山东省烟台市芝罘区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

山东省烟台市芝罘区2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，该几何体的俯视图是（）
A．B．C．
D．
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝3
5
，AC＝6 cm，那么BC等于()
A．8 cm B．24
5
cm C．
18
5
cm D．
6
5
cm
3．对二次函数y＝3x2－6x的性质及其图象，下列说法不正确的是（）
A．开口向上B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为
（1，－3）D．最小值为3
4．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是( )
A．1
6
B．
1
3
C．1
2
D．
2
3
5．平面内一点P到⊙O的最小距离和最大距离分别为2m和6cm，则⊙O的直径长为（）
A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm
6．将抛物线y=1
2
x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）
A ．y=12（x ﹣8）2+5
B ．y=12（x ﹣4）2+5
C ．y=12（x ﹣8）2+3
D ．y=12
（x ﹣4）2+3
7．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于（ ）
A B C ．2 D ．12
8．如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝500，则∠DAB 等于( )
A ．55°
B ．60°
C ．65°
D ．70°
9．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB 为6米，斜坡AB 的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE 的长度为（ ）
A ．米
B ．
C ．（﹣2）米
D ．（3）米
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2cm，绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积是（）
A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．2πcm2
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．若一个三角形的外心在这个三角形的外部，则这个三角形按角分类属于_____．14．已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是_____．
15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A ＝70°，则∠EDF＝_____度．
16．如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为_____海里．
17．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面l上，则木板上点A滚动所经过的路径长为_____．
18．如图，左图是一组光圈闭合过程的示意图，其中每个叶片形状和大小相同，光圈内是一个正六边形．小明同学根据示意图绘制了右图，若AM的延长线恰好过点C，圆的半径为3cm，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___．
三、解答题
︒
19．计算：sin60°•cos230°
20．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D 中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请用列表或画树状图的方式求“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率．
21．如图，小军（AB）、小丽（CD）和小红（EF）同时站在路灯下的笔直路线上，其中小丽和小红的影子分别是BD和FM．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示），并画出小军AB此时在路灯下的影子（用线段BN表示）．
（2）若小丽和小红身高都是1.7米，小军身高1.8米，BD＝2米，DF＝3米，FM＝1米，求路灯高度和小军影长，
22．某商场试销一种成本为60元/件的夏季服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的50%，经市场试销调研发现，日销售量y（件）与售价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且当售价80元/件时，日销量为70件，当售价为70元件时，日销量为80件
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场每天获得利润为w元，试写出利润w与售价x之间的关系式，并求出售价定为多少元时，商场每天可获得最大利润，最大利润是多少元？（利润＝销售收入﹣进货成本，不含其他支出）
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O切线；
（2）若AB＝10cm，DE+EA＝6cm，求AF的长度．
24．如图，水平地面上有一幢高为AD的楼，楼前有坡角为30°、长为6米的斜坡．已知从A点观测B、C的俯角分别为60°和30°
（1）求楼高；
（2）现在要将一个半径为2米的⊙O从坡底与斜坡相切时的⊙O1位置牵引滚动到斜坡上至圆刚好与斜坡上水平面相切时的⊙O2位置，求滚动过程中圆心O移动的总长度．（参
考数据：tan15°＝2
25．如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．
参考答案
1．C
【解析】
从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=AC
AB
=
3
5
，AC=6cm，
∴AB=10cm，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．
3．D
【解析】
【分析】
将二次函数配成顶点式，根据顶点坐标式即可判断出其对称轴直线，顶点坐标，最值等问题，再根据二次项系数大于0，即可判断出抛物线的开口方向.
【详解】
∵y＝3x2－6x=3（x2－2x）=3（x－1）2-3，
∴二次函数y＝3x2－6x的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－3）；
∵a=3＞0，
∴二次函数y＝3x2－6x的图象开口向上，有最小值为-3.
∴选项A、B、C正确，选项D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，把二次函数的一般式利用配方法化为顶点式是解决问题的关键.
