北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．1220
1x dx -=⎰
（ ）
A ．
12
π
B ．
3128
π+ C ．
368
π+ D ．
3
64
π+
2．已知函数sin (11)
()1(12)x x f x x x
-≤≤⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )
A ．ln 2
B ．ln 2-
C ．1
2
-
D ．3cos 1-
3．对于函数()sin x f x x =
， 30,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 4．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．
23
B ．
43
C ．
22
3
D ．
42
3
5．
3
2
4x
dx -=⎰（ ）
A ．
213 B ．223 C ．233 D ．253
6．若在R 上可导,,则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知10
(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）
A ．1
,
9
B ．1,1,9
C ．
1,
[1,
)9
D ．()1,+∞
8．使函数()3
2
2912f x x x x a =-+-图象与x 轴恰有两个不同的交点，则实数a 可能的取值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
9．2
0ln 1()231m
x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，，
，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
10．函数0
()(4)x
f x t t dt =
-⎰
在[1,5]-上（ ）
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0，最小值32
3
-
C ．最小值32
3
-
，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值
11．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现
()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四
维测度W =（ ）. A ．224r π
B ．2
83
r π
C ．5
14
r π
D ．42r π
12．若函数3
1()log ()(01)(,0)3
a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的
取值范围是( )． A ．2[,1)3
B ．1[,1)3
C ．1[,1)
(1,3]3
D ．(1,3]
二、填空题
13．若2
2
11
S x dx =
⎰
，2
21
1
S dx x
=
⎰
，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．
14．已知1
2e
a dx x
=⎰
，则()()4
1x x a ++展开式中3x 的系数为______. 15．定积分
2
1
1
(2)x dx x
+⎰
的值为_____ ．
16．1
3
2
1
(tan sin )x x x x dx -++⎰
的值为______________________
17
．
(1
||
1
x e
dx -=⎰
__________________
18．若()()4
112ax x -+的展开式中2
x 项的系数为4，则
2
1
a
e dx x
=⎰________________ 19．定积分2
sin cos t tdt π
=⎰
________．
20．二项式3
3()6
a x -
的展开式的第二项的系数为,则的值为______．
三、解答题
21．已知函数32()f x x mx nx =++（,m n R ∈）
（1）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围；
（2）若'(1)0f =，且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切，求实数m 的值. 22．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 23．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值： （1）22a
a
a x dx --⎰
；
（2）(
)
120
1(1)x x dx ---⎰.
24．
已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；
（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·
25．已知函数()x ae f x x x
=+．
（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；
（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 26．已知函数f （x ）=3sin
2x cos 2x +cos 22x +m 的图象过点（56
π，0）． （1）求实数m 值以及函数f （x ）的单调递减区间； （2）设y=f （x ）的图象与x 轴、y 轴及直线x=t （0＜t ＜23
π
）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数S （t ）的解析式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
令21y x =-，则()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆
与y 轴，1
2
x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】
解：令21y x =-，则()2
2
10x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，
1220
1x dx -⎰
表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，1
2
x =
，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：
故
1220
1131311222612
OAB BOC
x dx S
S ππ
-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属基础题.
2．A
解析：A 【分析】
将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】
()2
1
2
12
11
111
1sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】
本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.
3．C
解析：C
【解析】函数()sin x f x x =
，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，
()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数
在2
x π= 时连续，所以函数()()sin 0,x
f x x x
π=
∈，的单调区间为()0π，，又当3,
2x π
π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =
的性质，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数
()2
cos sin 'x x x
f x x
-=
，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．
4．B
解析：B 【解析】
设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2
a
h =
，底面中心到顶点的距离2
d =，由勾
股定理可得22
21)()2
a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积2124
2323
V =⨯⨯=，故应选答案B ．
5．C
解析：C
【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知
(
)()
3
2
3
2
2
20
02
8823
44489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=
⎪⎝⎭⎰
⎰⎰．
考点：定积分的几何意义．
6．B
解析：B
【解析】试题分析：欲求积分，则必须求出被积函数.由已知可知函数的解析式并不明确（
未知，但为常数）.所以对原函数求导，可得
,令
,
,所以
,则
.
考点：函数导数和函数积分.
