(4份试卷汇总)2019-2020学年天津市河北区中考第二次大联考数学试卷

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题
1．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式22
122
1
24
2011
2
x x x
x
+-
++的值是（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
2．下列命题是真命题的是（）
A．一元二次方程一定有两个实数根
B．对于反比例函数y＝
2
x
，y随x的增大而减小
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．使分式
3
3
x-
有意义的x的取值范围是（）
A．x≤3B．x≥3C．x≠3D．x＝3
4．下列计算正确的是（）
A.224
x x x
-•= B.()236
x x
-= C.236
x x x
•= D.()222
m n m n
-=-
5．四位同学在研究函数2
y ax bx c
=++（a，b，c是常数）时，甲发现当x=-1时函数的最小值为-1；乙发现4a-2b+c=0成立；丙发现当x<1时，函数值y随x的增大而增大；丁发现当x=5时，y=-4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．小明家1至6月份的用水量统计如下表：
月份 1 2 3 4 5 6
用水量（吨） 4 6 3 5 6 6
A．众数是6 B．平均数是5 C．中位数是5 D．方差是
4
3
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法错误的是
A．abc＜0 B．a﹣b+c＜0 C．3a+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞0
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，将△ABC沿CF折叠，点B落在AC上的点E处，则
AF
FB
等于（）
A ．
12
B ．
35
C ．
53
D ．2
9．如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，∠ABG ＝46°，则∠FAE 的度数是（ ）
A.26°．
B.44°．
C.46°．
D.72°
10．抛物线2
y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过点(0,2)，且关于直线1x =-对称，()1,0x 是抛物线与x 轴的一个交点.有下列结论：①方程22ax bx c ++=的一个根是x=-2；②若112x <<，则
21
34a -<<-；③若4m =时，方程2ax bx c m ++=有两个相等的实数根，则2a =-；④若3
02
x -
≤≤时，23y ≤≤，则1a =-.其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．下列计算正确的是（ ）
A ．（a 2b ）2＝a 2b 2
B ．a 6÷a 2＝a 3
C ．（3xy 2
）2
＝6x 2y 4
D ．（﹣m ）7
÷（﹣m ）2
＝﹣m 5
12．已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ） A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） B ．（4，2）或（﹣4，2） C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）
二、填空题
13．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n 的正方形图案，则其中完整的圆共有__个．
14．若反比例函数k
y x
=
的图象经过点(1，3)，则k 的值是___________.
15．（3分）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
16．如图，在ABC V 中，AB AC 23==，BAC 120∠=o ，点D 、E 都在边BC 上，DAE 60.
∠=o
若BD 2CE =，则DE 的长为______．
17．如图以直角三角形ABC 的斜边BC 为边在三角形ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB=4，AO=62，则AC= ________
18．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第 个三角形数是55，第n 个三角形 数是 ． 三、解答题
19．如图，一次函数21y =x -与反比例函数k
y x
=在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，且3AB BC =.
（1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式；
（2）现以点A 为中心，把线段AC 逆时针旋转90o 得到'AC ； ①请在图中作出线段'AC ；
②请直接写出'C 的坐标，并判断'C 是否在已知得双曲线上.
