，求函数y＝f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值
（2）若函数f（x）只有一个零点，求a的值．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为
．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．
2016-2017学年江西省南昌二中、临川一中联考高三（下）
期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合N＝{x|lnx≥0}，则M∩N＝（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1≤x≤4}D．{x|x≥﹣1}
【考点】1E：交集及其运算．
【解答】解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，
集合N＝{x|lnx≥0}{x|x≥1}，
∴M∩N＝{x|1≤x≤4}．
故选：A．
2．（5分）若复数z满足|z|•＝20﹣15i，则z为（）
A．4+3i B．4﹣3i C．3+4i D．3﹣4i
【考点】A5：复数的运算．
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），∵|z|•＝20﹣15i，∴a﹣b i＝20﹣15i，
可得：a＝20，﹣b＝﹣15，
解得a＝4，b＝3．
z＝4+3i．
故选：A．
3．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A．平均数B．标准差C．众数D．中位数
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【解答】解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i＝x i﹣5，
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相
差5，
只有标准差没有发生变化，
故选：B．
4．（5分）在△ABC中，tan A＝，tan B＝，则tan C＝（）A．﹣1B．1C．D．﹣2
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：在△ABC中，∵已知tan A＝，tan B＝，
∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣1，
故选：A．
5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
A．25πB．50πC．75πD．100π
【考点】L!：由三视图求面积、体积；LG：球的体积和表面积．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，
其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，
故球O的半径R满足：4R2＝32+42+52＝50，
故球O的表面积S＝50π，
故选：B．
6．（5分）已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，]D．[，+∞）【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【解答】解：由题意，令f（x）＝sin cos+cos2﹣，
化简可得：f（x）＝+（cos）＝＝sin （）
∵x∈[﹣，]
∴∈[，]
当＝时，函数f（x）取得最小值为．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．
故选：B．
7．（5分）设m，n∈R，若直线mx+ny＝2与圆x2+y2＝1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵m，n∈R，直线mx+ny＝2与圆x2+y2＝1相切，
∴圆心（0，0）到直线的距离d＝＝1，
解得m2+n2＝4，
∴mn≤＝2，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn≤4+2×2＝8，
∴﹣2．
∴m+n的取值范围是[﹣2，2]．
故选：C．
8．（5分）我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．这个伟大创举与我国古老的算法﹣“辗转相除法”实
质一样．如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a＝6102，b＝2016时，输出的a＝（）
A．6B．9C．18D．54
【考点】EF：程序框图．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
a＝6102，b＝2016，
执行循环体，r＝54，a＝2016，b＝54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝18，a＝54，b＝18，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝0，a＝18，b＝0，
满足退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为18．
故选：C．
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，若该图象上相邻两条对称轴间的距离为2，则f（x）的单调递增区间是（）
A．（2k﹣，2k+），k∈Z
B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z
C．（4k﹣，4k+），k∈Z
D．（4kπ﹣，4kπ+），k∈Z
【考点】H2：正弦函数的图象．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ），
∵相邻两条对称轴间的距离为2，即周期T＝2×2＝4
由T＝，
∴ω＝．
∵A（，0）为f（x）图象的对称中心，即0＝sin（+φ），
可得：+φ＝kπ，k∈Z．
∵|φ|＜），
∴φ＝．
则f（x）＝sin（x），
令x≤，k∈Z．
得：．
故选：C．
10．（5分）系统找不到该试题
11．（5分）等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是（）
A．4B．5C．6D．7
【考点】85：等差数列的前n项和．
