江苏省徐州市孔子中学2018年高三数学文月考试题含解析

江苏省徐州市孔子中学2018年高三数学文月考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）
．B
解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ=2﹣1=2×﹣1=，
故sinθ=﹣=﹣，∴tanθ==，
故选C．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．
2. 定义在R上的函数f(x)满足，且当时，
，对，，使得
，则实数a的取值范围为（）
A．B． C.(0,8] D．
参考答案：
D
3. 定积分（+2）dx的值为（）
A．2e+1 B．2e﹣1 C．e﹣2 D．2e﹣2
参考答案：
B
【考点】定积分．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据积分公式进行求解即可．
【解答】解：（+2）dx=（lnx+2x）|=lne+2e﹣ln1﹣2=2e﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的积分，比较基础．4. 若函数的图象可以是（）
参考答案：
C
5. 已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为
A． B． C． D． 1
参考答案：
A
6. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．
解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为
1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．
所以该几何体的表面积为：=2（）．
故选A．
点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
7. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是
A. B.
C.4
D.5
参考答案：
【知识点】圆的方程和性质 H3
【答案解析】C 解析：作出如下示意图：
圆是圆关于轴对称的圆，
则圆的圆心为：，半径为1，
则最短的距离为
故选：C
【思路点拨】先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径，方法是连接AC′与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC′，然后减去半径即可求出．
8. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为
y=±x，圆心为（a，0），半径为c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==．
【解答】解：由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，a2=b2+c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，
双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，
圆M：（x﹣a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，
双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，
即d==b，即b=c，a=c，
椭圆C的离心率e==，
故选A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．
9. 设全集U={a,b,c,d,}，集合M={a,c,d}，N={b, d}，则（CUM）∩N=（）
A．{ b } B．{ d } C．{ a, c } D． {b, d }参考答案：
A
略
10. 函数的零点个数是
(A)0 (B)l (C)2 (D)4
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的值
为▲
参考答案：
12. 方程的解是__________
参考答案：
答案：
13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于____________.
参考答案：
略
14. 设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则.
参考答案：
略
15. 若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：
①；②；③；④
其中为m函数的序号是。

（把你认为所有正确的序号都填上）
参考答案：
②③
16. （选修4-4：坐标系与参数方程）
曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D 的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是
参考答案：
【知识点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．N3
【答案解析】解析：曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以
，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.【思路点拨】把曲线D的方程，化为普通方程为x+y=0．利用
sin2θ+cos2θ=1可把曲线C的参数方程，化为，注意到θ∈（π，2π），可得y＜0，联立即可得出交点，进而得出切线方程．
17. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以
上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为．
参考答案：
x+2y?z?2＝0
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知抛物线上的一点（m，1）到焦点的距离为.点是抛物线
上任意一点（除去顶点），过点与的直线和抛物线交于点，过点
与的直线和抛物线交于点.分别以点，为切点的抛物线的切线交于点P′.
（I）求抛物线的方程；
（II）求证：点P′在y轴上.
参考答案：
（Ⅰ）由题意得，
所以抛物线的方程为…………4分
（II）设，因为
则以点为切点的抛物线的切线方程为
又，所以……………6分
同理可得以点为切点的抛物线的切线方程为
由解得………………………………………8分
又过点与的直线的斜率为
所以直线的方程为
由得所以，即……10分
同理可得直线的方程为
由得所以，即
则，即P′得横坐标为0，
所以点P′在y轴上………………………………………………12分
19. 设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．
参考答案：
【考点】特征值与特征向量的计算．
【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．
【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，
则，…5分
故解得…10分．
20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于A，B两点，四边形为平行四边形，为坐标原点，且，求直线的方程．
参考答案：
（Ⅰ）椭圆的方程：………………………………………………4分
（Ⅱ）首先，直线的斜率不存在时，，，舍去；
设直线的方程为：，代入椭圆方程：
所以，设，则
又及得：
，结合韦达定理可求出
，，所以所求直线的方程为：
略
21. 设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆E相交于A、B两点和C、D两点.
(Ⅰ)若M、N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积; (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.
参考答案：
(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【分析】
(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算
，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故
，得到结论.
【详解】(Ⅰ)，，故，，，
.
故四边形ABCD的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形ABCD不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22. （本小题满分12分）
在数列中，，.
（1）求数列的前项和；高考资源网
（2）证明不等式，对任意皆成立.
参考答案：
（1）解：数列的通项公式为高考资源网
所以数列的前项和 4分
（2）证明：对任意的，
…………………………8分当时，；
当且时，，∴，即
所以不等式，对任意皆成立。

…………………………12分略。