20．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB ＝xm ，花园的面积为Sm 2
． （1）若花园的面积为192m 2，求x 的值；
（2）写出花园面积S 与x 的函数关系式．x 为何值时，花园面积S 有最大值？最大值为多少？ （3）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是a （14≤a≤22）和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S 的最大值为y ，直接写出y 与a 的关系式．
21．如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°． （1）求证：△ACB ≌△BDA ；
（2）若∠ABC ＝36°，求∠CAO 度数．
22．先化简，再求值：（2﹣11x x -+）2269
1
x x x ++÷-，其中x ＝tan45°+（12）﹣1
23．阅读下列材料，解答后面的问题：
21+32
+321+32+23
+=2-1=1 21+32+23
+52+5（1）写出下一个等式；
（221
+32+23+10099+
（3101100+21202119
+2120100）的运算结果．
24．某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本价格是乙种图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲种图书比用800元单独购买乙种图书要少24本．求： （1）乙种图书每本价格为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙种图书的本数比购买甲种图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲种图书？
25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下 分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n 90≤x≤100
20
0.1
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数m ＝ ，n ＝ ； （2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是 ； （4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C B A C D C A D D
A
13．n 2+（n ﹣1）2 14．3 15．x≥1． 1633． 17． 18．
1
(1)2
n n + . 三、解答题 19．（1）6
;y x
=（2）①详见解析；②'6,1C （）,点在双曲线上. 【解析】 【分析】
（1）过点A 作AD ⊥x 轴，令x=0，y=0，分别求出BO ，OC 的长，再根据△BOC ∽△BDA 求出BD ，AD 的长，从而可求出点A 坐标，得出结论； （2）①根据题意作图即可；
②过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，过点C '作C 'E ⊥AD 于点E ，通过证明△C AE '≌△ACF ，可得点C '的坐标，再代入反比例函数进行难即可. 【详解】
（1）分别把0x =，0y =代入21y x =-可得：(0,1), (0.5,0)C -B 过A 作AD x ⊥轴于D ，
则BOC BDA ∆∆:， ∴
3AD BD AB
OC OB BC ===， 1,0.5,OC OB ==Q
∴=3, 1.5,AD BD = ∴2OD =
(2,3)A ∴
6y x
∴=
（2）①作图如下：
②过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，过点C '作C 'E ⊥AD 于点E ，
∴90AFC AEC '∠=∠=︒ ∵AC '⊥AC ， ∴∠CAF+∠C AE '=90° ∵∠'C =∠CAF ， ∵AC=A 'C , ∴△ACF ≌△'C AE ， ∴ 'C E=AF ，AE=CF
∵CF=OD=2，AF=AD+DF=AD+OC=3+1=4， ∴点'C 的横坐标为4+2=6，纵坐标为3-2=1，
∴'6,1C （）,
把x=6代入6y x =
得y=6
=16
. 所以，'6,1C （）点在双曲线上.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的相关问题，涉及待定系数法求函数解析式，综合性较强． 20．（1）花园的面积为192m 2
，x 的值为12m 或16m ；（2）x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a ）2+196． 【解析】 【分析】
（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S ＝x （28−x ）＝−x 2＋28x ＝−（x −14）2＋196，再利用二次函数的性质求解； （3）根据题意确定x 的取值范围，利用二次函数增减性计算即可． 【详解】
解：（1）依题意得 S ＝x （28﹣x ）， 当S ＝192时，有S ＝x （28﹣x ）＝192， 即x 2
﹣28x+192＝0， 解得：x 1＝12，x 2＝16，
答：花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ； （2）由题意可得出： S ＝x （28﹣x ） ＝﹣x 2+28x
＝﹣（x ﹣14）2
+196，
答：x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2； （3）依题意得：
286x a x -≥⎧⎨
≥⎩
， 解得：6≤x≤28﹣a ，
S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2
+28x ＝﹣（x ﹣14）2
+196， ∵a ＝﹣1＜0，当x≤14，y 随x 的增大而增大， 又6≤x≤28﹣a ，
∴当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，
∴y ＝﹣（28﹣a ﹣14）2
+196＝﹣（14﹣a ）2
+196． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S 与x 的函数关系式是解题关键． 21．（1）证明见解析（2）18° 【解析】 【分析】
（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD 即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可． 【详解】
（1）证明：∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△ABC 和△BAD 都是Rt △， 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
AD BC
AB BA
=⎧⎨
=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）； （2）∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝36°， ∵∠C ＝90°， ∴∠BAC ＝54°，
∴∠CAO ＝∠CAB ﹣∠BAD ＝18°． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”． 22．
13
. 【解析】 【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题. 【详解】
解：（2﹣11x x -+）22
69
1
x x x ++÷- ＝22(1)(1)(1)(1)
1(3)x x x x x x +--+-=÷++
＝2
221(1)(1)
1(3)x x x x x x +-++-=
⋅++
＝23(1)(1)1(3)x x x x x ++-⋅++ ＝
1
3
x x -+ ， 当x ＝tan45°+（12）﹣1＝1+2＝3时，原式＝
311
333
-=+ ． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
23．（1
=；（2）9；（3）2020． 【解析】 【分析】
（1）利用前面的规律写出下一个等式；
（2）利用题中的等式规律得到原式1；
（3）先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算． 【详解】
（1
-1；
（2）原式
=10-1
=9；
（3）原式=）
=）
=2120-100
=2020．
【点睛】
本题考查了二原式=次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（1）乙种图书每本价格为20元；（2）该图书馆最多可以购买10本甲种图书．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得乙种图书每本的价格；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得该图书馆最多可以购买多少本甲种图书．
【详解】
（1）设乙种图书每本价格为x元，则甲种图书每本价格为2.5x元，
800800
24
+=，
2.5x x
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
答：乙种图书每本价格为20元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（2a+8）本，
由（1）知乙种图书每本20元，则甲种图书每本50元，
50a+20（2a+8）≤1060，
解得，a≤10，
答：该图书馆最多可以购买10本甲种图书．
【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验．
25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人
【解析】
【分析】
（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值；
（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；
（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；
（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，
则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，
故答案为：200、90、0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；
（4）600×6020
200
＝240，
答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．
【点睛】
本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的面积为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64 2．某市今年约有140000人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表示140000为( ) A ．41410⨯
B ．31410⨯
C ．41.410⨯
D ．51.410⨯ 3．下列计算结果正确的是（ ）
A.（﹣a ）2•a 6＝﹣a 8
B.（m ﹣n ）（m 2+mn+n 2）＝m 3﹣n 3
C.（﹣2b 2）3＝﹣6b 6
D.
