高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数关系课件苏教版必修4

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[基础·初探] 教材整理 同角三角函数的基本关系 阅读教材 P16～P17 的有关内容，完成下列问题．
1．平方关系：_s_i_n_2α_＋__c_o_s_2_α_＝__1____. 2．商数关系：_t_a_n_α_＝__c_soi_ns_α_α_α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z___.
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(2016·南京高一检测)已知 sin α＋cos α＝15，且 0＜α＜π， 求：(1)sin αcos α 的值； (2)求 sin α－cos α 的值． 【精彩点拨】 sin α＋cos α＝15 ―平―方→ 求sin αcos α 平构―方造―差―完公→全式 求sin α－cos α2 ――0＜―α―＜―π→ 求sin α－cos α
α α－cos
α－1]
＝sin2α2－sincαocsosα－α 12
＝sin2α－2csoisn2αα－co1s＋α 2cos α
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＝2co2ssiαn1α－cocsoαs α
＝1－sincoαs α
＝1－sincoαsα1＋ 1c＋oscαos α
＝sin
α1＋cos sin2α
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[再练一题] 2．化简下列各式：
(1)tan α sin12α－1，其中 α 是第二象限角．
(2)
1－2sin
α 2cos
α2＋
【解】 (1)原式＝tan α
1＋2sin
α 2cos
α20＜α＜2π.
【导学号：06460009】
sin2αsi＋n2cαos2α－1
＝tan α
1 2 tan α
α
＝1＋sincoαs α＝右边．
所以原等式成立．
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[探究共研型]
“sin α±cos α”同“sin αcos α” 间的关系 探究 1 已知 sin α±cos α 的值，能求 sin αcos α 的值吗？反之呢？ 【提示】 设 sin α±cos α＝m，则(sin α±cos α)2＝m2， 即 1±2sin αcos α＝m2，所以 sin αcos α＝±1－2m2. 反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方便可．
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[再练一题]
3．证明下列三角恒等式：
(1)tatnanαα－sisninαα＝tatnanαα＋sisninαα；
(2)sin
α＋cos
2sin αcos α－1sin
α α－cos
α＋1＝1＋sincoαs
α .
【证明】
sin α
(1)
左
边
＝
cos α·sin α
sin cos
x2 x－sin
x
＝sin cos
x＋cos x－sin
x＝tan x cos
xcos x＋cos x－tan xcos
x x
＝11＋ －ttaann
x＝右边． x
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在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不 同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切如：已知 tan α，求 关于 sin α，cos α 的齐次式的问题；“1”的代换1＝sin2α＋cos2α； 多项式运算技巧的运用如因式分解、通分、整体代换等；条件 或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式 的应用.
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1．已知 sin θ±cos θ 求 sin θcos θ，只需平方便可． 2．已知 sin θcos θ 求 sin θ±cos θ 时需开方，此时要根据已知 角 θ 的范围，确定 sin θ±cos θ 的正负．
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[再练一题]
4．已知 sin αcos α＝18，且 π＜α＜54π，则 cos α－sin α 的值为________． 【解析】 ∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α
【答案】 1 4．化简：cos4α＋sin2α·cos2α＋sin2α＝________. 【解析】 cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋ sin2α＝1. 【答案】 1
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角 α，sin23α＋cos23α＝1 都成立．( )
α
sin (2)对任意角 α，
2α＝tan
α2都成立．(
)
cos 2
(3)若
sin
α＝12，则
cos
α＝
3 2 .(
)
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【解析】 (1)√.符合同角三角函数的关系． α
αα－sin
α
＝
sin
sin2α α－sin αcos
α
＝
sin
1－cos2α α1－cos
α
＝
1＋cos α sin α .
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右边＝sin1
α＋tan1
α＝sin1
α＋csoins
αα＝1＋sincoαs
α .