4．B
【解析】
试题解析：∵转盘被等分成6个扇形区域，
而黄色区域占其中的一个，
∴指针指向黄色区域的概率=
16
． 故选A ．
考点：几何概率．
5．C
【分析】
由题意，需分点P 在⊙O 内、点P 在⊙O 外；当在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，当在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径.
【详解】
设⊙O 的直径为d ，当点P 在圆内时，268()d cm =+=
当点P 在⊙O 外时，624()d cm =-=
故选：C.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，依题意得出需分点在圆内和点在圆外两种情形是解题关键. 6．D
【解析】
【分析】
直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．
【详解】 y=
12
x 2﹣6x+21 =12（x 2﹣12x ）+21
=1
2
[（x﹣6）2﹣36]+21
=1
2
（x﹣6）2+3，
故y=1
2
（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=1
2
（x﹣4）2+3．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．
7．D
【分析】
根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.
【详解】
∵∠DAB=∠DEB，
∴tan∠DEB= tan∠DAB=1
2
，
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．
8．C
【详解】
试题分析：如图，连接BD，
∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°.
∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C.
9．B
【解析】
分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；
B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a
-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣
22a -＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B ．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数
y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．A
【分析】
如图（见解析），作AH BC ⊥于H ，在Rt ABH ∆中，由sin ABH ∠可以求出AH 的长，再在Rt AEH ∆中，由sin AEH ∠即可求出AE 的长.
【详解】
如图，作AH BC ⊥于H
在Rt ABH ∆中，sin AH ABH AB
∠=
则sin AH AB ABH =⋅∠=在Rt AEH ∆中，sin AH AEH AE ∠=
则sin AH AE AEH
==∠ 故选：A.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，熟记常见角度的三角函数值是解题关键.
11．B
【分析】
先在Rt ABC ∆中，利用直角三角形的性质求出AB 的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可.
【详解】
90,30,2ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=
24AB BC ∴==
根据圆锥侧面积公式得2
8()S BC AB cm ππ=⋅⋅=侧
故选：B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质（直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半）、圆锥侧面积公式（S rl π=侧，r 为底面半径，l 为圆锥母线），熟记性质和公式是解题关键. 12．B
【解析】
试题解析：①由开口向下，可得0,a <
又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，
再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，
故①错误；
②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，
故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)
当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)
（1）+（2）×2得，630a c +<，
即20a c +<，
又因为0,a <
所以()230a a c a c ，
++=+< 故③错误；
④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>
所以()()0a b c a b c ++-+<
即()()22
()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<
故④正确，
综上可知，正确的结论有2个.
故选B ．
13．钝角三角形．
【分析】
根据三角形外心的性质“锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外”即可得.
【详解】
由三角形外心的性质得：这个三角形按角分类属于钝角三角形
故答案为：钝角三角形.
【点睛】
本题考查了三角形外心的性质，熟记三角形外心的性质是解题关键.
14．a ＜43
且a≠1 【分析】
先根据二次函数的定义得10a -≠，再根据二次函数图象的性质可知，与x 轴有两个交点表
示一元二次方程2(1)230a x x --+=有两个不相等的实数根，求解即可得.
【详解】
由题意得：10a -≠和关于x 的方程2(1)230a x x --+=有两个不相等的实数根 则224(2)12(1)0b ac a ∆=-=---> 解得：43
a <
且1a ≠. 【点睛】
本题考查了二次函数的定义和图象的性质，将二次函数与x 轴的交点个数问题转化为一元二次方程的根的情况问题是解题关键.
15．55
【分析】
如图（见解析），连接OE 、OF ，由圆的切线性质得,OE AC OF AB ⊥⊥，再由四边形的内角和定理得110EOF ∠=︒，最后根据圆周角定理即可得.
【详解】
连接OE 、OF
由圆的切线性质得：,OE AC OF AB ⊥⊥ 90AFO AEO ∴∠=∠=︒
在四边形AEOF 中，由内角和定理得：360110EOF AFO AEO A ∠=︒-∠-∠-∠=︒ 再根据圆心角与圆周角的关系得：1552
EDF EOF ∠=
∠=︒ 故答案为：55.
【点睛】
本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、四边形的内角和定理、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），掌握这些性质和定理是解题关键.