4．已知点P （a+1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A.﹣1＜a ＜
B.﹣＜a ＜1
C.a ＜﹣1
D.a> 5．已知a 是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的根，则代数式﹣2a 2+6a+2019的值为（ ）
A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017
6．在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是23，则袋中原有黑球（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6 7．如图，P 是抛物线y ＝﹣x 2+x+3在第一象限的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A 、
B ，则四边形OAPB 周长的最大值为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．8
D ．38．下列函数中，自变量x 的取值范围为x ＞1的是（ ）
A ．1y x =-
B ．11
-=x y C ．11-=x y D ．y ＝（x ﹣1）0
9．如图，抛物线21y x 3x 42
=
++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ，则ABC V 的面积为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
10．如图，AB 为O e 的直径，P 为BA 延长线上的一点，D 在O e 上（不与点A ，点B 重合），连结PD 交O e 于点C ，且PC=OB ．设,P B αβ∠=∠=，下列说法正确的是（ ）
A ．若30β︒
=，则120D ︒∠=
B ．若60β︒= ，则90D ︒∠=
C ．若10α︒= ，则»150A
D ︒=
D ．若15α︒= ，则»90AD ︒=
11．如图，菱形ABCD 的边AB=5，面积为20，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB 、AD 都相切，AO=2，则⊙O 的半径长等于（ ）
A ．235
B ．55
C ．335
D ．255
12．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）
A ．正六边形
B ．正七边形
C ．正八边形
D ．正九边形
二、填空题
13．已知关于x 的方程x 2﹣（a+b ）x+ab ﹣1＝0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③x 12+x 22＜a 2+b 2；④当a+b ＝ab 时，方程有一根为1．则正确结论的序号是_____．（填上你认为正确结论的所有序号）
14．如图，在平行四边形ABCD 中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD 是菱形．
15．如图，已知AD ∥BC ，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要添加的一个条件是：____．(填一个你认为正确的条件即可，不再添加任何线段与字母)
16．圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积等于_____cm2．
17．若二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h= ．18．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝75°，则∠B＝_____．
三、解答题
19．已知：在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且满足∠ABD＝∠ACE，求证：AD•CE＝AE•BD．
20．先化简，再求值:
2
2
21
1
211
x x
x
x x x
⎛⎫
-
÷-+
⎪
-+-
⎝⎭
，其中21
x=+.
21．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC．以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D．分别以B、D
为圆心，大于1
2
BD的长为半径作弧，两弧交于点E．作射线CE交AB于点M．分别以A、C为圆心，CM、
AM的长为半径作弧，两弧交于点N．连接AN、CN
（1）求证：AN⊥CN
（2）若AB＝5，tanB＝3，求四边形AMCN的面积．
22．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD.（结果取整数，参考数
据:tan58°≈1.60,tan48°≈1.11）.
