《二次根式的性质》课件精品 (公开课)2022年数学PPT

解：(1 )x2 3x3x3.
(2)y4
4y2 4
y2
2
2
y2
2
22
2
2
y 2 y 2 .
归纳 本题逆用了( a)2aa≥0在实数范围内分解因式.
在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解 因式的方法和公式仍然适用.
练一练 计算：
(1 )(5 ) 2 ；(2 )(2 2 ) 2 .
练一练 计算：
(1 )(-2 )2；(2 )(-1 .2 )2.
解: (1)(-2)2 =22=2.
(2)(-1.2)2=1.22=1.2.
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
(1) 2 2 2
2
(2) 2 2
2
(3) 2 2
（×） （× ） （√ ）
(4) 2 2 2 （√ ）
正方形的边长为 a ，
用边长表示正方形的面积为 a 2 ，
又∵面积为a，
即
2
a a.
这个式子是不是对所有 的二次根式都成立呢？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面 根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0) 算术平 0 方根
2
a
平方 ( a )2
0 0 运算
b
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） ( 4 ) 2 ＝ 4 ;
（3） 7 2
7
2
; （4） 81
81 .
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 a2 (a1)2
的结果是 1
.
-1 0 1 a 2
6.利用a ＝ ( a ) 2（a≥0），把下列非负数分别写成
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第2课时 二次根式的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想
的思想方法.（重点） 2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
导入新课
情景引入
问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0
-4
1
-1
二 多重符号的化简 问题1：a的相反数是什么？
a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数. 问题2：如何求一个数的相反数？
在这个数前加一个“－”号．
问题3：若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相 反数怎样表示？
a = +5， a = -7， a = 0，
- a = -（+5） - a = -（-7） -a = 0
A. ±4 B. ±2 C. 4
D.-4
2. 当1<x<3时， ( x 3 ) 2 的值为（ D ）
x3
A.3
B.-3
C.1
D.-1
3.下列式子是代数式的有
( C)
①a2+b2 ; ② a b ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）;
⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧ a c .
1.在下列各式中. 2
D．2 x 2 y 2
3
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式
中不能含有“=”“＞”或“＜”等.
2.如图是一圆形挂钟，正面面积 为S，用代数式表示出钟的半径 为_____πS _____.
当堂练习
1.化简 1 6 得（ C ）
∴ a2 42aa2 222.
(2)已知a为实数，求代数式 a49aa2的值. 解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0， ∴a2=0，∴a=0， ∴ a 4 9 a a 2 4 9 2 3 1 .
课堂小结
性质
( a)2a (a0)
a 2 ＝a (a ≥0).
二次根式
拓展性质
a 2 |a|（a为全体实数）
02 = 0
2
2
2 2
4
42
22 = 4
2
1 3
...
1
3
...
1 3
...
1 3
观察两者有什么关系？
根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究 过程说明理由：
2 0 __0___;
2
2 __2___;
2
4 ___4____;
1 3
2
1 3 ________
.
2 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
第一章 有理数
1.2 有理数
1.2.3 相反数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相 反数的两个点关于原点对称.（难点） 2.会求有理数的相反数.(重点）
导入新课
情境引入1
成语故事《南辕北辙》讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置， 假设楚国与魏国相距30 km，以魏国为原点0，我们规 定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走 了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来．
0的相反数是___0__. 一个正数的相反数是一个 负数 。 一个负数的相反数是一个 正数 。 一个数的相反数是它本身的数是 __0____．
探究二 相反数的几何意义
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观 察这两个点具有怎样的特征？
-5
-a -1 0 1 a 5
位于原点两侧，且与原点的距离相等.
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c．
三 代数式的定义
概念学习
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方
和开方）把 数 或 表示数的字母 连接起来的
式子，我们称这样的式子为代数式.
想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有
哪几类？
整式
代数式 分式
2 是一个平方等于2的非负数.因此 2 2 2 .
同理， 0 ,
4,
1 分别是0,4，1 的算术平方根，即
3
3
得上面的等式.
归纳总结
( a)2 (a0)的性质：
一般地，( a ) 2 ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点？借助数轴填一填：
1.数轴上与原点距离是2的点有_两___个，这些点表示的
数是_2_和__-_2___； 2.与原点的距离是5的点有_两___个，这些点表示的数是
__5_和__-_5__.
-5
-2 0 2
5
要点归纳
1.互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）； 2.互为相反数的两个数到原点的距离相等.
一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ；
(2)5 ；
( 9 )2
(4) 0.25 ；
2
1 4
( 5 )2
1
(5)
；
2
2
1 2
(3) 2.5 ；
5 2 2
(6)0 .
