河北张家口涿鹿北晨2019高考预测卷-数学(理)

河北张家口涿鹿北晨2019高考预测卷-数学（理）
一、选择题〔共12小题，每题5分，计60分.〕 1、复数)(R b a bi a z
∈+=、，z 是z
的共轭复数，且
)3)(2(i i z -+= 那么a 、b 的值分别为
A 、 17，
B 、16-，
C 、17-，
D 、16， 2、假设方程04lnx =-+x 在区间(,)(,,a b a b Z ∈且1)b a
-=上有一根，
那么a 的值为
A 、 1
B 、2
C 、3
D 、4 3、等差数列}{n
a 中，
2
99,161197=
=+s a a , 那么12a 的值是
A 、 15
B 、30
C 、31
D 、64 Ａ、:p x ⌝∃∈R ，03≤x Ｂ、:p x ⌝∀∈R ，03≤x
Ｃ、:p x ⌝∃∈R ，03<x
D 、:p x ⌝∀∈R ，03<x
5、直线n m ,和平面,α那么//m n 的必要非充分条件是 A 、//m α且α//n Ｂ、m α⊥且α⊥n Ｃ、//m α且α
⊂n D 、,m n 与α成等角 6、二项式
12
)
2(x
x +
展开式中的常数项是
A 、第7项
B 、第8项
C 、第9项
D 、第10项
7
归方程为
A 、25.57.0+=x y
B 、25.56.0+-=x y
C 、25.67.0+-=x y
D 、25.57.0+-=x y
8、将函数
)
3
2sin(2)(π
-
=x x f 的图像向左平移4
π个单位，得到函数)(x g 的
图像，那么函数)(x g 的一个单调递增区间是 A 、
]0,24
5[π-B 、]0,3[π-C 、]3,0[πD 、]
2,6[ππ-
9.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应填写的内容分
别是
A 、f(a)f(m)<0；a=m ；是；否
B 、f (b )f (m )<0；b=m ；是；否
C 、f (b )f (m )<0；m=b ；是；否
D 、f (b )f (m )<0；b=m ；否；是 10.任取]3,
3[-∈k ，直线3+=kx y 与圆
4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，那么|MN |32≥的概率为 A 、
2
1
B 、
23C 、3
1D 、33 11、直线l 的方向向量为
)3,4(=且过抛物线y x 42
=的焦点，那么直线l
与抛物线围成的封闭图形面积为 A 、885B 、24
125C 、12
125D 、24
385
12、P 是双曲线)0(1y 4x 22
2
>=-b b
上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿PF 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1PF 2=120°，那么双曲线的离心率等于 A. 7
53 B.2
53
C.72
D.2
7
二、填空题〔共4小题，每题5分，计20分〕
13、函数()f x 满足(1)f =1且(1)2()f x f x +=，那么
(1)(2)(10)f f f +++…=___________。

14、假设
sinx 3)(+=x x f ，那么满足不等式0)3()12(>-+-m f m f 的
ｍ的取值范围为。

15、某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机 抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示如图，那么甲、乙两班抽取的 5名学生学分的中位数的和等于。

16、将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高
AD 折成直二面角B AD C --，
那么三棱锥B ACD -的外接球的表面积为、 三、解答题〔本大题共6小题，总分值70分。

〕 17.〔此题总分值12分〕假设)0(cos sin cos 3)(2>-=a ax ax ax x f 的
图像与直线)0(>=m m y 相切，同时切点横坐标依次成公差为π
的等差数
列. (1)求
a 和m 的值；
(2)⊿ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。

假设)2
32，（A
是函数)
(x f 图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC 外接圆的面积。

18.(本小题总分值12分)某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如下图、 (1)分别求第3，4，5组的频率；
(2)假设该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。

(ⅰ)学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生同意考官L 的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望. 19.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥ABCD P -中，底面
ABCD 为平行四边形，22==AD AB ，
3=BD ，PD ⊥底面ABCD .
(1)证明：平面⊥PBC 平面PBD ； (2)假设二面角D BC P --为6
π，求
AP 与平面PBC 所成角的正弦值。

