2011高考数学一轮复习测评卷7.8

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第七章 第八讲
一、选择题 1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为
( )
A.1010
B.15
C.31010
D.35
[答案] C 2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° [答案] C
3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C. [答案] C 4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为
( )
A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] C
5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，
A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，1
2
，0)，P (x,0,1)
∴AM →＝(0,1，12)，PQ →
＝(12－x ，1
2
，－1)
AM →·PQ →
＝0×(12－x )＋1×12＋1
2
×(－1)＝0，
∴AM →
⊥PQ →
.
[答案] D 6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y
＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z
6
＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )
A.23
B.33
C.39
D.223 [答案] A 二、填空题 7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1
的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．
[答案] 90°
8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．
[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由
V ＝1
3
×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.
则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，
∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π
3.
[答案] π
3
9．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．
[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系．
则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－1
2
，2)
∴CD →＝(32，－1
2
，2)，CB 1→
＝(3，1,2)
设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)
由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·CD →
＝0n ·
CB 1→＝0解得 n ＝(－3，1,1)
又∵DA →
＝(
32，－1
2
，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →
·n >＝4
5
.
[答案] 4
5
10．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．
[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，
∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，
在Rt △A 1D 1E 中，
A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E
＝
1×12
1＋(12
)2
＝
55
. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵VG －D 1EF ＝VA 1－D 1EF ＝VF －D 1A 1E ， ∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55
. [答案] 5
5
三、解答题 11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.
(1)证明：AB ＝AC ；
(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．
解法一：(1)[证明] 取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊1
2
B 1B ，从而EF 綊DA .
连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1.
从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .
(2)如图(1)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.
设AC ＝2，则AG ＝2
3
.
(1)
∴AB ＝2，BC ＝2 2.∴AF ＝ 2.
由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝2
3
·AD 2＋22，解得AD ＝ 2.故AD ＝AF .
又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．
∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE ，DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF . ∴EH ⊂平面DEF ，∴EH ⊥平面BCD .
连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．。