立足整体设计 发展核心概念 奠定核心素养发展基础——以“勾股定理(第一课时)”的教学设计为例

立足整体设计发展核心概念奠定核心素养发展基础——以“勾股定理（第一课时）”的教学设计为例
池雪妮1柯跃海2
1福建省福州屏东中学（350000）2福建师范大学数学与信息学院（350117）
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性．”“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想．”
为体现义务教育阶段数学课程的发展性及其培养关注，《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：“高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、选择性和发展性．”“数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养．”“数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．”“还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．”
整体研读两个课程标准的相关表述，容易明确：义务教育阶段十个数学核心概念的发展旨在为高中教育阶段六个数学学科核心素养的发展奠定基础．基于这样的理解，如何立足整体设计，将核心概念的发展有效地融入初中数学教学设计，为与核心概念相关联的数学学科核心素养的发展提供基础性的保障，应该是初中数学教学设计的重要关注，本文拟以《义务教育教科书·数学八年级下册》“17.1勾股定理（第一课时）”为例，阐释笔者的相关认识与实践．
1 教学设计的基础准备
基于高中教育阶段六个数学学科素养的发展准备，并基于教学实施的可操作性而审视义务教育阶段十个数学核心概念的发展，则应该认为：明晰数学核心概念与学科核心素养的外显表现、明确数学核心概念与学科核心素养的内在关联、明了数学核心概念与学科核心素养的内容载体，是将核心概念发展有效融入初中数学教学设计的三个必要的基础准备．
1.1 数学核心概念与学科核心素养的外显表现
研读关于数学核心概念与学科核心素养内涵的相关表述，可以将其外显表现明晰如下：
表1 义务教育阶段数学核心概念的外显表现
核心概念外显表现
数感数与数量关系、运算结果估计的感悟．符号意识
运用符号表示数、数量关系和变化规
律；使用符号进行运算和推理，得到一
般性结论．
空间观念
根据物体特征抽象出几何图形，根据几
何图形想象出实际物体；想象出物体方
位和相互之间的位置关系；描述图形的
运动和变化；依据语言描述画出图形．几何直观利用图形描述和分析问题．
数据分析观念
调查、收集、分析数据，体会数据中蕴
含的信息；了解多种数据分析的方法，
根据问题选择合适的方法；体验数据的
随机性．
运算能力根据法则和运算规律正确地进行运算．推理能力合情推理；演绎推理．
模型思想
体会和理解数学与外部世界的联系；了
解建立和求解模型的过程．
应用意识
有意识的利用数学概念、原理和方法解
释现象，解决问题；将现实问题抽象成
数学问题，予以解决．
创新意识
发现和提出问题；独立思考、学会思考；
得到猜想和规律，加以验证．表2 高中教育阶段数学学科核心素养的外显表现
学科核心素养外显表现
数学抽象
获得数学概念和规则，提出数学命题和
模型，形成数学方法与思想，认识数学
结构与体系．
逻辑推理
掌握推理基本形式和规则，发现问题和
提出命题，探索和表述论证过程，理解
命题体系，有逻辑地表达与交流．数学建模
发现和提出问题，建立和求解模型，检
验和完善模型，分析和解决问题．直观想象
建立形与数的联系，利用几何图形描述
问题，借助几何直观理解问题，运用空
间想象认识事物．
数学运算
理解运算对象，掌握运算法则，探究运
算思路，求得运算结果．
数据分析
收集和整理数据，理解和处理数据，获
得和解释结论，概括和形成知识．
1.2 明确数学核心概念与学科核心素养的内在关联
进一步审视表1和表2，可以明确数学核心概念与学科核心素养存在着如下的内在关联：
表3 数学核心概念与学科核心素养的内在关联
核心概念学科核心素养
数感
数学抽象
符号意识
创新意识
推理能力逻辑推理
模型思想
数学建模
应用意识
空间观念
直观想象
几何直观
运算能力数学运算
数据分析观念数据分析
1.3 明了数学核心概念与学科核心素养的内容载体
基于表1～3，审视“17.1勾股定理（第一课时）”的教学内容，可以明了教学内容与数学核心概念和学科核心素养发展之间的载体关系．
表4 教学内容与数学核心概念和学科核心素养发展之间的载
体关系
序号教学内容发展的核心
概念
关联的学科
核心素养
1 教材P22，
图17．1-1
