人教A版数学必修一福建省罗源县第一中学高中数学(必修一)配套检测：第一章综合素质检测..docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2012.10
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)
1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于() A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}
C．{1,3,7,8} D．{1,3,6,7,8}
[答案] C
[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.
2．(09·陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)
<0，则()
x2－x1
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)
C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
[答案] A
[解析]若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)<f(x1)，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∵3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，
又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，
∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 3．已知f (x )，g (x )对应值如表.
x 0 1 －1 f (x )
1
－1
x 0 1 －1 g (x )
－1
1
则f (g (1))的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．不存在
[答案] C
[解析] ∵g (1)＝0，f (0)＝1，∴f (g (1))＝1.
4．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1
D ．3x ＋4
[答案] C
[解析] 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1 (x ≥2)
－x 2＋3x (x <2)
，则f (－1)＋f (4)的值为( )
A ．－7
B ．3
C ．－8
D ．4
[答案] B
[解析] f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (4)＋f (－1)＝3，故选B.
6．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{2}
B ．(－∞，2]
C ．[2，＋∞)
D ．(－∞，1]
[答案] C
[解析] f (x )＝－(x －m 2)2＋m 24的增区间为(－∞，m 2]，由条件知m
2≥1，∴m ≥2，故选C.
7．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．A
D ．B
[答案] D
[解析] A *B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．
因此(A *B )*A 是图中阴影部分与A 的并集，除去A 中阴影部分后剩余部分即B ，故选D.
[点评] 可取特殊集合求解．
如取A ＝{1,2,3}，B ＝{1,5}，则A *B ＝{2,3,5}，(A *B )*A ＝{1,5}＝B . 8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝
(a －b )2，则函数f (x )＝ 为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．奇函数且为偶函数
D ．非奇函数且非偶函数 [答案] A
[解析] 由运算与⊗的定义知， f (x )＝
4－x 2
(x －2)2－2，
∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2， ∴f (x )＝4－x 2(2－x )－2
＝－4－x 2
x ，
∴f (x )的定义域为{x |－2≤x <0或0<x ≤2}， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
9．(08·天津文)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2， x ≤0，
－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
[答案] A
[解析] 解法1：当x ＝2时，f (x )＝0，f (x )≥x 2不成立，排除B 、D ；当x ＝－2时，f (x )＝0，也不满足f (x )≥x 2，排除C ，故选A.
解法2：不等式化为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ≤0x ＋2≥x 2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0－x ＋2≥x 2， 解之得，－1≤x ≤0或0<x ≤1，即－1≤x ≤1.
10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴
趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是( )
A ．最多32人
B ．最多13人
C ．最少27人
D ．最少9人
[答案] D
[解析] ∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人． 11．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1
2，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )
A ．0
B ．1 C.5
2
D ．5
[答案] C
[解析] f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝12，又f (－1)＝－f (1)＝－1
2，∴f (2)＝1，
∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝5
2
.
12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2
－2x ，F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
g (x )，若f (x )≥g (x )，
f (x )，若f (x )<
g (x ).则F (x )的最值是( )
A ．最大值为3，最小值－1
B ．最大值为7－27，无最小值
C ．最大值为3，无最小值
D ．既无最大值，又无最小值 [答案] B
[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·江苏，1)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.
[答案] －1
[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝－1.
14．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2 (n ＝1)
3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝________.
[答案] 18
[解析] 由条件知，f (1)＝2，f (2)＝3f (1)＝6，f (3)＝3f (2)＝18.
15．已知函数f (x )＝2－ax (a ≠0)在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (0,2]
[解析] a <0时，f (x )在定义域上是增函数，不合题意，∴a >0. 由2－ax ≥0得，x ≤2
a ，
∴f (x )在(－∞，2
a ]上是减函数，
由条件2
a
≥1，∴0<a ≤2.
16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．
[答案] 3800元
[解析] 由于4000×11%＝440>420，设稿费x 元，x <4000，则(x －800)×14%＝420， ∴x ＝3800(元)．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件求实数a 的取值范围：
(1)A ∩B ≠∅，(2)A ∩B ＝A .
[解析] (1)因为A ∩B ≠∅，所以a <－1或a ＋3>5，即a <－1或a >2. (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a >5或a <－4. 18．(本题满分12分)二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；
(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.
又∵f (x )最小值为1，∴可设f (x )＝a (x －1)2＋1 (a >0)
∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －1)2＋1， 即f (x )＝2x 2－4x ＋3.
(2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <1
2
.
19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f (x )的局部图象，已知f (x )的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f (1)与f (3)的大小．
[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f (3)>f (1)．
20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？
[解析] 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ，则AF ＝40－y . ∵△AFE ∽△ACB .
∴
AF AC ＝FE
BC 即∴40－y 40＝x 60
∴y ＝40－2
3
x .剩下的残料面积为：
S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600 ∵0<x <60∴当x ＝30时，S 取最小值为600，这时y ＝20.
∴在边长60cm 的直角边CB 上截CD ＝30cm ，在边长为40cm 的直角边AC 上截CF ＝20cm 时，能使所剩残料最少．
21．(本题满分12分)
(1)若a <0，讨论函数f (x )＝x ＋a
x ，在其定义域上的单调性；
(2)若a >0，判断并证明f (x )＝x ＋a
x 在(0，a ]上的单调性．
[解析] (1)∵a <0，∴y ＝a
x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，
又y ＝x 为增函数，∴f (x )＝x ＋a
x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．
(2)f (x )＝x ＋a
x 在(0，a ]上单调减，
设0<x 1<x 2≤a ，则f (x 1)－f (x 2)
＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋a
x 2)＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2
＝(x 1－x 2)(1－a
x 1x 2
)>0，
∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，a ]上单调减．
22．(本题满分14分)设函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝ax . (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )<g (x )．
(2)记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，a ]上的最小值(a >0)． [解析] (1)|x －2|<2x ，则
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2<2x .或⎩⎪⎨⎪⎧
x <2，2－x <2x .
∴x ≥2或23<x <2.即x >23
.
(2)F (x )＝|x －a |－ax ，∵0<x ≤a ， ∴F (x )＝－(a ＋1)x ＋a . ∵－(a ＋1)<0，
∴函数F (x )在(0，a ]上是单调减函数，∴当x ＝a 时，函数F (x )取得最小值为－a 2.。