∴左边＝右边，等式恒成立．
(2)左边＝[sin
α＋cos
2sin αcos α－1][sin
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探究 2 已知 sin α＋cos α 的值，如何求 sin α－cos α 或 cos α－sin α 的值？ 【提示】 设 sin α＋cos α＝t，则 1＋2sin αcos α＝t2， 从而 2sin αcos α＝t2－1 ∴1－2sin αcos α＝2－t2 从而(sin α－cos α)2＝2－t2， 对上式开方便可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．
阶
段
(j
iē
阶
d
段
u
三
à
n) 一
1.2 任意角的三角函数
学
阶 段 (j iē d u à n) 二
1.2.2 同角三角函数关系
业 (
x
u
é
y
è)
分
层
测
评
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1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝
sin cos
αα.(重点)
2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)
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[小组合作型]
利用同角基本关系式求拨】 sin α＝－35 ―s―in―2α―＋―co―s2―α＝―1→ 求cos2α 讨―论―象α―的限―所→在 求cos α，tan α
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【自主解答】 因为 sin α＜0，sin α≠－1，所以 α 是第三或第四象限角． 由 sin2α＋cos2α＝1 得 cos2α＝1－sin2α＝1－－352＝1265. 如果 α 是第三象限角，那么 cos α＜0. 于是 cos α＝－ 1265＝－45， 从而 tan α＝csoins αα＝－35×－54＝34. 如果 α 是第四象限角，那么 cos α＝45，tan α＝－34.
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三角函数式的化简、求值
化简：1－sincoθs θ·
tan θ－sin θ tan θ＋sin θ.
【精彩点拨】 切化弦 ―→ 构造完全平方 ―开―方→ 化简求值
【自主解答】 原式＝1－sincoθs θ·
＝1－sincoθs θ·
1－cos θ 1＋cos θ
sin cos
θθ－sin
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同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数之间的关 系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要 时必须进行讨论.
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[再练一题]
1．已知 tan α＝43，且 α 是第三象限角，求 sin α，cos α 的值． 【解】 由 tan α＝csoins αα＝43， 得 sin α＝43cos α.① 又 sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得196cos2α＋cos2α＝1， 即 cos2α＝295. 又 α 是第三象限角， ∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.
θ
sin cos
θθ＋sin
θ
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＝1－sincoθs θ·
1－cos θ2 1＋cos θ1－cos θ
＝1－sincoθs θ·
1－cos θ2 1－cos2θ
＝1－sincoθs
1－cos θ·|sin θ|
θ
＝|ssiinn
θ θ|
＝±1.
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化简三角函数式的常用方法： 1切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从 而减少函数种类以便化简. 2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后 去根号达到化简的目的. 3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或 用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.
又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝ 1－cos2α＝
∴tan α＝csoins αα＝－2 2. 【答案】 －2 2
1－－132＝2 3 2，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
【答案】 2．已知 sin
－1123 α＋cos
α＝12，则
sin
αcos
α＝________.
【解析】 由 sin α＋cos α＝12，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α
＝14，∴sin αcos α＝－38. 【答案】 －38
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3．若2ssiinnαα＋－ccoossαα＝2，则 tan α＝________. 【解析】 ∵2ssiinnαα＋－ccoossαα＝2，∴2ttaannαα＋－11＝2， ∴tan α＋1＝4tan α－2，即 3tan α＝3，∴tan α＝1.
(2)×.等式 sin2α＝tan α2的条件是 cos 2
cos α2≠0， α2≠2π＋kπ，k∈Z， 即 α≠π＋2kπ，k∈Z.
(3)×.因为 α 的范围不明，故 cos α＝±
1－sin2α＝±
3 2.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
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2．已知 α 是第二象限角，且 cos α＝－13，则 tan α＝________. 【解析】 ∵α 是第二象限角，∴sin α＞0.
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【自主解答】 (1)∵sin α＋cos α＝15， ∴(sin α＋cos α)2＝215， ∴1＋2sin αcos α＝215， 即 sin αcos α＝－1225. (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1＋2245＝4295. 又∵0＜α＜π，且 sin αcos α＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75.
＝tan α·－tan1 α＝－1.
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(2)原式＝
sin α2－cos α22＋
sin
α2＋cos
α2 2
＝sin
α2－cos
α2＋sin
α2＋cos
α 2
∵0＜α＜2π，
∴0＜α2＜4π.
∴0＜sin
α2＜cos
α 2.
∴原式＝cos
α2－sin
α2＋sin
α2＋cos
α2＝2cos
＝1－2×18＝34.
又 π＜α＜54π，∴cos α＜sin α，
∴cos
α－sin
α＜0，∴cos
α－sin
α＝－
3 2.
【答案】
－
3 2
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[构建·体系]
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1．已知 α 是第二象限的角，sin α＝153，则 cos α＝________.
【解析】 cos α<0，故 cos α＝－ 1－sin2 α＝－1123.
α 2.
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三角函数式的证明
求证：1c＋os22sxi－n xscino2sxx＝11＋ －ttaann
x x.
【精彩点拨】 从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．
【自主解答】 ∵(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x，
∴左边＝cos
sin x＋cos x＋sin xcos