【解答】解：∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，
∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x≥0的两个实数根，且d＜0．
∴﹣＝9，可得：2a1+9d＝0，
∴．
∴a n＝a1+（n﹣1）d＝d，
可得：a5＝﹣＞0，＜0．．
∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数n的值是5．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣bx2，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，则a的取值范围是（）
A．[e，+∞）B．C．D．[e2，+∞）【考点】6E：利用导数研究函数的最值．
【解答】解：若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，
即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，
即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]都成立，即对x∈（e，e2]都成立，
即a大于等于在区间（e，e2]上的最大值，
令，则，
当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以，x∈（e，e2]的最大值为，即，
所以a的取值范围为．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝且（+）⊥，则与的夹角β
为．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：∵（+）⊥，
∴（+）•＝0，即•+||2＝0，
∵||＝2，||＝，
∴2×cosβ+3＝0，即cosβ＝﹣，
则与的夹角β为，
故答案为：
14．（5分）（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，xy3z3项的系数为﹣80．
【考点】DA：二项式定理．
【解答】解：（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，将（x+2y+z）6的三项化两项为[（x+2y）+z]2，由通项公式：可得T r+1＝，由题意，可知r＝3．
那么（x+2y）3由通项公式：可得T k+1＝，
若（x﹣y）中提供x，则（x+2y）3展开式中没有x，含有y的指数为3，z的指数为3，即可得xy3z3项，可知：k＝3，
若（x﹣y）中提供﹣y，则（x+2y）3展开式中含有x的指数为1，含有y的指数为2，z的指数为3，即可得xy3z3项，可知：k＝2，
∴xy2z3项的系数为+＝﹣80．
故答案为：﹣80．
15．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（，+∞）．
【考点】8E：数列的求和．
【解答】解：由a n＝5﹣n，可得：a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，可知：抽去a2＝3，剩下的3项4，2，1为等比数列{b n}的前3项，则b1＝4，b2＝2，公比q＝＝．
记{b n}前n项和为T n＝＝8．
又S n＝，由存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，
∴＜8+λ，
∴λ＞+n+8×﹣8＝f（n），
由f（n）＝+8×+，
在n≥5时单调递减，可得f（5）＝，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝．
故答案为：（，+∞）．
16．（5分）下列命题正确的是⑤
①若函数y＝f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x
＝1对称；
②在线性回归分析中，相关系数r＝，且r越接近于
1，该组数据的线性相关程度越大；
③在△ABC中，•＞0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”；
⑤由样本数据得到的回归方程＝x+必过样本点的中心（，）．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【解答】解：对于①，∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x）＝f（x+2），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，函数f（x）的图象不关于直线x＝1对称，故①错误；对于②，根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断，|r|越接近于1，故②错；
对于③，在△ABC中，•＞0，以判定两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，
反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，故③错；
对于④，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④错；
对于⑤，由样本数据得到的回归方程＝x+必过样本点的中心（，）．故
⑤正确． 故答案为：⑤
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝，点D 在线段BC 上．
（1）若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为，求边AC 的长；
（2）若∠ADC ＝
，求三角形ABD 的面积S △ABD ．
【考点】HT ：三角形中的几何计算．
【解答】解：（1）∵DB ＝2DC ，∴s △ABD ＝2s △ADC ，s △ABC ＝3s △ADC ，
又s ，∴s
，…（3分）
∵s
，∴BC ＝6，
在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ． ∴AC ＝4
．…（5分）
（2）在三角形中，∵cos B ＝，∴sin B ＝．…（6分） 在△ABD 中，由正弦定理得，
又AB ＝2，
，sin B ＝
．∴AD ＝
…（9分）
，sin
∴
＝…（12分）