16．
【分析】
如图（见解析），根据题意可得15,60DAB ABE FCB CBE ∠=∠=︒∠=∠=︒，又因为75DAC ∠=︒，则ABC ∆是以BC 为斜边的等腰直角三角形，再根据AC 的长度即可得.
【详解】
如图，由题意得：15,60,75DAB ABE FCB CBE DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=︒ 则45,90ABC CBE ABE BAC DAB DAC ∠=∠-∠=︒∠=∠+∠=︒
在等腰Rt ABC ∆中，sin AC ABC BC ∠=
则sin AC BC ABC =
=∠ 又140202
AC =⨯=
BC ∴=
故答案是：
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，证出ABC ∆是等腰直角三角形是解题关键.
17．72
π 【分析】
木板转动两次的轨迹如图（见解析）：第一次转动是以点M 为圆心，AM 为半径，圆心角为60度；第二次转动是以点N 为圆心，'NA 为半径，圆心角为90度，根据弧长公式即可求得.
【详解】
由题意，木板转动两次的轨迹如图：
（1）第一次转动是以点M 为圆心，AM 为半径，圆心角α为60度，即3πα=
所以弧'AA 的长33r π
απ==⨯=
（2）第二次转动是以点N 为圆心，'NA 为半径，圆心角β为90度，即2πβ=
所以弧'''A A 的长5522
r πβπ==⨯=（其中半径'5NA ==）
所以总长为5722πππ+
= 故答案为7
2
π.
【点睛】
本题考查了图形的翻转、弧长公式（弧长l r α=，其中α是圆心角弧度数，r 为半径），理解图形翻转的轨迹是解题关键.
18．92π-
【分析】
如图（见解析），连接OA 、OD ，作OH AM ⊥于H ，则H 是AC 的中点，因正六边形的每个角等于120︒，因此可知CMN ∆是等边三角形，因此AD DM MC ==，设AD x =，则1313,,222
AC x AH AC x DH AH AD x ====-=，在Rt ODH ∆中，
2OH x ==
，在Rt AOH ∆中利用勾股定理可求出x 的值，最后根据所求面积等于圆的面积减去正六边形的面积即可得.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，作OH AM ⊥于H ，则H 是AC 的中点
因正六边形的每个角等于120︒
则60CMN CNM ∠=∠=︒
CMN ∴∆是等边三角形
AD DM MC MN ∴===
设AD x =，则1313,,222
AC x AH AC x DH AH AD x ====-=
∴在Rt ODH ∆中，OH x ==
在Rt AOH ∆中利用勾股定理得：222AO OH AH =+
即22233)()2
x x =+
，解得：x =
则32
DM x OH ====
故13969222S S S ππ=-=-⨯
=-阴影圆正六边形
故答案为：9π.
【点睛】
本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的面积公式，理解题意，从正六边形着手是解题关键.
19．
- 8
【分析】
先将各锐角三角函数值代入化简，再进行实数的乘方、乘除、减法运算即可.
【详解】
原式2(22=
324
=-
=-
=
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值，实数的乘方、乘除、减法法则，熟记304560︒︒︒、、锐角三角函数值是解题关键.
20．13
【分析】
由题意列出，画出树状图，然后计算所有可能出现的结果，再计算能使小灯泡发光的结果，根据概率的定义即可求得.
【详解】
根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有4种， 则小灯泡发光的概率是
41123=. 【点睛】
本题考查了用列举法（列表和树状图）求概率，理解题意，画出树状图是解题关键. 21．（1）见解析；（2）路灯PG 的高度为3.4米，小军的影长为4.5米．
【分析】
（1）连接BC 、ME ，并延长BC 和ME ，两者的交点即为路灯灯泡点P 所在的位置；再连接PA ，并延长与地面相交的交点即为点N ，BN 则为小军AB 此时在路灯下的影子；
（2）如（1）中的图，过点P 作PG DF ⊥于点G ，根据三角形一边的平行线的性质定理得,,CD BD EF MF AB BN PG BG PG MG PG NG
===，通过前两个等式先求出DG PG 、（即路灯的高度）的值，再通过第三个式子可求小军的影长BN.