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E在AB上，连接DE并延长交CA的延长线于点F，且∠AEF＝2∠C．
（1）判断直线FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝2，EF＝4，求⊙O的半径．
24．如图，直线m：y＝kx（k＞0）与直线n：
3
23
y x
=-+相交于点C，点A、B为直线n与坐
标轴的交点，∠COA＝60°，点P从O点出发沿线段OC向点C匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从点A出发沿线段AO向点O匀速运动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t秒．
（1）k＝；
（2）记△POQ的面积为S，求t为何值时S取得最大值；
（3）当△POQ的面积最大时，以PQ为直径的圆与直线n有怎样的位置关系，请说明理由．
25．重庆小面是一款发源于山城重庆的地方特色传统小吃，是重庆最受欢迎的美食之一．重庆小面佐料丰富且用料考究，不同店面还根据自身菜谱加入豌豆、牛肉、肥肠、杂酱等，口感独特，麻辣鲜香，近年来闻名全国，某天，小明家花了48元购买牛肉面作为早饭，小华家花了28元购买豌豆面作为早饭，且小明家购买牛肉面的碗数与小华家购买豌豆面的碗数相同．已知面馆一碗豌豆面的价格比一碗牛肉面的价格少5元．
（1）求购买一碗豌豆面和一碗牛肉面各需要多少元？
（2）面馆一碗豌豆面的成本为4元，一碗牛肉面的成本为7元，某天面馆卖出豌豆面和牛肉面共400碗，且卖出的豌豆面和牛肉面的总利润不低于1800元，则面馆当天至少卖出牛肉面多少碗？
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13．①②④．
14．AB=BC(或AC ⊥BD)答案不唯一
15．AD=BC,AB ∥DC, ∠A=∠C, ∠B=∠D 等
16．20π
17．
18．40°
三、解答题
19．详见解析.
【解析】
【分析】 根据相似三角形的判定可证明△ABD ∽△ACE ，然后利用相似三角形的性质即可求证答案．
【详解】
证明：∵∠ABD ＝∠ACE ，∠A ＝∠A ，
∴△ABD ∽△ACE ，
∴AD AE BD CE =， 即AD•CE＝AE•BD．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
20. 【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
2
221(1)1
21x x x x x x -÷-+--+， ＝2221(1)(1)(1)1
x x x x x x ----÷-- ＝222211(1)21
x x x x x x --⋅--+- ＝
211121x x x -⋅-- ＝11
x -，
当1x =
== 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（1）详见解析；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由作图可知四边形AMCN是平行四边形，CM⊥AB，据此即可得答案；
(2)在Rt△CBM中，利用tan∠B＝CM
BM
＝3，由此可以设BM＝k，CM＝3k，表示出AM，然后在Rt△ACM
中，利用勾股定理求出k的值，继而求得CM＝3，AM＝4，利用矩形面积公式即可求得答案. 【详解】
(1)由作图可知：CN＝AM，AN＝CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵CM⊥AB，
∴∠AMC＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴∠ANC＝90°，
∴AN⊥CN．
(2)在Rt△CBM中，∵tan∠B＝CM
BM
＝3，
∴可以假设BM＝k，CM＝3k，
∵AC＝AB＝5，
∴AM＝5﹣k，
在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，
∴25＝(3k)2+(5﹣k)2，
解得k＝1或0(舍弃)，
∴CM＝3，AM＝4，
∴四边形AMCN的面积＝CM•AM＝12．
【点睛】
本题考查了作图——复杂作图，矩形的判定，勾股定理等，熟练掌握作图的基本方法是解题的关键. 22．乙建筑物的高度CD约为38m.
【解析】
【分析】
作AE⊥CD于E，根据正切的定义分别求出CE、DE，得到答案．
【详解】
解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形.