几何直观直观想象
应用意识数学建模
创新意识数学抽象
2
教材
P22，
思考
几何直观直观想象
运算能力数学运算
模型思想数学建模
3 教材P23，
探究
推理能力逻辑推理
几何直观直观想象
运算能力数学运算
4
教材
P23-24，命
题1
符号意识数学抽象
几何直观直观想象
运算能力数学运算
推理能力逻辑推理
5 教材P24，
练习1
运算能力数学运算
6 教材P24，
练习2
几何直观直观想象
运算能力数学运算
2 教学设计的方案呈现
基于上述的基础准备，同时综合考量《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本课时教学内容的水平要求和教学设计的可操作性，可以得出如下旨在为数学学科核心素养发展奠定基础的、指向数学核心概念发展的教学设计．
2.1 知识导入环节的方案设计
教学内容设置1 图17.1-1（图1）中图形面积的数量关系的探究．
处理方式预设（1）简单介绍毕达哥拉斯学派的历史，激发学习兴趣．
（2）提出探究方向——图形中相邻的直角三角形的面积与正方形的面积之间的数量关系．
（3）学生交流探究所得，教师引领形成猜想：等腰直角三角形两直角边所在的正方形的面积之和等于斜边所在的正方形的面积．
核心发展关注上述过程，基于“利用图形描述和分析问题”
发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“将现实问题抽象成数学问题”发展了应用意识，为数学建模素养构筑了发展基础；基于“发现和提出问题、得到猜想和规律”发展了创新意识，为数学抽象素养构筑了发展基础．
2.2 知识探索环节的方案设计
教学内容设置1 借助图17.1-2（图2）验证进而明确等腰直角三角形的三边之间的数量关系．
图1 图2
处理方式预设（1）引导学生由正方形的面积联想边长的平方，进而得到等腰直角三角形三边长关系的猜想．
（2）引导学生借助图3，计算分别以同一个等腰直角三角形的三边长为边长的正方形面积，并发现它们之间存在的数量关系，进而明确建立表示等腰直角三角形的三边之间数量关系的数学模型：等腰直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和．
核心发展关注上述过程，基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展了运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础；基于“建立和求解模型”发展了模型思想，为数学建模素养构筑了发展基础．
教学内容设置2 借助图17.1-3（图4）
提出一般直角三角形的三边之间的数量关系．验证进而明确任意直角三角形三边之间的数量关系．
处理方式预设 （1）引导学生基于一般化的思考，提出关于任意直角三角形三边之间的数量关系的猜想：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）引导学生借助图17.1-3（图4）验证所提出的猜想．
核心发展关注 上述过程，基于“合情推理”发展了推理能力，为逻辑推理素养构筑了发展基础；基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础．
教学内容设置3 基于内容2探究环节所得，运用文字语言、符号语言和图形语言表征任意直角三角形三边之间的数量关系，并探究完成该数量关系的证明．
处理方式预设 （1）引导学生运用文字语言、符号语言和图形语言表征任意直角三角形三边之间．
（2）引导学生了解、进而明确借助“赵爽弦图”（图5）证明任意直角三角形三边之间的数量关系（勾股定理）（图6）．
图6
（3）引导学生了解、进而明确借助“邹元治图”（图7）证明任意直角三角形三边之间的数量关系．
核心发展关注 上述过程，基于“运用符号表示数、数量关系和变化规律”发展了符号意识，为数学抽象素养构筑了发展基础；基于“利用图形描述和分析问题”发展了几何直观核心概念，为直观想象素养构筑了发展基础；基于“根据法则和运算规律正确地进行运算”发展运算能力，为数学运算素养构筑了发展基础；基于“演绎推理”发展了推理能力，为逻辑推理素养构筑了发展基础．
图7
2.3 知识巩固环节的方案设计
教学内容设置1 运用勾股定理完成教材P24的两道练习题．
处理方式预设 （1）学生独立探索完成练习题的求解．
（2）学生代表展示求解方案，师生共同完善求解方案．
核心发展关注 上述过程，强调了知识导入和知识探索环节中为主发展的核心概念，强化了相关学科核心素养发展的基础．
教学内容设置2 课堂学习所得回顾．
处理方式预设 （1）学生依托学习笔记，独立回顾课堂学习过程．（2）学生代表回顾课堂学习所得，师生共同完善．
核心发展关注 上述过程，夯实了知识的研习、强调了核心概念的发展，进而强化了相关学科核心素养的发展基础．