20、〔本小题总分值12分〕方向向量为)3,1(=
的直线l 过椭圆
)
0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的焦点以及点〔0，32-〕，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且A 、B 两点与另一焦点围成的三角形周长为64。

〔1〕求椭圆C 的方程
〔2〕过左焦点1
F 且不与x 轴垂直的直线m 交椭圆于M 、N 两点，
tan 36
4≠∠=⋅MON OM 〔O 坐标原点〕，求直线m 的方程 21、〔本小题总分值12分〕设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=
〔1〕假设关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的
取值范围；
〔2〕设1)()(g 2--=x x f x ，假设关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，
求p 的最小值. 〔3〕证明不等式：
n
n 131211)1ln(+
+++<+ )(*N n ∈
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记
分.
22.〔本小题总分值10分〕选修4－1：几何证明选讲.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点、假设10=PA ，5=PB ，
BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ⋅的值。

23.〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在极坐标系中,O 为极点,半径为2的圆C 的圆心的极坐标为
.
(1) 求圆C 的极坐标方程；
(2) 在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+=t y t x 232211〔t 为参数〕，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，定点)2,1(-M ,
求|MA|·|MB|。

24、〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲
C
E
P
设正有理数
x 是2的一个近似值，令x
y ++
=111、 〔Ⅰ〕假设2>x ，求证：2<y ；
〔Ⅱ〕比较
y 与
x 哪一个更接近于
2？
北晨学校2018届高三4月模拟考试
数学试题〔文科〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

1、I 为实数集，
{}1log 2<=x x M ，{}1
-==x y x N ,
那么
)(N C M I ⋂=〔〕
A 、
{}10<<x x B 、{}20<<x x C 、{}1<x x
D 、
φ
2、假如复数i
bi +-32(R b ∈)的实部与虚部互为相反数，那么=b 〔〕
A 、0
B 、1
C 、－l
D 、±1
3、林管部门在每年3·12植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测。

现从甲乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图。

依照茎叶图，以下描述正确的选项是〔〕
A 、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲
种树苗比乙种树苗长得整齐
B 、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙
种树苗比甲种树苗长得整齐
C 、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙
种树苗比甲种树苗长得整齐
D 、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲
种树苗比乙种树苗长得整齐 4、
5
5sin =
α,1010
)sin(-=-βα，α、β
A 、12
5π
B 、3π
C 、4π
D 、6
π
5、假设关于y x ,
的方程组⎩
⎨⎧=+=+112
2y x by ax 有实数解，那么实数b a ,满足〔〕
A 、122>+b a
B 、122≥+b a
C 、122≤+b a
D 、122<+b a
6、函数
)sin()(ϕω+=x A x f )2
,0,0(πϕω<>>A 的部分
图像如下图，那么要想得到
x y 2sin 2=的图像，只需将
)(x f 的图像〔〕
A 、向左平移6
π个单位长度 B 、向右平移6
π个单位长度
C 、向左平移12
π个单位长度 D 、向右平移
12
π个单位长度
7、设等差数列
{}n a 的前n 项和为n
S
，假设729
=S
,求942a a a ++的
值是〔〕
A 、24
B 、19
C 、36
D 、40 8、一个空间几何体的三视图如下图，且那个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，那么那个球的表面积是〔〕 A 、π4
B 、π8
C 、3
28π
D 、3
32π
9、从抛物线
x
y 42=图像上一点
P
引抛物线准线的垂
线，垂足为M ，且
5=PM ，设抛物线焦点为F ，那么
MPF ∆的面积为〔〕
A 、10
B 、8
C 、6
D 、4
10、假设方程
x
x 2)1ln(=
+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，那么k 的值为
〔〕 A 、1-
B 、1
C 、1-或2
D 、1-或1
11、M 是曲线
x
a x x y )1(2
1ln 2
-++=上的一点，假设曲线在M 处的切线
正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
的倾斜角是均不小于4
π的锐角，那么实数a 的取值范围是〔〕 A 、
[)+∞,2
B 、
[)+∞,4
C 、
(]2,∞-
D 、
(]4,∞-
12、在平面直角坐标系中，O 为原点，两点
)3,1(),1,3(-B A ，假设C 满足
βα+=其中R ∈βα,且1=+βα，那么点C 的轨迹方程是〔〕
A 、01123=-+y x
B 、5)2()1(22=-+-y x
C 、02=-y x
D 、052=-+y x
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13、
5
55555的计算可采纳如下图
的算法，那么图中①处应填的条件是。

