2019-2020学年苏教版必修二 直线的方程 学案

2019-2020学年苏教版必修二 直线的方程 学案
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式
(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan_α.
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.
3．直线方程的五种形式
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 题组二 教材改编
2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4
答案 A
解析 由题意得m －4
－2－m
＝1，解得m ＝1.
3．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1 D ．x ＋y ＝2或x ＝y
答案 D
解析 若直线过原点，则直线为y ＝x ，符合题意，
若直线不过原点，设直线为x m ＋y
m ＝1，代入点(1,1)，解得m ＝2，直线方程整理得x ＋y －2＝0，
故选D.
题组三 易错自纠
4．(2018·石家庄模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦
⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫
3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π
2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B
解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1
a 2＋1，
又－1≤－1
a 2＋1
<0，
所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫
3π4，π.
5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C
解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C
B >0，故直线
经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为____________． 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2
解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有1
2×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝1
2(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.
题型一 直线的倾斜角与斜率
典例 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭
⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤
π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤
π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3
答案 B
解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤3
2， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤
π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝
1－0
2－1
＝1， k BP ＝3－00－1
＝－3，
∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究
1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，
∴k AP ＝1－0
2－(－1)＝1
3
，
k BP ＝
3－00－(－1)
＝ 3.
如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦
⎤1
3，3. 2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 如图，直线P A 的倾斜角为45°，
直线PB 的倾斜角为135°，
由图像知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π
2，π两种情况讨论．
跟踪训练 (2017·南昌月考)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O
为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在 答案 A 解析 由y ＝
2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部
分，其图像如图所示．
显然直线l 的斜率存在，
设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝
|－2k |1＋k
2
，
弦长|AB |＝2
2－⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
|－2k |1＋k 22＝22－2k 2
1＋k 2
， 所以S △AOB ＝12×|－2k |
1＋k 2
×2
2－2k 2
1＋k 2
≤(2k )2＋2－2k 2
2(1＋k 2)
＝1，
当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝1
3时等号成立，
由图可得k ＝－
33⎝⎛⎭
⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程
典例 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3
的直线方程；
(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－4
3
.
又直线经过点A (1,3)，
因此所求直线方程为y －3＝－4
3(x －1)，
即4x ＋3y －13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－1
2，
所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－2
5x ，即2x ＋5y ＝0.
故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.
思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
10
10
； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3.
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)．
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝1
4x ，即x －4y ＝0.
若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y
a
＝1，
∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1
a ＝1，
∴a ＝5，
∴l 的方程为x ＋y －5＝0.
综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.
由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝3
4
.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
典例 (2018·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b
＝1.
|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →
＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a
b
≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题
典例 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．
解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋1
2×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝1
2
时，四边形的面积最小． 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
跟踪训练 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．
解 方法一 设直线方程为x a ＋y
b ＝1(a >0，b >0)，
把点P (3,2)代入得3a ＋2
b
＝1≥2
6
ab
，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－2
3，从而所求直线方程为
2x ＋3y －12＝0.
方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2
k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝1
2(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
12＋2 (－9k )·4(－k )
＝1
2×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝
4
－k ，即k ＝－2
3时，等号成立．
即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝
0.
求与截距有关的直线方程
典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a . 错解展示
现场纠错
解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， 直线方程可写为x a －2a ＋1
＋y
a －2
＝1，
∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.
(2)由a －2a ＋1＝－(a －2)，得a －2＝0或a ＋1＝－1，
∴a ＝2或a ＝－2.
纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．
1．在直角坐标系中，直线x －3y ＋3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A
解析 因为直线x －3y ＋3＝0的斜率是k ＝tan θ＝3
3
， 所以倾斜角θ为30°，故选A.
2．(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )
A ．x ＝2
B ．y ＝1
C ．x ＝1
D ．y ＝2
答案 A
解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π
4，
依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π
2，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.
3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 答案 B
解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋7＝2，
b ＋1＝－2，
解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5
＝－1
3.
4．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )
答案 B
解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2 答案 D
解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.
6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．k ≥3
4或k ≤－4
B ．－4≤k ≤3
4
C.3
4≤k ≤4 D ．－3
4
≤k ≤4
答案 A
解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝3
4
，
k PM ＝1－(－3)1－2
＝－4，
∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，
∴k ≥3
4
或k ≤－4.
7．(2017·黑龙江大庆实验中学模拟)与直线x ＋3y ＋2＝0垂直的直线的倾斜角为________． 答案 π3
解析 直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为－33
，所求直线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，故所求直线斜率为3，故倾斜角为π
3
.
8. 不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案 (－2,1)
解析 直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2＝0，
－y ＋1＝0，∴x
＝－2，y ＝1，
∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)．
9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________． 答案 x ＋13y ＋5＝0
解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532
＋5，即x ＋
13y ＋5＝0.
10．经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为_________________________________________． 答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0
解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝1
2
，∴直线方程为x －2y ＝0.
当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋y
a ＝1，
由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝10
3.
∴x ＋3y －10＝0.
综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.
11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16
.
解 (1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，
它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4
k －3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫
4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83
.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝1
6x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，
由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－
3
3
， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫
m －3n 2，m ＋n 2，
由点C 在直线y ＝1
2
x 上，且A ，P ，B 三点共线得
⎩⎨⎧
m ＋n 2＝12·m －3n
2
，m －0m －1＝n －0
－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3，3)．
又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋32，
所以l AB ：y ＝3＋3
2
(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.
13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0
答案 D
解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2
，
所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×
1
21－⎝⎛⎭⎫122
＝4
3，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3
(x －1)，即4x －3y －4＝0. 14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]
解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，
如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.
∴b 的取值范围是[－2,2]．
15．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝5
5
，则l 的斜率为( ) A ．－12
B ．－1
2或－2
C.1
2或2 D ．－2
答案 D
解析 ∵sin θ＋cos θ＝
5
5
，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1
5
，
∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝9
5，
易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝35
5
，②
由①②解得⎩⎨
⎧
sin θ＝255，
cos θ＝－5
5
，
∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.
16．(2018届江西新余第一中学模拟)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的编号) ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 答案 ①③⑤
解析 对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝1
2不通过任何整点，④错误；对于⑤，
比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1,0)，⑤正确．故答案为①③⑤.。