集合的基本运算

交集的运算性质：
（1） ∩ = ，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2） ∩ ∅ = ∅，即任何集合与空集的交集等于空集.
若A B，则A B A.
若A B A，则A B.
探究三：补集
思考3：求方程 ሺ − 2)ሺ 2 − 3) = 0 在有理数范围内的解集，在
2 ，，，，
3 4 5 6 ，A {1，，
2 3}，B 5 ，，，
6 7 8 ，则
B
U
A 中元素的个数为( B )
A.4
B.5
解析：
为 5.故选 B.
U
A {4 ，，
5 6} ，B
C.6
U
A {4 ，，
5 6，
7，
8} ，所以 B
D.7
U
A 中元素的个数
4. 已知集合 A 1，
试用集合的运算表示 1 ， 2 的位置关系.
解：平面内直线 1 ， 2 可能有三种位置关系，即相交于一点、平
行或重合.
（1）直线 1 ， 2 相交于一点 P 可表示为 1 ∩ 2 = { 点 ሽ；
（2）直线 1 ， 2 平行可表示为 1 ∩ 2 = ∅；
（3）直线 1 ， 2 重合可表示为 1 ∩ 2 = 1 = 2 .
2. 已知集合 M {x | x 2} ，N {x | 1 x 1 1} ，则( D )
A. M N
B. M
NN
C. M
N R
解析：由题知，集合 N x | 0 x 2 ，所以 M
D. M
NN
N {x | 0 x 2} .故选 D.
3. 已知集合 U 1，
（CU A） B {x | 3 x 4} .
性质
(1) A （C U A） U
(2)A （C U A）=
(3)若（C U A） B=, 则B A
(4)若（C U A） B=U , 则A B
1. 已知全集 U 0 ，，
1 2，
3 ，集合 A 0 ，
1 ，B 1，
2，
4 ，则
U
(A
3 ，5
B) ________.
解析： A
B 1，
2，
4 ， U ( A
B) {3 ，
5} .
1. 并集、交集、补集的概念及Venn图表示；
2. 集合的运算性质及其相关运算.
实数范围内的解集.
方程在有理数范围内只有一个解2，解集为{ ∈ |ሺ − 2)ሺ 2 −
3) = 0ሽ = {2ሽ ，
在实数范围内有三个解：2 ， 3 ， − 3 ，解集为൛ ∈ |ሺ −
2)ሺ 2 − 3) = 0ሽ = {2 ， 3 ， − 3ൟ.
全集定义： 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元
解：根据三角形的分类可知， ∩ = ∅，
∪ = {x | x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁ ሺ ∪ ) = {x | x是直角三角形}.
例7
已知全集 U=R，集合 A {x | x 3}, B {x | 2 x 4}.求(CU A) B.
Байду номын сангаас
解： CU A {x | x 3},
2 ，，
3 6 ， B x | 2 x 3 ，则 A
解析： A
B 1，
2 ，，
3 6 {x | 2 x 3} 1，
2 .
−1 ， 2
B __________.
5. 已知全集 U 1，
2 ，，
3 4，
5 ， A 1，2 ， B 1，
B”，即 ∪ = {| ∈ ，或 ∈ ሽ.
用Venn图表示为
例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，求 ∪ .
解： ∪ = {4，5，6，8} ∪ {3，5，7，8} = {3，4，5，6，7，8}.
例2 设集合A = {x | -1 < x < 2}，集合B = {x | 1 < x < 3}，求 ∪ .
（2）A ={x | x是有理数}，B ={x | x是无理数}，C ={x | x是实数}.
可以看出，集合 C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组
成的.
并集定义： 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的
集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 ∪ ，读作“A并
素，那么就称这个集合为全集，记作U.
补集定义： 对于一个集合 A ，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素
组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集
合 A 的补集，记作 ∁ ，即 ∁ = {| ∈ ，且 ∉ ሽ.
用Venn图表示为
A
∁
例5 设 U = {x | x是小于9的正整数}，A ={ 1，2，3 }，B ={ 3，4，
（1）A ={ 2，4，6，8，10 }，B ={ 3，5，8，12 }，C ={8}；
（2）A ={x | x是立德中学今年在校的女同学}，
B ={x | x是立德中学今年在校的高一年级同学}，
C ={x | x是立德中学今年在校的高一年级女同学}.
可以看出，集合 C 是由所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元素
组成的.
交集定义： 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的
集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作 ∩ ，读作“A交
B”，即 ∩ = {| ∈ ，且 ∈ ሽ.
用Venn图表示为
在思考2中，集合 A 与 B 的交集是 C，即 ∩ = .
例3 立德中学开运动会，设A ={x | x是立德中学高一年级参加百米
3 ，则 A
A. 0 ，
2
B. 0 ，3
C. 0 ，，
1 2
CU B ( C
)
D. 0 ，，
1 3
解析：因为 U 0 ，，
1 2，
3 ，B 1，
3 ，所以 CU B 0 ，
2 ，又 A 0 ，
1 ，
所以 A
1 2 .故选 C.
CU B 0 ，，
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算，
类比实数的运算，集合是否也有类似的运算呢？
探究一：并集
思考1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，说出集合 C 与
集合 A，B 之间的关系.
（1）A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，C ={1，2，3，4，5，6}；
5，6 }，求 ∁ ，∁ .
解：根据题意可知，U = { 1，2，3，4，5，6，7，8 }，所以
∁ = { 4，5，6，7，8 }，
∁ = { 1，2，7，8 }.
例6 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x | x是锐角三角形}，
B = {x | x是钝角三角形}，求 ∩ ，∁ ሺ ∪ ).
思考：若 A B，
,则 A∪B 与 B 有什么关系？
若A B，则A B B.
若A B B，则A B.
练习：已知集合A x | 0 x a , B x |1 x 2 ,
若A B A, 求实数a的取值范围.
探究二：交集
思考2：观察下面的集合，说出集合A，B与集合C之间的关系.
赛跑的同学}，B ={x | x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，
求 ∩ .
解： ∩ 就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加
跳高比赛的同学组成的集合.所以
∩ ={x | x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比
赛的同学}.
例4 设平面内直线 1 上点的集合为 1 ，直线 2 上点的集合为 2 ，
解：法一： ∪ = {x | −1 < x < 2} ∪ {x | 1 < x < 3} = {x | −1 < x < 3}.
法二：利用数轴直观表示.
根据并集的概念及Venn图，得出并集的运算性质：
（1） ∪ = ，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2） ∪ ∅ = ，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.