第二十一章第2节 一元二次方程的根与系数的关系

归纳 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
当堂练习
3
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是_2__， m =_-_3__.
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，
则：p = 1
, q= -2
c. a
归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
x1
+
x2
=
b a
c
x1
x2
a
注意 满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之 积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
总结常见的求值:
1. 1 x1
的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. x2+px+q=0，
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
猜一猜 （2）通过上表猜想，如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以
1 x2
x1 x2 ; x1 x2
2. x12 x22
(x1 x2 )2 2x1x2;
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1
x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】 1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一 元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数． 2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有 两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想． 【学习重点】 一元二次方程的根与系数的关系． 【学习难点】
解：(1)方程有实数根
b2 4ac
(2)∵方程有实数根x1,x2
x1
x2
2,
x1
x2
m m
2.
Байду номын сангаас
2m2 4 m m 2
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
4m2 4m2 8m 8m 0
22 4 m 2 1. m
解得m=8.
∴m的取值范围为m＞0
经检验m=8是原方程 的解．
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0
让学生从具体方面的根发现一元二次方程根与系数之间的关 系．
复习引入
1.一元二次方程的求根公式是什么？ x b
b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
4 (-1) 1 4 ;
3
3
（2）
x2 x1
x1 x2
x12 x22 x1 x2
( x1
x2 )2 2x1 x2 x1 x2
34 . 9
提升能力 6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 由根与系数的关系，得
x1
x2
k 2
,
1 x1 • x2 2 ,
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
k
2
4
1
1,
2
2
k
2
3,
2
k 2 3.
7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2 1
x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练一练
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2=
4
, (2)x1·x2=
1
,
(3) x12 x22
14
,
(4) (x1 x2 )2 12
解：(1)根据根与系数的关系：x1 x2
k,
x1x2
k 1. 2
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
k 1 (k) 1 4, 2
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4.
则： (x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
m 3
,
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3, 2
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2)
= 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 +
x2 =
3 2
,
x1 x2 =
-1 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的 值.
.
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及 m 的值.
解：将x = 1代入方程中：3 -19 + m = 0.
解得
m = 16,
设另一个根为x1,则：
1
×
x1
=
c a
16 . 3
∴x1
=
16 . 3
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
.
例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根， 且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0
即 -8k + 4 ≥ 0. k 1
由根与系数的关系得x1
+
x22 =
2(k
-1)
,x1
x2 =k
2 .
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1 ·x2=2x2= 6 ,
即：x2=
3. 5
由于x1+x2=2+
(
3) =
5
5
k 5
,
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 3 ，k=－7.
5
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根 及m 的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
两根
x1
x2
-4 1
23
x22 x2+33xx+11=00 1
-1
22
2
关系
x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6
3 x1 x2 2
x1
x2
1 2
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且xx2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什 么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间
5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之
间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1);
(2)
x2 x1 . x1 x 2
解:根据根与系数的关系得：
x1
x2
b a
4 3
, x1
x2
c a
1.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
发现什么结论？
x1
x2
b a
x1
x2
c a
证一证：
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b 2b
2a
b2 4ac b 2a
b2 4ac
b . a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
课堂小结
内容
根与系数的关系 （韦达定理）
应用
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别
是x1、 x2，那么
x1
x2
b a
x1
x2
c a
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2