中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型

中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型
中考专题复习——几何题用旋转结构“手拉手”模型
一、教课目的：
1.认识并熟习“手拉手模型” ，概括掌握其基本特点．
2.借助“手拉手模型” ，利用旋转结构全等解决有关问题．
3.贯通融会，解决求定值，定角，最值等一类问题．
二、教课重难点：
1.发掘和结构“手拉手模型” ，学会用旋转结构全等．
2.用旋转结构全等的解题方法最优化选择．
三、教课过程：
1.复习旧知
师：如图，△ ABD，△ BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论
生：（ 1）△ABE≌△DBC（ 2）△ABG≌△DBF
（ 3）△CFB≌△EGB（ 4）△BFG为等边三角形
（ 5）△AGB∽△DGH（ 6）∠DHA＝ 60°（ 7）H，G，F，B四点共圆（8）BH均分∠ AHC 师：我们再来要点研究△ABE与△ DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还
有什么共同特点呢
生：它们有同一个字母B，即同一个极点B．
师：我们也能够把△DBC看作由△ ABE经过如何的图形运动获得
生：绕点B顺时针旋转60°获得．
2.引入新课
师：其实我们能够给这两个全等的三角形给予一个模型，叫“手拉手模型”，谁能够将这个模型的
特点再做进一步的简化概括呢
生：对应边相等．
师：我们能够称之为“等线段”．
生：有同一个极点．
师：我们能够称之为“共极点”．
师：等线段，共极点的两个全等三角形，我们一般能够考虑哪一种图形运动
生：旋转．
师：“手拉手模型”能够概括为：等线段，共极点，一般用旋转．
3.小题热身
中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型
图图21 3
1．如图 1，△ BAD 中，∠ BAD ＝ 45°， AB ＝AD ， AE ⊥ BD 于 E ， BC ⊥ AD 于 C ， 则 AF ＝____ BE ．
2．如图 2，△ ABC 和△ BED 均为等边三角形， ADE 三点共线，若 BE ＝ 2，CE ＝ 4，则 AE ＝ ______ ．
3．如图 3，正方形 ABCD 中，∠ EAF ＝ 45°， BE ＝ 3， DF ＝5，则 EF ＝ _______．
师：我们来看第 1，第 2 题，这里面有“手拉手模型”吗请你找出此中的“等线段，共极点” ．
生：题 1 中，等线段是
， ，共极点是 ，△ 绕点 C 逆时针旋转 90°得△ ．
AC BC C ACF BCD
题 2 中，等线段是 AB ，BC ，共极点是 B ，△ ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°得△
CBE ．师：我们再来看第 3 题，这里有“手拉手模型”吗
生：没有．
师：那此中有没有“等线段，共极点”呢生：等线段是 AD ， AB ，共极点是 A ．
师：我们能否利用旋转来结构“手拉手模型”呢
生：将 AE 旋转，绕点 A 逆时针旋转 90°．
师：为何是逆时针旋转
90°，你是如何思虑的
生：我准备结构一个和△
ABE 全等的三角形， AB 绕点 A 逆时针旋转 90°即为 AD ，那么将 AE 逆时
针旋转 90°可得 AG ，连结 GD ，证明全等．
师：说的不错，谁能再来概括一下，借助“手拉手模型”
，用旋转结构全等的方法吗
生：先找有没有“等线段，共极点” ，再找此中一条
“共极点”的线段，将其旋转．
师：旋转角度如何确立，方向怎么选择
生：选择此中一个三角形，将“共极点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向
应与所选择的开端“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．
师：特别棒，能够说，你已经掌握了这节课的精华．可是，好多题目中不过隐含了“手拉手模型”
的一些条件，节余的需要我们自己去结构，能够如何结构呢
步骤 1：先找有没有“等线段，共极点”
． 步骤
2：选择此中一个三角形，将此中经过
“共极点”的线段旋转．
步骤 3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等
线段”间的夹角．
师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗
生：连结GD后，要证明G，D， F 三点共线．
4.例题精讲
例 1：等边△ABC中，AD＝ 4，DC＝ 3，BD＝5，求∠ADC度