7．C
解析：C 【分析】
本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab
t ，则
312t a b
，再然后根据构造法得出a 、b 为方程2
3102
t x
x t 的根，最后根据
判别式即可得出结果． 【详解】
1
1
2
(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1
2
2
30
331
()02222abx x ab ax bx a b =+
++=+++=， 即3210ab a b ，
设ab
t ，则312t a b
，a 、b 为方程2
3102
t x
x t 的根，
有
2
31
402
t t ，解得1
9
t 或1t ≥， 所以1,[1,
)9
a b ，故选C ．
【点睛】
本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．
8．C
解析：C 【解析】
f ′(x )=6x 2−18x +12，令f ′(x )=0得x 2−3x +2=0，解得x =1，或x =2. ∴当x <1或x >2时,f ′(x )>0，当1<x <2时,f ′(x )<0，
∴f (x )在(−∞,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x =1时,f (x )取得极大值f (1)=5−a ， 当x =2时,f (x )取得极小值f (2)=4−a ，
∵f (x )只有两个零点，∴5−a =0或4−a =0，即a =5或a =4. 本题选择C 选项.
9．B
解析：B 【详解】
因为233
00
3|,m
m t dt t m ==⎰所以()3
121lnx x f x x m x >⎧=⎨+≤⎩，，, ()ln 1f e e ==，()()()31210f f e f m ∴==+=，
解得2m =. 故选：B.
10．B
解析：B 【分析】
根据定积分的运算，可得3
21()23
f x x x =-，再利用导数求得()f x 的单调性和极值，检验端点值，即可得答案. 【详解】
由题意，函数3232
011()(4)2233x
x
f x t t dt t t x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰，
则2()4(4)f x x x x x '=-=-，
当[1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(0,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(4,5]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 又由7(1)3f -=-
，(0)0f =，32(4)3f =-，25
(5)3
f =-， 所以函数()f x 的最大值为0，最小值为32
3
-
.
故选：B . 【点睛】
本题考查定积分的运算，利用导数求函数的最值问题，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
11．D
解析：D 【解析】
因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：
3441
8824
W r dr r r πππ=⎰=
⨯=，应选答案D ． 12．B
解析：B 【解析】
由题意得0y '≥1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
在区间恒成立，即
210(3)ln x a a ≥-1,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在区间恒成立， 当1a > 时2
min (3)0a x a <⇒≤ ，舍；当01a << 时
2min 111
(3)3=1933
a x a a ，>⇒≥⨯∴≤< ，选B.
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
二、填空题
13．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<
【分析】
先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】
2
23
2
11
11
73
3
S x dx x ===
⎰ 2
221112S dx lnx ln x
===⎰
2
2
2311
|x x S e dx e e e ===-⎰
27
23
ln e e <
<- 213S S S ∴<<
故答案为：213S S S << 【点睛】
本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题
解析：32 【分析】
由定积分求出实数a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】 解：因为1
2e
a dx x
=
⎰
=2ln x e 1| =2, 由()4
2x +展开式的通项为1r T +=r
4C 42r r x - ,
即()()4
12x x ++展开式中3x 的系数为2
4C 22⨯+1
4C 2⨯ =32，
故答案为32. 【点睛】
本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.
15．【解析】
16．0【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx−1⩽x ⩽1所以f(−x)=−x3−tanx−x2sinx=−f(x)所以f(x)为奇函数
解析：0 【解析】
因为f (x )=x 3+tanx +x 2sinx ，−1⩽x ⩽1 所以f (−x )=−x 3−tanx −x 2sinx =−f (x )， 所以f (x )为奇函数，
2
1
3
1
0x tanx x sinx dx -⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭⎰.
17
．【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积其中故故故故答案为 解析：2
223
e π+-【解析】
11
2
2
1
424x dx x dx --=-⎰⎰,由定积分的几何意义知：1
20
4x dx -⎰是如图所示的阴影部分
曲边梯形OABC 的面积，其中()
1,3,30B BOC ∠=，
故
2
2
1
242433x dx x dx π--=-=+11
1010
22|22x
x x e dx e dx e e -===-⎰⎰，
故
(
1
21
242233
x
e x dx e π--=+-⎰22233e π+-
18．【解析】由题意得项的系数为所以点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系数可由某项得出参数项 解析：ln51-
【解析】由题意得2
x
项的系数为221
445
224,2
C aC a ⋅-⨯==
，所以5
2
2
5
152ln |ln ln ln5 1.222
e e dx x e x ==-=-⎰ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
19．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换 解析：
12
【解析】
试题分析：因为
，所以
2
sin cos t tdt π
=
⎰.