【详解】
（1）连接BC 、ME ，并延长BC 和ME ，两者的交点即为路灯灯泡点P 所在的位置；再连接PA ，并延长与地面相交，交点即为点N ，BN 则为小军AB 此时在路灯下的影子，画图如
下：
（2）如（1）中的图，过点P 作PG DF ⊥于点G
//,//,//AB PG CD PG EF PG ∴
,,CD BD EF MF AB BN PG BG PG MG PG NG
∴===（三角形一边的平行线的性质定理） 设,DG x PG y ==，
则3,2,4GF DF DG x BG BD DG x MG MF GF x =-=-=+=+=+=-
1.72 1.71,24y x y x
∴==+- 解得：2, 3.4x y ==
24BG x ∴=+= 由AB BN PG NG =可得：1.83.44
BN BN =+ 解得： 4.5BN =
答：路灯PG 的高度为3.4米，小军的影长为4.5米.
【点睛】
本题考查了三角形一边的平行线的性质定理的实际应用，熟记定理，灵活运用是解题关键. 22．（1）y ＝﹣x+150；（2）当销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是1800元．
【分析】
（1）将“当售价80元/件时，日销量为70件，当售价为70元件时，日销量为80件”代入建立方程组，求出k 和b 的值，即可求出一次函数的表达式；
（2）先根据“=⨯利润每件的利润销量”列出利润w 的与售价x 之间的关系式，再根据题意得出x 的取值范围，利用二次函数的性质即可求解答案.
【详解】
（1）由题意得：80707080k b k b +=⎧⎨+=⎩
解得：k 1b 150
=-⎧⎨=⎩ 故所求一次函数的表达式为y ＝﹣x+150；
（2）由题意和题（1）的答案可得：
(60)(150)w x x =--+
整理得：2
(105)2025w x =--+
抛物线开口向下，当105x <时，w 随x 的增大而增大
又因销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%
则6060(150%)x ≤≤⨯+，即6090x ≤≤
所以当90x =时，w 取得最大值为：2(90105)20251800--+=
故当销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是1800元.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析数、二次函数图象的性质，根据利润公式列出二次函数的解析式是解题关键.
23．（1）见解析；（2）6cm .
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质可得C B ODB ∠=∠=∠，则//OD AC ，从而得OD DE ⊥，再根据切线判定定理即可证；
（2）如图（见解析），过点O 作OH AF ⊥于点H ，由题（1）可知，四边形ODEH 是矩形，所以,OD EH OH DE ==；设AH x =，则66(5)1OH DE AE x x ==-=--=+，然后在Rt AOH ∆中利用勾股定理可解出x 的值，从而可得AF 的长度.
【详解】 ,OB OD AB AC ==
,B ODB B C ∴∠=∠∠=∠
ODB C ∴∠=∠
//OD AC ∴
又DE AC ⊥，OD 是半径
DE OD ∴⊥
∴DE 是⊙O 的切线（切线判定定理）；
（2）如图，过点O 作OH AF ⊥于点H ，则90ODE DEH OHE ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ODEH 是矩形
,OD EH OH DE ∴==
设AH x =
610DE AE AB +==，
5OD ∴=
5AE x ∴=-
66(5)1OH DE AE x x ∴==-=--=+
在Rt AOH ∆中，由勾股定理得：222AH OH OA +=，即22215x x ++=（）
解得：3x =或4x =-（不合题意，舍去）
3AH ∴= 又由垂径定理得：12
AH FH AF ＝＝
则2236AF AH ==⨯=
故AF 的长度为6cm .
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、切线判定定理、矩形的定义与性质、勾股定理、垂径定理，是一道比较好的综合题，通过作辅助线构造矩形是解题关键.