18．（12分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧面A 1ADD 1⊥底面ABCD ，D 1A ＝D 1D ＝
，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB
＝2BC ＝2，O 为AD 中点． （1）求证：A 1O ∥平面AB 1C
（2）求直线B 1C 与平面C 1CDD 1所成角的正弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．
【解答】证明：（1）如图，连接CO、A1O、AC、AB1
则四边形ABCD为正方形，∴OC＝AB＝A1B1，
∴四边形A1B1CO为平行四边形，∴A1O∥B1C，
又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C
∴A1O∥平面AB1C．…（6分）
解：（2）∵D1A＝D1D，O为AD中点，∴D1O⊥AD，
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，∴D1O⊥底面ABCD，
以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0），A1（0，﹣2，1），
∴＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣1，1），＝（0，﹣1，﹣1），＝（1，﹣1，0），
设＝（x，y，z）为平面C1CDD1的一个法向量，
则令z＝1，得＝（1，1，1），
由（1）知B1C∥A1O，∴直线A1O与平面C1CDD1所成的角和直线B1C与平面C1CDD1所成的角相等．
记直线B1C与平面C1CDD1所成的角为θ，且＝（0，﹣2，1），
∴sinθ＝＝＝，
∴直线B1C与平面C1CDD1所成角的正弦值是．…（12分）
19．（12分）甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、
（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
【解答】解：（1）若甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛，则甲队的1，2号队员均输给乙队的1号队员，
∴P＝（1﹣）（1﹣）＝＝．
（2）ξ可能的取值为2，3，4．
P（ξ＝2）＝＝；
P（ξ＝3）＝+×+＝；
P（ξ＝4）＝++＝．
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）＝2×+3×+4×＝．
20．（12分）过原点O作斜率为k1（k1≠0）的直线l交抛物线Γ：y＝x2﹣1于A，B两点，
（1）当k1＝1时，求+的值；
（2）已知M（0，3），延长AM交抛物线Γ于C点，延长BM交抛物线Γ于D 点．记直线CD的斜率为k2，问是否存在实数λ，都有k2＝λk1成立，如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由．
【考点】K8：抛物线的性质．
【解答】解：（1）联立方程组，消去y得x2﹣4x﹣4＝0，
解得x＝y＝2﹣2或x＝y＝2+2，
∴|OA|＝（2﹣2）＝4﹣2，|OB|＝（2+2）＝4+2，
∴＝＝+＝1．
（2）联立方程组，消去y得x2﹣4k1x﹣4＝0，
△＝16k12+16＞0恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4k1，x1x2＝﹣4，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
直线AM方程为y＝x+3，代入y＝﹣1得，
∴x1x3＝﹣16，即x3＝﹣．
同理，x4＝﹣，
∴k2＝＝（x3+x4）＝（﹣﹣）＝﹣＝4k1，
∴λ＝4．
21．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣e（x+1）lna﹣（a＞0，且a≠1），e为自然对数的底数．
（1）当a＝e时，求函数y＝f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值
（2）若函数f（x）只有一个零点，求a的值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝e x﹣e（x+1）lne﹣＝e x﹣e（x+1）﹣，∴f′（x）＝e x﹣e，
令f′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∵f（0）＝1﹣e﹣，f（2）＝e2﹣3e﹣，
∴f（2）﹣f（0）＝e2﹣3e﹣﹣1+e+＝e2﹣2e﹣1＞0，
∴函数y＝f（x）在区间x∈[0，2]上的最大值为e2﹣3e﹣；
（2）f′（x）＝a x lna﹣elna＝lna（a x﹣e），
当0＜a＜1时，由f′（x）＝a x lna﹣elna＝lna（a x﹣e）＜0，得a x﹣e＞0，即x．由f′（x）＝a x lna﹣elna＝lna（a x﹣e）＞0，得a x﹣e＜0，即x．
∴f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
∴当x＝时函数取得最小值为f（）＝＝
．
要使函数f（x）只有一个零点，则，得a＝；
当a＞1时，由f′（x）＝a x lna﹣elna＝lna（a x﹣e）＜0，得a x﹣e＜0，即x．由f′（x）＝a x lna﹣elna＝lna（a x﹣e）＞0，得a x﹣e＞0，即x．
∴f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
∴当x＝时函数取得最小值为f（）＝＝
．
要使函数f（x）只有一个零点，则，得a＝（舍）．
综上，若函数f（x）只有一个零点，则a＝．
四、解答题（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为
．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即；
（Ⅱ）将，代入得，，即t＝0，从而，交点坐标为，
所以，交点的一个极坐标为．
五、解答题（共1小题，满分0分）
23．设函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若关于x的不等式在x∈[1，2]上有解，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【解答】解：（1）当a＝1时，
，
当且仅当时，取等号．
（2）x∈[1，2]时，，所以0＜a＜6．。