3 结束语
就广义的教学设计而言，本文呈现的方案至少必须添加“知识应用巩固（课后作业布置）环节”，方可被认为是完整的．之所以将该环节略去，纯属基于明晰本文主题的考量——数学教学设计，必须聚焦核心概念和核心素养的发展．
正是基于这样的理解，本文试图给出关于初中数学核心概念、高中数学学科核心素养发展的共识：发展初中数学核心概念的终极目标是发展高中数学学科核心素养，因而，初中数学教学设计，必须基于知识载体，确定相关数学核心概念的发展着力点，方能未雨绸缪地为与数学核心概念相关联的学科核心素养的发展奠定基础．
a b
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b a b
c c c
c a b a a b
b b
a
a
c
a
c b 黄实 朱实
A
c B
C
b a 朱实
朱实 朱实
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018
[2]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2012
[3]人民教育出版社．义务教育教科书·数学八年级下册[M]．北京：人民教育出版社，2014
[4]余文森．核心素养导向的课堂教学[M]．上海：上海教育出版社，2017 [5]柯跃海．浅析指向学科核心素养培养的数学教学设计[J]．福建中学数学，2019（11）：10-13
[6]杨恩彬，柯跃海．知识能力素养，三位一体并进[J]．中学数学教学参考，2018（5）：8-10
（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《学科核心素养导向的中学数学教学设计研究》（立项编号：FJJKCG18-044）的阶段研究成果）
核心素养视域下的关键教学点研究
——以等腰三角形性质为例
王淋淋1张弘2
1福建省福州第十一中学（350001）2福建省普通教育教学研究室（350003）
初中数学中的关键教学点是指在初中数学教学中，属于基础性、本质性的核心教学内容．这些“关键教学点”对初中数学的教学发挥奠基、示范、归纳、引领、启迪等作用，是发展学生核心素养的关键抓手．等腰三角形性质作为第一个严格地按照定义、性质、判定展开教学的封闭几何图形，体现了研究几何图形性质的一般方法，是初中几何教学的一个关键教学点．
1 等腰三角形性质为什么是关键教学点
“等腰三角形性质”是人教版教材（以下简称教材）八年级上册第十三章第3节（第1课时）的内容．结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）以及教材的要求，从知识、素养两个层面考虑，笔者认为等腰三角形性质的教学对后续几何学习具有示范、引领的作用，是初中几何教学的一个关键教学点．
1.1 知识层面
等腰三角形是最常见的轴对称图形之一，是初中阶段研究图形与变换的基础．等腰三角形性质是轴对称图形的性质、全等三角形等知识的深化和应用，不仅进一步丰富了证明两角相等、线段相等和垂直的方法，又是后续研究等边三角形、菱形、正方形及圆等几何图形性质的基础，是平面几何体系中支柱性定理之一，在几何学习中具有不可替代的地位和作用．
1.2 素养层面
（1）借助图形的变换研究图形的性质，是几何教学中常用的方法．利用等腰三角形的轴对称性，不仅是发现等腰三角形性质的关键所在，也为培养学生的几何直观能力提供素材，同时也为后续学习中利用对称性探索其它几何图形的性质提供了方法与策略上的参考．
（2）本节课运用合情推理和演绎推理相结合的模式探究等腰三角形的性质，让学生经历“操作（实验）→猜想→证明”的探究过程，从中发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，培养学生严谨的思维习惯．另外，等腰三角形性质的探究过程中，渗透的类比、转化、特殊与一般等中学阶段重要的数学思想，也影响着学生核心素养的培养和发展．（3）等腰三角形是第一个严格地按照定义、性质、判定展开教学的封闭几何图形．对等腰三角形性质的探究所渗透的几何图形性质的研究经验、解决几何问题的思路和方法，是研究几何对象的“一般方法”，是后续研究等边三角形、四边形、圆等几何图形的范例，更是发展学生的数学学科核心素养的需要，在几何图形的研究中占有极其重要的地位．基于对数学学科的核心素养的培养，本节课能力发展的长期目标定位为以下三个方面：
（1）如何培养学生的几何直观能力？具体如何操作？
（2）如何发展学生的推理能力？体现在哪些方面？
（3）如何让学生体会、感悟本节课用到的研究几何图形的思路和方法？
2 教学实施
2.1 几何直观的培养
数学实验则是培养学生几何直观的有效方式，在实验过程中，学生经历操作、观察、探究等活动，。