∴AE=BC=78
在Rt△ACE中，tan58°=CE AE
∴CE=AE ·tan58°≈78×1.60=124.8(m)
在Rt△ADE中，tan48°=DE AE
∴DE= AE ·tan48°≈78×1.11=86.58(m)
∴CD=CE—DE=124.8—86.58≈38(m)
即乙建筑物的高度CD约为38m.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（1）直线FD与⊙O相切，理由详见解析；（2）⊙O的半径为23．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据已知条件得到∠AEF＝∠AOD，等量代换得到∠AOD＋∠AED＝180°，求得∠ODF＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到∠F＝30°，AF＝3AE23
=，求得OF＝2OD，于是得到OD＝FA，即可得到结论．
【详解】
解：（1）直线FD与⊙O相切；
理由：连接OD，
∵∠AEF＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠AEF＝∠AOD，
∵∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠AOD+∠AED＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线FD与⊙O相切；
（2）∵∠BAC＝90°，AE＝2，EF＝4，
∴∠F＝30°，AF＝3AE23
=，
∵∠ODF＝90°，
∴OF＝2OD，
∴OD＝FA，
∴⊙O的半径为23．
【点睛】
本题利用了切线的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．（1）k3；（2）当t＝3
2
时，S有最大值；（3）直线AB与以PQ为直径的圆O相离，理由详见
解析．
【解析】
【分析】
（1）依据k＝tan∠COA进行求解即可；
（2）如图1所示：过点P 作PD ⊥OA ，垂足为D ．由锐角三角函数的定义和特殊锐角三角函数值可求得PD ＝32t ，然后利用三角形的面积公式列出关系式，最后利用配方法求得三角形面积最大时t 的值即可； （3）如图2所示：过点P 作PD ⊥OA 垂足为D ，过圆心O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．首先证明四边形，四边形OPCE 为矩形，然后求得d 和r 的值即可．
【详解】
（1）k ＝tan ∠COA ＝tan60°＝3．
（2）如图1所示：过点P 作PD ⊥OA ，垂足为D ．
令直线n ：y ＝﹣
33 x+23的y ＝0得：﹣33
x+23＝0，解得x ＝6， ∴OA ＝6． ∵∠COA ＝60°，PD ⊥OA ，
∴3PD OP = ，即3PD t =． ∴PD ＝3t ． 2222133333393(62)(3()())()2222OPQ S t t t t t =⨯-⨯=--+-=--+△ ∴当t ＝32
时，S 有最大值． （3）如图2所示：过点P 作PD ⊥OA 垂足为D ，过圆心O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．
令直线n ：y 33x ＝0得：y ＝3． ∴OB ＝3
∵tan ∠BAO ＝233OB OA = ， ∴∠BAO ＝30°．
∴∠ABO ＝60°．
∴OC ＝OBsin60°＝33 ＝3． ∵∠COA ＝60°，
∴∠BOC ＝30°．
∴∠BOC+∠OBC ＝90°．
∴∠OCA ＝90°．
当t ＝32时，OD ＝3122⨯ ＝34，PD
＝32．DQ ＝3﹣34
＝94 ． ∴tan ∠PQO
＝494
∴∠PQO ＝30°．
∴∠BAO ＝∠PQO ．
∴PQ ∥AB ，
∴∠CPQ+∠PCA ＝180°．
∴∠CPQ ＝180°﹣90°＝90°．
∴∠ECP ＝∠CPO ＝∠OEC ＝90°．
∴四边形OPCE 为矩形．
∴d ＝OE ＝PC ＝OC ﹣OP ＝3﹣
32＝32． PQ
． ∴r ＝PO
＝12． ∵d ＞r ．
∴直线AB 与以PQ 为直径的圆O 相离．
【点睛】
本题主要考查的是直线和圆的位置关系、一次函数、矩形的性质和判定、二次函数的最值、锐角三角函数的综合应用，求得d 和r 的值是解题的关键．
25．（1）购买一碗豌豆面的需要7元，则购买一碗牛肉面需要12元；（2）面馆当天至少卖出牛肉面300碗．
【解析】
【分析】
（1）设购买一碗豌豆面的需要x 元，则购买一碗牛肉面需要（x+5）元，根据题意得到分式方程48285x x
=+，计算并检验即可得到答案； （2）设面馆当天卖出牛肉面a 碗，由题意得到不等式（12﹣7）a+（7﹣4）（400﹣a ）≥1800，解不等式即可得到答案.
