湘教版九年级数学上册教案：2.2.3因式分解法

2.2.3因式分解法
教学目标
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．
【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．
【教学重点】
用因式分解法一元二次方程.
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
教学过程
一、情景导入，初步认知
复习：将下列各式分解因式
(1)5x2-4x
(2)x2-4x+4
(3)4x(x-1)-2+2x
(4)x2-4
(5)(2x-1)2-x2
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度.
二、思考探究，获取新知
1.解方程x2-3x=0
可用因式分解法求解
方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0
由此得x=0或x-3=0
即x1=0，x2=3
与公式法相比，哪种更简单？
【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解下列方程;
(1)x(x-5)=3x;
(2)2x(5x-1)=3(5x-1);
(3)(35-2x)2-900=0.
3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.
4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程.
【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程.
5.选择合适的方法解下列方程：
(1)x2+3x=0;
(2)5x2-4x-3=0;
(3)x2+2x-3=0.
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程.
6.如何选择合适的方法解一元二次方程呢？
【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.
总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解下列方程：
（1）5x2＋3x＝0；
（2）7x（3－x）＝4（x－3）.
分析：（1）左边＝x（5x＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x（3－x）－4（x－3）＝0，找出（3－x）与（x－3）的关系.
解：（1）因式分解，得x（5x＋3）＝0，
于是得x＝0或5x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－3/5；
（2）原方程化为7x（3－x）－4（x－3）＝0，
因式分解，得（x－3）（－7x－4）＝0，
于是得x－3＝0或－7x－4＝0，
x1＝3，x2＝－4/7
2.选择合适的方法解下列方程：
（1）2x2－5x＋2＝0；
（2）（1－x）（x＋4）＝（x－1）（1－2x）.
分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x）与（x－1）的关系用因式分解法；
解：（1）a＝2，b＝－5，c＝2，
b2－4ac＝（－5）2－4×2×2＝9＞0，
x1＝2，x2＝1/2
（2）原方程化为（1－x）（x＋4）＋（1－x）（1－2x）＝0，
因式分解，得（1－x）（5－x）＝0，
即（x－1）（x－5）＝0，
x－1＝0或x－5＝0，
x1＝1，x2＝5
3.用因式分解法解下列方程：
（1）10x2＋3x＝0；
（2）7x（3－x）＝6（x－3）；
（3）9（x－2）2＝4（x＋1）2．
分析：（1）左边＝x（10x＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x（3－x）－6（x－3）＝0，找出（3－x）与（x－3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x（10x＋3）＝0，
于是得x＝0或10x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－3/10；
（2）原方程化为7x（3－x）－6（x－3）＝0，
因式分解，得（x－3）（－7x－6）＝0，
于是得x－3＝0或－7x－6＝0，
x1＝3，x2＝－6/7；
（3）原方程化为9（x－2）2－4（x＋1）2＝0，
因式分解，得
［3（x－2）＋2（x＋1）］［3（x－2）－2（x＋1）］＝0，
即（5x－4）（x－8）＝0，
于是得5x－4＝0或x－8＝0，
x1＝4/5，x2＝8．
4.已知（a2＋b2）2－（a2＋b2）－6＝0，求a2＋b2的值．
分析：若把（a2＋b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2＋b2）为未知数的一元二次方程．
解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0．
a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×（－6）×1＝25＞0，
x＝125
2
，∴x1＝3，x2＝－2．
即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补
充.
课后作业
布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题.
教学反思
这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.。