数字信号处理第4章IIR数字滤波器的
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脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出 脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
问题的提出
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
AF到DF
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
设H(s)只有一阶极点，即
M
h(t) L1[H (s)] Al e pltu(t)
l 1
对h(t)等间隔抽样得
M
h[k] h(kT ) Al e plkT u[k]
l 1
M
H (z) Z{h[k]}
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H
(z)
1
wc
ewcT
z
1
AF与DF的频率响应分别为
H ( jw) wc jw wc
H (e jW )
wc
1 e wcT e jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk} wk Wk /T
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
Wp,Ws w=W/T
设计模拟
脉冲响应不变
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
脉冲响应不变法设计DF的步骤
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W / T. wp=0.2/T, ws=0.6/T, Ap2dB, As15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
10 0.1As 1
NlΒιβλιοθήκη g10( 100.1
Ap
) 1
=2
2 log10 (ws / wp )
wc
ws
(100.1As 1)1/ 2N
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
DF AF
5
10
15
20
25
Hz
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20
40
60
Hz
fsam=200 Hz
DF AF
80
100
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法的优缺点 ➢ 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
W wT
➢ 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设 计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法设计DF的步骤
Al
l1 1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
M
H(s)
Al
l1 s pl
M
H(z)
Al
l1 1 e plT z 1
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
1
1
s pl
1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法的MATLAB实现
[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
H(ejW)和H(jw)的关系
H (e jW ) 1 H j W 2n
T n
T
无混叠时：
H (e jW
)
1
W
H(j
),
W π
TT
数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器
在w 点的频率响应只差一个常数因子1/T
数字频率W与模拟频率w的关系为 W wT
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
[numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
HL (s)
0.5678j s s1
0.5678j s s2
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T
利用
1
1
s si
1 e siT z 1
可得DF的系统函数为
H
(
z)
1
0.3448z 1 0.9571z 1 0.3212z
2
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
=0.8013 /T
HL (s) (
s
)2
1 2
s
0.6421
(sT )2 1.1356(sT ) 0.6421
1
wc
wc
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT 脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
脉冲响应不变法的基本原理
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
Gain,dB
0
-2
-4
Ap = 1.72dB
-6
As = 14.2dB
-8
-10
-12
-14
-16
-18
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Normalized frequency
问题的提出 脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
问题的提出
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
AF到DF
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
设H(s)只有一阶极点，即
M
h(t) L1[H (s)] Al e pltu(t)
l 1
对h(t)等间隔抽样得
M
h[k] h(kT ) Al e plkT u[k]
l 1
M
H (z) Z{h[k]}
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H
(z)
1
wc
ewcT
z
1
AF与DF的频率响应分别为
H ( jw) wc jw wc
H (e jW )
wc
1 e wcT e jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk} wk Wk /T
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
Wp,Ws w=W/T
设计模拟
脉冲响应不变
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
脉冲响应不变法设计DF的步骤
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W / T. wp=0.2/T, ws=0.6/T, Ap2dB, As15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
10 0.1As 1
NlΒιβλιοθήκη g10( 100.1
Ap
) 1
=2
2 log10 (ws / wp )
wc
ws
(100.1As 1)1/ 2N
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
DF AF
5
10
15
20
25
Hz
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20
40
60
Hz
fsam=200 Hz
DF AF
80
100
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法的优缺点 ➢ 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
W wT
➢ 缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设 计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法设计DF的步骤
Al
l1 1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
M
H(s)
Al
l1 s pl
M
H(z)
Al
l1 1 e plT z 1
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
1
1
s pl
1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法的MATLAB实现
[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
H(ejW)和H(jw)的关系
H (e jW ) 1 H j W 2n
T n
T
无混叠时：
H (e jW
)
1
W
H(j
),
W π
TT
数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器
在w 点的频率响应只差一个常数因子1/T
数字频率W与模拟频率w的关系为 W wT
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
[numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
HL (s)
0.5678j s s1
0.5678j s s2
极点为s1=(0.5678 + 0.5654j)/T, s2=(0.5678 0.5654j)/T
利用
1
1
s si
1 e siT z 1
可得DF的系统函数为
H
(
z)
1
0.3448z 1 0.9571z 1 0.3212z
2
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
=0.8013 /T
HL (s) (
s
)2
1 2
s
0.6421
(sT )2 1.1356(sT ) 0.6421
1
wc
wc
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT 脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
脉冲响应不变法的基本原理
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB
Gain,dB
0
-2
-4
Ap = 1.72dB
-6
As = 14.2dB
-8
-10
-12
-14
-16
-18
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Normalized frequency