考点：定积分的计算.
【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中
恰好为
的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可
利用三角恒等变换来求，因为
，所以有
2
sin cos t tdt π
=
⎰2
2
000
111sin2sin22sin 244tdt td t udu π
π
π
===⎰⎰⎰ 011
cos |42
u π-=. 20．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理
解析：3或7
3
【解析】
试题分析：展开后第二项系数为233122
a a -
=-∴=±，1a =时31
21|33
x -==，1a =-时 31217|33
x --=
= 考点：1．定积分；2．二项式定理
三、解答题
21．（1）3m <-；（2）3m =-。

【解析】
试题分析：（1）依据题设条件极值点即为到函数的零点建立方程，再借助有极值点建立不等式；（2）先设切点坐标()00,P x y ，借助导数的几何意义求切线的斜率，进而求出曲线的切线方程，再将其转化为3
2
000x 2x mx 10++=关于的方程有两个不同的实根，最后构造函数转化为函数有两个零点问题求解。

解：（Ⅰ）()()2
f x 3x 2mx n f 1032m n 0''=++=++=由得
2Δ4m 12n 0.=->
∴()2
m 30m 3+>≠-，得到∵()()()()2
f x 3x 2mx 2m 3x 13x 2m 3=+-+=-++'
∴()2m f x 0x 1x 13⎛⎫
===-+ ⎪⎝⎭
'，得或 由题2m 11,m 33⎛⎫
-+
><- ⎪⎝⎭
解得 由①②得m 3<-
（Ⅱ）()f 1032m n 0'=++=由得 所以()()2
f x 3x 2mx 32m =+-+'
因为过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有两条， 令切点是()00,P x y ，
则切线方程为()()000y y f x x x '-=- 由切线过点()0,1，所以有
()()0001y f x x '-=-
∴()()()322
0000001323232x mx m x x mx m x ⎡⎤--++=+-+-⎣⎦
整理得32
00210x mx ++=
32000x 2x mx 10.++=所以，关于的方程有两个不同的实根
()()32h x 2x mx 1h x =++令，则需有两个零点 ()2h x 6x 2mx '=+
所以()m
m 0h x 0x 0x 3
≠=='=-
，且得或 ()m h 00,h 03⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭由题，或
()m h 01,h 03又因为所以⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
32
m m 2m 1033⎛⎫⎛⎫
-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
m 3=-解得,即为所求
22．
292
米 【解析】 ∵当302t ≤≤
时,()230v t t =-≤; 当3
52
t ≤≤时,()230v t t =-≥. ∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程
3
5
2
30
2
(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929
(10)442++=(米)
23．（1）2
2
a π；（2）
142
π-. 【分析】
（1）由定积分
2
2a a
a x dx 的几何意义可知，该定积分表示圆222x y a +=与x 轴所围
成的上半圆的面积，则根据圆的面积公式即可求值；
（2）在同一直角坐标系内画出圆22(1)1x y -+=和直线y x =的图像，由定积分
(
)
120
1(1)x x dx ---⎰的几何意义可知，该定积分表示表示圆22(1)1x y -+=与直线
y x =所围成的图形的面积，
【详解】 解：(1)2
2a a
a x dx 表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，
因此2
2
2
2
a a
a a
x dx
π；
(2)
(
)
120
1(1)x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =
所围成的图形(如图所示)的面积，
因此
2
12
11
11(1)
=
114
2
42
x x dx ππ
. 【方法点睛】
定积分的几何意义为曲边梯形的面积，故求定积分
()d b
a
f x x ⎰
时，可考虑为函数()
y f x =的图像与x 轴，以及直线x a =和x b =所围成的图形的面积.若求的是
()()b a
f x
g x dx ，则可考虑为()y f x =为上边界，()y g x =为下边界的图形位于直
线x a =和x b =之间的部分的面积. 24．（1）1{x |x 3}3≤≤；（2）13a 4
>． 【解析】
【分析】
()1a 0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；
()2根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线
的位置关系做． 【详解】
() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥，
移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤， 解得
1x 33≤≤，解集为1
{x |x 3}3
≤≤． ()2化简得()x 3a,
x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪
=-+-<≤⎨⎪-++>⎩
，
根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系， 当x 1>时，()f x x 3a =-++， 由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，
设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ， 则02x 81-+=-，解得09x 2=
，所以07
y 4
=， 代入()f x x 3a =-++，解得13
a 4
=， 所以a 的取值范围是13a 4