( 0 )2
能力提升： 7.(1)已知a为实数，求代数式 a242aa2的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0， ∴a=-2，
1
4
1
1
2
4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是 非负数哟
问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过
两扇门出来呢？
0
-4
1
我们都是非负数，
可出来1之前我们有 -1 正数，4零和负数.
1
1
11 661
44
a为任意数
平方之门
a
a2
思考 你发现了什么？
算术平方根之门
a2
讲授新课
一 ( a )2 （a≥0）的性质 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积 为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积， 你发现了什么？
典例精析
例1 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
(2 )(25 )2 2 2 (5 )2 4 5 2 0 .
积的乘方： （ab）2=a2b2
例2 在实数范围内分解因式：
(1) x 2 3;
(2)y4 4y2 4.
a(a＜0) 平方 -2 运算
-0.1
2
...3
a2
算术平 a 2
4
方根
2
0 .0 1
0 .1
4
2
.9 ..
.3..
观察两者有什么关系？
归纳总结
a2 (a 0) 的性质：
a 2 a
a (a≥0) -a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的 绝对值.
例3 化简： (1) 16 ;
思考： 1）上述各对数之间有什么特点？ 2）请写出一组具有上述特点的数 3）你能得出相反数的概念吗？ 4）表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？
讲授新课
活动2：请观察这两个数，它们有什么异同点？你还能 列举两个这样的数吗？
符号不同
2.5
2.5
数字相同
要点归纳
1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
(3) 102 ;
(2) (5)2；
(4) (3.14π)2.
解：(1) 16 42 4.
(2) (5)2 52 5.
(3) 102= 1012=101=101.
(4 )(3 .1 4 π )2=3 .1 4 π = π 3 .1 4 .
注意 a 2 a ，而3.14＜π，要注意a的正负性.
例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
a b c 2b c a 2c b a 2.
分析：
利用三角形 三边关系
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a
＞0，c-b-a＜0
解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
议一议：如何区别( a ) 2 与 a 2 ？
从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看
意义
( a )2
a2
先开方,后平方 先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
表示一个非负 数a的算术平 方根的平方
|a|
表示一个实数 a的平方的算 术平方根
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
请你化简: a2 b2 ab2.
二次根式
例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中 的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水 行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的 长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
解：（1）船在这条河中顺水行驶的
速度是 (v 2.5) km/h，逆水行驶的速度 是 (v 2.5) km/h．
解: (1) (5)25.
( 2 )( 2 2 ) 2 = 2 2 (2 ) 2 = 4 2 = 8 .
二 a 2 的性质
填一填：
a 2 ＝a (a≥0).
a(a≥0) 平方 2 运算
a2
算术平 a 2
4
方根
2
0.1
0 .0 1
0 .1
2
4
2
3
9
3
0
0
0
...
...
...
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时， a 2 =-？a
现在的位置
魏国
楚国
B
O
A
-30 -20 -10 0 10 20 30
情境引入2
两位同学背靠背，规定向前为正，
一人向前走3步，记作
,
一人向后走3步 ，记作
.
对照数轴,说出-3与+3两数的相同点和不同点. 你还能说出具备这些特征的成对的数吗？
一 相反数
探究一 相反数的概念
活动1：观察下列一组数＋1和－1，＋2.5和－2.5， ＋4和－4，并把它们在数轴上表示出来.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，
所以 x
S 15
,
所以它的长为5
S. 15
归纳总结
列代数式的要点： ①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之 间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、 倍、分、倒数、相反数等； ②理清语句层次明确运算顺序； ③牢记一些概念和公式．
练一练
几何意义
3.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和 -a，这两点关于原点对称.
归纳总结
1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是 a的点有___两__个，它们分别在原点的__左__右__，表示 __-_a_和__a_，我们说这两点_关__于__原__点__对__称_____.
2.一般地，a和-a互为相反数.
代数意义
练一练
判断题：
（1）－5是5的相反数;（√ ）
（2）－5是相反数;（ × ）
（3）2
1 2
与
1 2
互为相反数;（ ×
）
（4）－5和5互为相反数；（ √ ）
（5） 相反数等于它本身的数只有0； ﹙√ ﹚ （6） 符号不同的两个数互为相反数.﹙ ×﹚
结合数轴考虑：
a
b
•
•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.
【变式题】 实数a、b在数轴上的对应点如图所 示，化简： a24ab4b2ab.
解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 a24ab4b2ab =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． 注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要 要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.