数学史概论 ppt课件

数学史概论
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3、逻辑演绎推理的倡导
柏拉图学院: “不懂几何者莫入” 分析法和归谬法
亚里斯多德学派 三段论推理 反证法: 矛盾律,排中律
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拉斐尔·圣齐奥 (1483数-学1史5概2论0) 所绘油画《雅典学派》26
Aristotle
亚里士多德，古希腊著名哲学家、
自然科学家，西方文艺理论的真正
第一次数学危机
2 是一个不可公度的数
数学史希概论帕苏斯 Hippasus(公元前470年左14右）
1
2
b
c
a
1
c2a2b2
勾股定理导致了无理量的发现. 假设直角三角形是等腰的,直
角边是1，那么弦是 2 ，它不可能用任何的“数”(有理数)
表示出来，即直角边与弦是不数学可史概通论 约的．
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无理数的发现
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他是一位圣 贤，又是一位天 文学家，在日月 星辰的王国里， 他顶天立地、万 古流芳。
泰 勒 斯
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（2）毕达哥拉斯（约580-500B.C.）
萨摩斯岛 —> 克洛托内 毕达哥拉斯定理(勾股定理) ; 正多面体; 黄金分割; “万物皆数”；不可公度量。
毕达哥拉斯定理：
a bc
芝诺 Zeno
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③飞箭静止说，每一瞬间箭总 在一个确定的位置上，因此它是 不动的。
芝诺悖论: 飞矢不动
s, t 数学史概论
时刻t
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运动场ห้องสมุดไป่ตู้题，芝诺论证了时间和它的一半相等。
注：前两个悖论针对于事物无限可分的观点，而后两个则矛 头直指不可分无限小量的思想。
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德莫克里特(Democritus，约公元前460—357)： 原子论学派的创始人．数学家、哲学家。关于物理、气
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公设： 1. 从任意一点到任意一点可作一直线； 2. 线段可任意延长； 3. 以任意中心和直径可以作圆； 4. 凡直角都彼此相等； 5. 若一条直线与两直线相交，所构成的同旁内角和小
于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小
于两直角的一侧相交。
公理：
1. 等于同量的量彼此相等；
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯
主要贡献：倡数学导史概逻论 辑演绎结构。
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数学的理论化倾向
1、三大几何作图问题：
化圆为方、倍立方、三等分任意角。问题的难处，是作 图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。
化圆为方: 即作一个与给定的圆面积相等的正方形 安纳萨哥拉斯(约BC.500--BC.428)
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欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟 大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典 范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可 以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织 起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在 一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》 体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。
回雅典后，亚里士多德在吕刻翁自
立学园，专心教育和著述，经常在
走廊边走边讲授，后世称他的弟子
为“逍遥学派”。恩格斯称他是古
代“最博学的人”。
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（二）亚历山大时期
（1）欧几里得(约300B.C.前后) （2）阿基米德(287-212B.C.) （3）阿波罗尼奥斯(约262-190B.C.)
2 x y
x、y互素
x2 2y2 x2z
4z2 2y2 y2 2z2
x、y均为偶数
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（3）雅典时期
• 伊利亚学派 代表人物：芝诺；
主要贡献：芝诺悖论
• 巧辩学派
代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、 安提丰(Antiphon,c.BC.480--BC.411) ,布里松
主要贡献：三大几何作图问题
• 柏拉图学派(雅典学院)
代表人物：柏拉图(Plato,BC.427-BC.347)、 梅内赫莫斯(Menaechmus)、 蒂诺斯特拉图斯(Dinostratus)、 欧多克斯(Eudoxus,c.BC.408--BC.347)
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
• 亚里斯多德学派(吕园学派)
b a
c
b
a
a
c
a
b
a
b
a
Plutarch(约数4学6史--概1论20)的面积证明法
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毕 达 哥 拉 斯 ， 约 前 580 ｜ 前 500
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正多面体作图
五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十 二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥 拉斯学派有关，前三种归功于毕氏学派，后两种为毕氏 学派晚期学生所作。
x3 2a3
希波克拉底: 对问题的简化是问题的关键进展. 指出倍立方问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的
双重比例中项问题,即：
a:xx:yy:2a
梅内赫莫斯: 圆锥曲线的发现(约360B.C.)； 双重比例中项关系等价于方程：
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三等分角: 即分任意角为三等分
西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而
穷竭法(卷 XII)
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比例的定义：设 A, B, C, D是任意四个量, 其中A 和B同类(即均为线段、角或面积等), C和D同类. 如果对于任何两个正整数 m 和n ,关系m A n B 是否成立, 相应地取决于关系m C n D是否成立, 则称A与B 之比等于C与D 之比,即四量 A, B, C, D 成比例.