【详解】
解：（1）设购买一碗豌豆面的需要x 元，则购买一碗牛肉面需要（x+5）元，
48285x x
=+， 解得，x ＝7，
经检验，x ＝7是原分式方程的解，
∴x+5＝12，
答：购买一碗豌豆面的需要7元，则购买一碗牛肉面需要12元；
（2）设面馆当天卖出牛肉面a 碗，
（12﹣7）a+（7﹣4）（400﹣a）≥1800，
解得，a≥300，
答：面馆当天至少卖出牛肉面300碗．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用和不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，由题意得到等式关系.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若a+b=3，
，则ab 等于（ ） A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣1
2．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N 平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是
A ．先向下移动1格，再向左移动1格
B ．先向下移动1格，再向左移动2格
C ．先向下移动2格，再向左移动1格
D ．先向下移动2格，再向左移动2格 3．下列运算正确的是（ ）
A.236a a a ⋅=
B.336a a a +=
C.22a a -=-
D.326
()a a -= 4．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①a ﹣3b+2c ＞0；②3a ﹣2b ﹣c ＝0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，在矩形ABCD 中，120AOB ∠=︒，3AD =，则AC =（ ）
A ．6
B ．33
C ．5
D ．326．下列说法正确的是（ ）
A ．367人中至少有2人生日相同
B ．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
C ．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是
13 D ．某种彩票中奖的概率是11000
，则买1000张彩票一定有1张中奖 7．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示养心殿的点的坐标为(-2，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(2，3)；②当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示养心殿的点的坐标为(-1，1)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，1. 5)；③当表示保和殿的点的坐标为(1，-1)，表示养心殿的点的坐标为(0，0)时，表示景仁宫的点的坐标为(2，0. 5)；④当表示保和殿的点的坐标为(0，1)，表示养心殿的点的标为(-1，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，3).上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④
9．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A 于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．（-4，0）或（-2，0）D．（-4，0）
10．转动A、B两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。

如图转动A、B各一次配紫色成功的概率是（）
A ．14
B ．13
C ．15
D ．16 11．计算a 2•（a 2）3的结果是（ ） A.a 7 B.a 10 C.a 8 D.a 12
12．如图，正方形ABCD 中，AB ＝3，点E 是对角线AC 上的一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交AB 于点F ，连接DF 交AC 于点G ，下列结论：
①DE ＝EF ；②∠ADF ＝∠AEF ；③DG 2＝GE•GC；④若AF ＝1，则EG ＝
524，其中结论正确的个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题 13．计算82-的结果是_____．
14．如图，AD 和AC 分别是⊙O 的直径和弦，且∠CAD=30°，OB ⊥AD ，交AC 于点B ，若OB=3，则BC=__．
15．直线22y x =+沿y 轴向下移动6个单位长度后，与x 轴的交点坐标为_______
16．某班从三名男生(含小强)和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n 名，若男生小强参加是必然事件，则n=__________．
17．把代数式3244a a a -+分解因式的________________________。

18．已知正比例函数2y x =-，那么y 的值随x 的值增大而________（填“增大或“减小”）
三、解答题
19．某农场造一个矩形饲养场ABCD ，如图所示，为节省材料，一边靠墙(墙足够长)，用总长为77m 的木栏围成一块面积相等的矩形区域：矩形AEGH ，矩形HGFD ，矩形EBCF ，并在①②③处各留1m 装门(不用木栏)，设BE 长为x(m)，矩形ABCD 的面积为y(m 2)
(1)∵S 矩形AEGH ＝S 矩形HGFD ＝S 矩形EBCF ，∴S 矩形AEFD ＝2S 矩形EBCF ，∴AE ：EB ＝ ．
(2)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，矩形ABCD 的面积有最大值？最大值为多少？
20．如图，某轮船在点B 处，测得小岛A 在B 的北偏东60°方向，然后向正东方向航行60海里到点C 处，测得小岛A 在C 的北偏东30°方向．
(1)求小岛A 到这艘轮船航行在点B 时AB 的长度．
(2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D 处，求AD 的距离(精确到1海里)．(7≈2.65)
21．如图，斜坡BE ，坡顶B 到水平地面的距离AB 为4米，坡底AE 为16米，在B 处，E 处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30°，60°，求CD 的长度．（结果保留根号）
22．五一假期，某家庭开展自驾游活动，计划按A→B→C→D 线路游览四个景点，如图，其中A 、B 、C 三景点在同一直线上，D 景点在A 景点北偏东30°方向，在C 景点北偏西45°方向，C 景点在A 景点北偏东75°方向．若A 景点与D 景点的直线距离AD ＝60km ，问沿上述线路从A 景点到D 景点的路程是多少？
23．先化简，再求值：2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭
，其中a 是方程x 2+x ＝1的解． 24．如图，C 是O e 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，O e 的半径为3，2PB =， 4PC =.
（1）求证: PC 是O e 的切线.