14、假设实数
y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤132
y x y x 那么
12-+y x 的最大值为。

15、在△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，那么△ABC 的面积为。

16．以下四个命题：
①假设
]1,0(∈m ，那么函数m
m y 3
+=的最小值为
32；
②平面βα,，直线
m l ,，假设,,,βαβα⊥⊂⊥m l 那么
l //m ；
③△ABC 中
和CA 的夹角等于180°－A ；
④假设动点P 到点)0,1(F 的距离比到直线2:-=x l 的距离小1，
那么动点P 的轨迹方程为
x y 42=。

其中正确命题的序号为。

三、解答题：本大题共6小题，共70分、 17、〔本小题总分值12分〕设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，
)(221*+∈--=N n n S n n
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕假设
n
n n a a n b -=
+1，求数列{}n
b 的前n 项和n T 18、〔本小题总分值12分〕一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编
号分别为
1，2，3，4、
〔1〕从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为
b
、求关于
x
的一元二次方程
0222=++b ax x 有实根的概率；
〔2〕先从袋中随机取一个球，该球的编号为
m ，将球放回袋中，然后再从袋
中随机取一个球，该球的编号为n 、假设以),(n m 作为点P 的坐标，求点P 落在区域⎩⎨
⎧
<-+≥-0
50y x y x 内的概率、
19、〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P-ABCD 中底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD=1，AB=2BC ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点。

〔1〕求证：EF ⊥平面PAB ； 〔2〕求三棱锥P-AEF 的体积
20、〔本小题总分值12分〕椭圆方程为
,12
2
2=+x y 斜率为)0(≠k k 的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂
直平分线与y 轴交于点M(0，m)。

〔1〕求m 的取值范围；
〔2〕求△OPQ 面积的取值范围。

21、〔本小题总分值12分〕函数
R
a x a x
x x f ∈++=,ln 2
2)(。

〔1〕假设4-=a ，求函数)(x f 的单调区间；
〔2〕假设函数
)(x f 在),1[+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
〔3〕记函数]22)([)(2-+'=x x f x x g ，假设)(x g 的最小值是6-，求
函数)(x f 的解析式。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题计分。

作答时写清题号。

22、〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为OA 上一点，BM
的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

〔1〕求证：PM 2=PA ·PC
〔2〕假设圆O 的半径为32，OA=3OM,求MN 的长。

23、〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
曲线C 的极坐标方程是θ
ρsin 2=，直线l 的参数方程
是为参数）t t
y t x (54
2
53⎪⎩
⎪⎨⎧
=+-=。

〔1〕将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； 〔2〕设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值。

24、〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲
+∈R c b a ,,,且1=++c b a ，求证：)11)(11)(11(---c
b
a
≥8。

P
数学〔文科〕参考答案
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 答案 A B D C B D A C A D
C
D
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

