第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

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2-1 给定下列关于异面直线的命题: 命题(1):若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β 的交线,那么c至多与a,b中的一条相交; 命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线. 那么 ( ) A.命题(1)正确,命题(2)不正确 B.命题(2)正确,命题(1)不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确
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答案 D 当c与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面α上的直线a与 平面β上的b为异面直线,因此判断(1)是假命题,如图所示;对于(2),可以 取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不 平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,从而(2)是假命题.故选D.
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对于③,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为平行四边形; 对于④,连接PS,PR,SR,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点 不共面.
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1
1-2 如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD且BC= 2AD;
BE∥FA且BE=
1 2
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
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1.下列命题: ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 对于①,未强调三点不共线,故①错误;易知②③正确;对于④, 未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故④错误.故选C.
显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与 GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有且只有3对.
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方法指导 空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对 于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯 形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于 垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.
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2.以下四个命题中,正确命题的个数是 ( ) ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面; ③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B ①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A、B、C三点共 线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显 然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正 确.
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(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,∴设FH∩AC=M,
∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG, ∴M∈EG, ∴FH、EG、AC共点.
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方法指导 (1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这 两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选 择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该 点. (3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关 点、线在此平面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?
解析 (1)证明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD且GH= 1AD.
2
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1
又∵BC∥AD且BC= 2AD,∴GH BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)C、D、F、E四点共面,证明如下: 证法一:由BE∥FA且BE= 1 FA,G为FA的中点知BE FG,
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2.空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类:
共面直线 ⑦⑧ 平相行交直直 线线 异面直线 : 不同在⑨ 任何一 个平面内
.
(2)异面直线所成的角
(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'
与b'所成的⑩ 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
典例3 (1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各
图形中直线GH与MN是异面直线的是
.(填序号)
(2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH
在原正方体中互为异面直线的对数为
.
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答案 (1)②④ (2)3 解析 (1)①中,直线GH∥MN;②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因 此直线GH与MN异面;③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共面; ④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面. (2)将展开图还原为正方体, 如图所示,
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是
.
答案 ②③④
解析 把正四面体的平面展开图还原,
如图所示,GH与EF为异面直线,
BD与MN为异面直线.
连接GM,易知△GHM为正三角形,则GH与MN成60°角.
易知MN∥AF,且AF⊥DE,则DE⊥MN.
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命题角度二 异面直线的判定
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第三节 .四个公理 公理1:如果一条直线上的① 两点 在一个平面内,那么这条直线上所 有的点都在此平面内. 公理2:过② 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面. 公理2的三个推论:
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推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论2:两条③ 相交 直线确定一个平面. 推论3:两条④ 平行 直线确定一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有⑤ 一个 公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线⑥ 平行 .
2
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG, 由(1)可知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 证法二:如图所示,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M、M ',
∵BE∥FA且BE=
1 2
FA,
∴B为MA的中点.
∵BC∥AD且BC=
1 2
AD,
∴B为AM'的中点.
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3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b ( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案 C 假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a、b是异面直线矛盾,故选C.
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4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异
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1-1 如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则各
图形中,P,Q,R,S四点共面的是
(填序号).
答案 ①②③ 解析 对于①,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为梯形; 对于②,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,顺次连 接P、M、Q、N、R、S,可证明六边形PMQNRS为正六边形;
点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=1 BC,CH=1 DC.求证:
3
3
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)三直线FH、EG、AC共点.
证明 (1)连接EF、GH,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD.
又∵CG=1 BC,CH=1 DC,
3
3
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E、F、G、H四点共面.
面直线B1C与EF所成的角的大小为
.
答案 60° 解析 连接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1 =B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.
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考点突破
考点一 平面的基本性质及应用
典例1 已知:空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中
(ii)范围:
0,
2
.
3.有关角的重要定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角
相等或互补 .
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4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 相交 、 三种情况. (2)平面与平面的位置关系有 平行 、
平行 、 直线在平面内 相交 两种情况.
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∴M与M'重合. 即EF与CD相交于点M(M'), ∴C、D、F、E四点共面.
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考点二 空间两直线的位置关系 命题角度一 两直线位置关系的判定 典例2 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的 中点,在原正四面体中,
①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角;
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四部分. (×) (2)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记 作α∩β=a. (√) (3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.
(×) (4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,并记作α∩β=A. (×) (5)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. (×) (6)经过两条相交直线,有且只有一个平面. (√) (7)如果直线a与b没有公共点,则a与b是异面直线. (×)