（2）求tan CAB ∠的值，
25．（1）△ABC 和△CDE 是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，连结AD 、BE ，求证：△ACD ≌△BCE ．
（2）△ABC 和△CDE 是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠CAB ＝∠CDE ＝30°，CD ＜AC ，△CDE 从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）；
①如图2，DE 与BC 交于点F ，与AB 交于点G ，连结AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BG AG
的值； ②若AB ＝10，DE ＝8，连结BD 、BE ，当以点B 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求BE 的长．
【参考答案】***
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D B A A D A A A
C D 13214．3
15．（2,0）
16．1;
17．2(2)a a -
18．减小
三、解答题
19．(1)2：1；(2)y ＝﹣12x 2+120x(0＜x ＜10)；(3)当x ＝5m 时，y 有最大值，最大值为300m 2．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形面积公式与已知条件“S 矩形AEFD =2S 矩形EBCF ”进行列出方程进行解答；
（2）用x 表示出矩形的长与宽，再由面积公式得y 与x 的函数表达式，根据长与宽的条件限制求出自变量的取值范围便可；
（3）由函数的解析式，根据函数的性质求得结果．
【详解】
（1）∵S 矩形AEFD ＝2S 矩形EBCF ，
∴AE•EF＝2BF•EF，
∴AE ＝2BF ，
∴AE ：BF ＝2：1，
故答案为：2：1；
（2）∵BE ＝x ，
∴AE ＝HG ＝EF ＝2x ，
根据题意得，EF ＝BC ＝7722332
x x --⨯+=40-4x ， ∴y ＝(40﹣4x)•3x，即y ＝﹣12x 2+120x ，
∵0＜BC ＜7732+，且0＜AB ＜77383
+，
∴0＜40﹣4x ＜40，且0＜3x ＜30，
∴0＜x ＜10，
故y＝﹣12x2+120x(0＜x＜10)；
（3）∵y＝﹣12x2+120x＝﹣12(x﹣5)2+300(0＜x＜10)，
∴当x＝5时，y有最大值为：300，
故当x＝5m时，y有最大值，最大值为300m2．
【点睛】
本题是二次函数应用的综合题，主要考查了矩形的性质，矩形的面积计算，列代数式，二次函数的应用，求二次函数的最值．关键是正确表示矩形的长与宽和正确列出函数解析式．
20．(1)小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是603海里；(2)若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里．
【解析】
【分析】
（1）如图，直角△ACE和直角△ABE有公共边AE，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AE表示出CE与BE，根据CB=BE-CE即可列方程，从而求得AE的长，然后根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）求得BE=90海里，则DE=10海里，在直角△AED中，利用勾股定理求得AD的长度即可．【详解】
（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于点E，
则有∠ABE＝30°，∠ACE＝60°．
∴∠CAB＝∠ABE，
∴BC＝AC＝60海里．
在Rt△ACE中，设CE＝x海里，
则AC＝2x，AE22
-3，
AC CE
在Rt△ABE中，AB＝2AE＝3x，
BE22
-＝3x，
AB AE
又∵BE＝BC+CE，
∴3x＝60+x，
∴x＝30．
∴AE3＝3(海里)，
∴AB＝2AD＝603海里)，
答：小岛A到这艘轮船航行在点B时AB的长度是3海里．
（2）由（1）知，AE＝3海里，BE＝90海里，则ED＝(40+60)﹣90＝10(海里)．
+7≈200×2.65＝
∴在直角△AED中，利用勾股定理得：AD22
+2700100
AE DE
530(海里)．
答：若轮船继续往正东方向行驶40海里到点D处，AD的距离约是530海里．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
21．(6)米.
【解析】
【分析】
设DF=x 米，根据正切的定义用x 表示出BF 、CE ，根据题意列方程，解方程得到答案．
【详解】
设DF ＝x 米，则CD ＝（x+4）米，
由题意得，四边形BACF 为矩形，
∴BF ＝AC ，
在Rt △BFD 中，tan ∠DBF ＝
DF BF ，
∴BF ＝tan DF DBF ∠＝0
tan 30x x ， 在Rt △DEC 中，tan ∠DEC ＝
CD CE ，
∴CE x+4），
＝x+4），
解得，x ＝+2，
∴CD ＝，
答：CD 的长度为（）米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．从A 景点到D 景点的路程是)km ．
【解析】
【分析】
作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质求出AE 、DE ，根据正弦的定义求出CD ，根据正切的定义求出CE ，结合图形计算即可．
【详解】
作DE ⊥AC 于E ，
由题意得，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝60°，
在Rt △ADE 中，∠DAC ＝45°，
2
AE DE AD ∴===Rt △CDE 中，∠DCE ＝60°，
sin DE DCE CD ∠=
则CD ＝DE sin DCE
=∠ tan ∠DCE ＝DE EC ，
则CE ＝DE tan DCE
=∠，
∴从A 景点到D 景点的路程＝+=+。