13、n ≤6？
14、6
15、4
315
16、③④
三、解答题： 17、〔1〕12-=n n
a
〔 2〕n
n n n T 2
2
121--=-
18、(1)2
1
(2)4
1
19、(1)证明略 〔2〕
12
2
20、〔1〕
)21,0(
〔2〕
)
2
2,0( 21、〔1〕单调递减区间是)21,0(+，单调递增区间是),21(+∞+
，
〔2〕0≥a
〔3〕
x
x
x x f ln 62
2)(-+= 22、(1)证明略 〔2〕2
23、〔1〕1)1(22=-+y x 〔2〕15+
24、证明略
数学〔理科〕参考答案 【一】选择题：CBAADCDBBCBD
【二】填空题：13.2414.m>-215.5π16.6 【三】解答题： 17.解：〔1〕,
1=a 1
2
3
+=m 〔2〕⊿ABC 的外接圆面积
3
162
ππ=
=R S
18.解：(1)0.3；0.2；0.1.
(2)(ⅰ)P(A)=3302
2812
C C C ⋅145
27= (ⅱ)
228=+=
ξE
〔2〕46223sin =⋅==θ
20、解：〔1〕323:-=x y l
直线l 与x 轴交点即为椭圆的右焦点）（0,22
F ∴c=2 由⊿AB F 1
周长为64，那么4a=64，即6a =，因此2b = 故椭圆方程为12
62
2=+y x 〔2〕椭圆的左焦点为）
（0,21-F ，那么直线m 的方程可设为)2(+=x k y 代入椭圆方程得：061212)13(2222=-+++k x k x k
设()1312,,),,(22212211+-=+k k x x y x N y x M 则1
36122221+-=⋅k k x x ∵0cos ||||sin 3cos 64tan 364≠∠⋅=∠∠=∠=⋅MON ON OM MON
MON MON ON OM 因此，634sin ||||=∠⋅∴MON ，即63
2=∆OMN S 又1
3)1(62||1||22212++=-+=k k x x k MN
原点O 到m 的距离
21|2|k k d +=，
那么==∆d ||21MN S OMN 6321|2|13)1(6222=+⋅++k k k k 解得33±=k )2(3
3+±=∴x y m 的方程 21.解：〔1〕依题意得m x f m ≥ax
)( ()1
2212)1(2)(++=+-+='x x x x x x f ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数，那么)(x f 在]1,0[-e 上
为增函数
2)1()(2max -=-=∴e e f x f
即实数m 的取值范围为22-≤e m
〔2〕1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=
那么
x x x x g +=+-='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数
那么函数)(g x 的最小值为0)0(g =
因此，要使方程p x =)(g 至少有一个解，那么0≥p ，即p 的最小值为0 〔3〕由〔2〕可知：0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立
因此x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立 令)(1x *N n n ∈=，那么)1,0(∈x 代入上面不等式得：n
n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+，即n
n n 1ln )1ln(<-+ 因此，11ln 2ln <-，
212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，n n n 1ln )1ln(<-+ 将以上n 个等式相加即可得到：
n
n 131211)1ln(++++<+ 22.证明：连结CE ，PC PB PA ⋅=2 ，10=PA ，5=PB ，
20=∴PC ，15=BC 、
又PA 与⊙O 相切于点A ，ACP PAB ∠=∠∴，
PAB ∆∴∽PCA ∆，那么 21==PA PB AC AB 、 BC 为⊙O 的直径，︒=∠∴90CAB ，
225222==+BC AB AC 、 可解得56=AC ，53=AB 、
又AE 平分BAC ∠，EAB CAE ∠=∠∴，
又E ABC ∠=∠ ，ACE ∆∴∽ADB ∆，AC
AD AE AB =∴ 905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD
23.解：〔1〕设),(θρP 是圆上任意一点，
那么在等腰三角形COP 中，OC=2，OP=ρ,|3|π
θ-=∠COP ，而
COP OC OP ∠=cos ||||2
1 因此，)3cos(4πθρ-=即为所求的圆C 的极坐标方程。

〔2〕圆C 的直角坐标方程为4)3()1x 22=-+-y （，即：032222=--+y x y x
C E
P
将直线l 的参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 232211〔t 为参数〕代入圆C 的方程得： 0343)323(t 2=+++-t ，其两根21t t 、满足34321+=⋅t t 因此，|MA|·|MB|343||2
1+=⋅=t t
24.解：〔1〕因为=-2y 2111-++x x
x x +--+=1222x x +--=1)21)(2(<0 因此，
2<y 〔2〕=
---|2||2y |x |2||1)21)(2(|--+--x x x )122(|2|x
x x +---= ∵022<-，0>x ∴0122<+--x x ，而0|2|>-x ∴0|2||2y |<---
x 即|2||2y |-<-x
因此
y 比x 更接近于2.。