且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。
• 1837年法国数学家旺泽尔(P.L.Wantzel) 在代数方程论基础 上证明了倍立方和三等分角不可能用尺规作图。
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2、无限性概念的早期探索
芝诺（约公元前490－前430）悖论 ： （1）两分法 （2）阿基里斯 （3）飞箭不动 （4）运动场问题
象、动物和控学的著作丰富，流传下来的很少．他到过东 方旅行，在埃及住过．
认为万物的始源只有两个：原子与虚空．“原子” (atom,拉丁文是不可分割的思)是不可分的物质粒子，永远 处于运动状态之中．
在数学方面，德设克利特应用了原子的观点．他认为线段、 面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的．计算体 积就等于将这些原子集合起来．
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古希腊的变迁
公元前11世纪－前6世纪
波希战争（前499－前449）
希 腊
公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区
时 期
公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成
公元前6－前4世纪末
伯罗奔尼撒战争（前431－前404）
亚
亚历山大前期：公元前4世纪末－前30年 马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊
数形结合的另一个典型例子: (m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数)
给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形 的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。这一公式未能 给出全部毕达哥拉斯数组。
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不可公度量(无理数的发现)
任何量都可以表示成两 个整数之比。在几何上就是： 对于任何两条给定的线段， 总能找到第三条线段，以它 为单位能将给定的线段划分 为整数段。希腊人称这两条 线段为“可公度量”，意即 为有公共的度量单位。
毕达哥拉斯学派的形数
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三角形数： N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ; 正方形数：N =1+3+5+7+….+(2n-1) ; 五边形数：N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ; 六边形数：N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n . 这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。 “形数”体现了数与形结合的思想。
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比例论举例
定理: 如果两个三角 形的高相等, 则它们 的面积之比等于两底 长之比
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比例定义：A，B；C，D
对任何正整数m和n，关系 m A n B ↔ m C n D
BmC=m(BC)，△ABmC=m(△ABC)； DEn=n(DE) ，△ADEn=n(△ADE)。
数学史概论（610年改称拜占廷帝国）
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（一）论证数学的发端
希腊数学一般指从公元前600年至公元 600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、 马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细 亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
（1）泰勒斯（约625-547B.C.）
证明四条定理； 泰勒斯定理: 半圆上的圆周角是直角； 预报日蚀 (585B.C.)；测量金字塔的高等。
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欧几里得<原本>
几何学无王者之道
“原本”的希腊文原意是指 一个学科中最重要的定理
现存著作：《原本》、《数据》、《论剖分》、 《现象》、《光学》和《镜面反射》等。
失传著作：《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、 《辩伪术》等。
历史上第一个公理体系 13 卷 119 条定义 5 条公理, 5 条公设 465 条定理
2. 等量加等量，和相等；
3. 等量减等量，差相等；
4. 彼此重合的图形是全等的；
5. 整体大于部分。 数学史概论
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卷 I, II, III, IV 及 VI : 平面几何基本内容 卷 V : 比例论
无理量引起的麻烦之回避 卷 VII, VIII, IX : 数论 卷 X : 不可公度量分类
卷 XI, XII, XIII : 立a体几b何
历
(希腊化时期)
各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）
山 大
亚历山大后期：公元前30－公元640年
前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及
时
期
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330年君士坦丁大帝迁都拜占廷
罗马帝国：公元前27－公元395年
西罗马帝国：公元395－476年 东罗马帝国：公元395－1453年
由已证明的结果,可知 △ABmC △AEnD ↔BmC EnD 也就是说 m(△ABC) n(△AED) ↔m(BC) n(ED) 据比例定义，有△ABC :△ADE＝BC : DE
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穷竭法举例
卷 XII 命题2: 圆与圆之比等于其直径平方之比
(A) 圆的面积可以用内接正多边形面积“穷竭”
希波克拉底：解决了化月牙形为方
安提芬：
首先提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为
方。他从圆内接正方形开始，将边数逐次加倍，并一直进
行下去，则随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长
极其微小的内接正多边形。1882林德曼π的超越性。
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倍立方: 即求一个立方体,使其体积等于已知立方体的两倍
黄金分割
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的
“黄金分割”问题有关。
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“万物皆数”
仅指整数，对数进行分类，分数被看成两个整数之比。
定义了完全数（即因数之和等于该数，如6, 28等）、过剩 数（即因数之和大于该数）、不足数（即因数之和小于该 数）亲和数（即 a 是 b 的因数之和， b 也是 a 的因数之和， 最小的一对亲和数为220和284）等
(正8边形面积–正4边形面积)
>1/2(圆面积–正4边形面积)
阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论 和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的 本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据 力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的 初步思想。
阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。
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欧 几 里 得 ， 约 公 元 前 30 0
奠基者。公元前384年生于爱琴海
北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗
斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二
世的御医。母亲法伊斯提来自优卑
亚岛的哈尔基斯。亚里士多德早年
丧父，由监护人“抚养”。17岁赴
雅典就读于柏拉图的“学园”，受
教20年。为学员中出类拔萃者。
柏拉图去世后，亚里士多德曾受
马其顿王之聘，教育太子亚历山大。
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第二讲：古希腊数学
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精品资料
你怎么称呼老师？ 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是
否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭 “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，
没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”