数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”
要结构全等，该如何旋转
生：将△ ADC绕点 A顺时针旋转
60°．师：你是怎么想的，还有其余做法
吗
生：我发现 AB＝ AC， A 为“共极点” ，我选择的旋转线段
是 AD，因为 AC绕点 A 顺时针旋转60°到 AB，因此△ ADC也要绕点 A 顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点 A逆时针旋转60°．
【解答】
将 AD绕点 A 顺时针旋转60°到AE，连结BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ ADC，∴ BE＝ DC＝4，依据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠ AEB＝∠ ADC＝150°
例 2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB＝COD＝
90．若△ BOC的面积为1，试求以 AD、BC、 OC＋ OD的长度为
三边长的三角形的面积．
师：因为线段分别，如何经过图形变换，使这些线段能组成一个三角
形
生：将 OD绕点 O逆时针旋转90°至 OE，即可使 OC， OD共线，再经过证明确立△ BCE即是以 AD、BC、 OC＋ OD的长度为三边长的三角形．
【解答】
如图，将OD绕点 O逆时针旋转90°至OE，连结BE．易证
△OAD≌△ OBE，AD＝BE，∴△ BCE即是以 AD、BC、OC＋ OD长度为
三边长的三角形．又∵OC＝ OE，∴ S△BCE＝2S△BOC＝2．
5.自主练习
1．如图，在四边形
中， ＝4， ＝3，∠ ＝∠
＝∠
＝ 45°，则
的长为 _________ ．
ABCD AD
CD ABC ACB ADC BD
师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．
生：“等线段”是
和
，“共极点”是 A ．方法是将
绕点 A 顺时针旋转 90°．
CA BA
AD
2．如图，在△ ABC 中， BC ＝ 2，AB
＝
2，以 AC 为边，向外做正方形 ACDE ，连结 BE ，则 BE 最大值
为 _________．
师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．生：“等线段”是 CA 和 EA ，“共极点”是 A ．
方法是将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°．
师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形
生：△ ABC ，因为 AC 是逆时针旋转 90°到 AE ，因此 AB 也绕点 A 逆时针旋转 90°．
3．如图，点 A 在⊙ B 上， AB ＝ 1， BC ＝ 2，△ ACD 是等边三角形，求△ BCD 面积的最大值．
师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．
生：“等线段”是 CA 和 CD ，“共极点”是 C ．
方法是将 CA 绕点 C 逆时针旋转 60°．
附：自主练习解答
1． 如图，将 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°至 AE ，易证△ EAC ≌△ DAB ，可得 CE ＝ BD ，又∵∠ EDA ＝ 45°，
∴∠ CDE ＝ 90°， CD ＝ 3， DE ＝ 4 2
2
2
2
＋ (4 2
2，则 Rt △ CDE 中， CE ＝ CD ＋ DE ＝ 3 2) ＝41
∴ CE ＝ 41，∴ DB ＝ 41
2. 如图，将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AF ，易证△ EAF ≌△ CAB ，可得 EF ＝BC ＝ 2．Rt △ BAF 中，
＝ ＝ 2 ，∴ ＝ 2．由三角形三边关系易知，
≤ ＋ ，∴ 最小值为 4.
AF AB
BF BE EF BF BE
3. 如图，将 CB 绕点 C 逆时针旋转 60°至 CE ，连结 DE ，过点 E 作 EF ⊥ CB
于 F ，过点 D 作 DG ⊥ CB 于 G ．易证△ CBA ≌ CED ， 则 DE ＝1， EF ＝ 3，过E 作 DG 边上的高，可证 DG ＜DE ＋ EF ．
当 D ， E ， F 三点共线时， DG ＝ DE ＋ EF ．即高的最大值为
1＋ 3， S △ BCDmax
1
＝ 2×2×（ 1＋ 3）＝ 1＋ 3。