>． 【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
25．（1）1a e
=-；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用导数的几何意义布列关于a 的方程即可得到结果；
（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；
（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值． 【详解】
（1）∵()()2
2
1'x ae x x f x x
-+=
∴()'11f =, ()11f ae =+
∴函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为：()11y ae x -+=-，又直线过点()0,1- ∴()111ae --+=-，解得：1a e
=- （2）若0a <，()()2
2
1'x ae x x f x x
-+=
，
当(),0x ∈-∞时，()'0f x >恒成立，函数在(),0-∞上无极值； 当()0,1x ∈时，()'0f x >恒成立，函数在()0,1上无极值；
在()1,+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值()0f x ，则()()00010'0
x f x f x ⎧>⎪
>⎨⎪=⎩
，
则()000002
00
2
01
102103x x x ae x x ae x x x ⎧
⎪
>⎪⎪⎪+>⎨⎪
⎪-+⎪=⎪⎩
（）（）（），由（3）得：0
2001x x ae x =--，代入（2）得：
00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由()0
000
0x ae f x x x =+>得：02
x x a e
>-，
设()2
x x h x e
=-，则()()2'x
x x h x e -=，当2x >时，()'0h x >，即()h x 是增函数， 所以()()0242a h x h e
>>=-
， 又0a <，故当极大值为正数时，24,0a e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，从而不存在负整数a 满足条件． （3）设()()21x
g x ae
x x =-+，则()()'2x g x x ae =+，
因为0a >，所以，当0x >时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，()'0g x <，
()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．
又()00g a =-<，()110g =>，所以存在()10,1x ∈，使()10g x = 再由()g x 在()0,+∞上单调递增知，
当()10,x x ∈时，()0g x <，故()()2
'0g x f x x
=
<，()f x 单调递减； 当()1x x ∈+∞，
时，()0g x >，故()()2
'0g x f x x
=>，()f x 单调递增；
所以函数()f x 在1x 处取得极小值． 当0x <时，1x e <，且10x -<， 所以()()()22211x
g x ae
x x a x x x ax a =-+>-+=+-，
函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又
()00g a =-<，
故在(),0t 上存在2x ，使()20g x =， 再由()g x 在(),0-∞上单调递减知， 当()2,x x ∈-∞时，()0g x >，故()()2
'0g x f x x =>，()f x 单调递增；
当()2,0x x ∈时，()0g x <，故()()
2'0g x f x x
=
<，()f x 单调递减；
所以函数()f x 在2x 处取得极大值． 综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题． 26．（1）12m =-
，单调递减区间是42,233k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ；（2）
2()sin()(0)323
s t t t ππ
=-+<<．
【分析】
（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=1
62
sin x m π⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭的形式，把点（
56
π
，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；
（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案． 【详解】
（1）f （x ）2x cos 2x +cos 22
x +m
=
11
22
cosx m +++ =1
62
sin x m π⎛⎫+
++ ⎪⎝
⎭． ∵f （x ）的图象过点（56
π
，0）， ∴51
0662
sin m ππ⎛⎫+++=
⎪⎝⎭，解得12m =-．
∴f （x ）=6sin x π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
， 由
3222
6
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得42233
k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ． 故f （x ）的单调递减区间是42,23
3k k π
πππ⎡
⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z ；
（2）由（1）得，f （x ）1
2
sinx cosx +．
∴012t
S cosx dx ⎫=⎰+⎪⎪⎝⎭=01
|2t sinx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
=110022sint sin ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=3sin t π⎛⎫- ⎪⎝⎭．
∴()3S t sin t π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭（203t π＜＜）． 【点睛】
本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。