24．（1）楼高为9米；（2）滚动过程中圆心O 移动的总长度为（
【分析】
（1）由题意可得30,60BAD DAC ∠=︒∠=︒，可得60ABD ∠=︒，又因斜坡的坡角为30，可得90ABC ∠=︒，在Rt ABC ∆中，可求出AB 的长，从而在Rt ABD ∆中可求出楼高AD ； （2）如图（见解析），设⊙1O 切BC 于H ，连接12O H O C 、，作1O N BD ⊥于N ，作12CG O O ⊥于G ，连接1O B ，先在四边形1O NBH 得出1=30NO H ∠︒，从而可以得出
2=60GO C ∠︒，111==152
BO H NO H ∠∠︒，在2Rt GO C ∆和1Rt O BH ∆中，分别利用三角函数值求出2O G 和BH 的长，再求出1O G 的长，12O G O G +即为所求.
【详解】
（1）由题意得：906030,903060BAD DAC ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒
9060,30ABD BAD BAC DAC BAD ∴∠=︒-∠=︒∠=∠-∠=︒
又因斜坡的坡角为30，斜坡长为6米
1803090,6ABC ABD BC ∴∠=︒-︒-∠=︒=
在Rt ABC ∆中，tan BC BAC AB ∠=，则6tan tan 30BC AB BAC ==∠︒
=
在Rt ABD ∆中，cos AD BAD AB =∠，则cos cos309AD AB BAD =⋅∠=︒= 故楼高为9米；
（2）如图，设⊙1O 切BC 于H ，连接12O H O C 、，作1O N BD ⊥于N ，作12CG O O ⊥于G ，连接1O B
则112,//O G CH O N O C ＝
斜坡的坡角为30
150NBH ∴∠=︒
⊙1O 切BC 于H
1O H BC ∴⊥
1O N BD ⊥
118030NO H NBH ∴∠=︒∠=︒-
123090120NO O ∴∠︒+︒==︒
12//O N O C
122180NO O GO C ∴∠+∠=︒
260GO C ∴∠=︒
在2Rt GO C ∆中，222cos O GO C G C
O ∠= 222cos 1O G O C GO C ∴⋅∠＝＝ 由切线的性质得：111152
BO H NO H ∠=∠=︒ 在1Rt O BH ∆中，11tan tan15BH BO H O H ∠=︒=
1tan154BH O H ∴=⋅︒=-
1
6(42OG CH BC BH ∴==-=--=+
121
213OO CH OG ∴+=+=+=
故滚动过程中圆心O 移动的总长度为(3+米.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值、圆的切线的性质，通过作辅助线构造一个平行四边形，然后将所求的线段分两段计算是解题关键.
25．（1）2124y x x -=
；（2）(0,8)B ；（3）2423
. 【分析】
（1）先根据OAP ∆是等腰直角三角形，90OAP ∠=︒和点P 的坐标求出点A 的坐标，再利用待定系数法即可求得；
（2）设点(0,)B m ，如图（见解析），过点C 作CH 垂直y 轴于点H ，过点A 作AQ 垂直y 轴于点Q ，易证明CHB BQA ∆≅∆，可得44AQ BH CH BQ m ====+，，则点C 坐
标为(4,4)m m ++，将其代入题（1）中的抛物线函数关系式即可得；
（3）如图，延长NM 交CH 于点E ，则NE CH ⊥，先通过点B 、C 求出直线BC 的函数关系式，因点N 在抛物线上，则设21(,2)4
N x x x ﹣，则可得点M 的坐标，再根据三角形的面积公式列出等式，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】
（1）OAP ∆是等腰直角三角形，90OAP ∠=︒，点P 坐标为(8)0，
则点A 的坐标为(44)A -，
将点O 、A 、B 三点坐标代入抛物线的函数关系式得：
016446480c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，解得：0142
c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 故抛物线的函数关系式为：2124
y x x -=； （2）设点(0,)B m ，过点C 作CH 垂直y 轴于点H ，过点A 作AQ 垂直y 轴于点Q ， 9090BAQ QBA QBA HBC ∠+∠=︒∠+∠=︒，
HBC BAQ ∴∠=∠
又,90BC AB CHB BQA =∠∠︒==
()CHB BQA AAS ∴∆≅∆
44AQ BH CH BQ m ∴===+=，
故点C 的坐标为(4,4)m m ++
将点C 的坐标代入题（1）的抛物线函数关系式得：
21(4)2(4)44
m m m ++=+﹣，解得：8m = 故点B 的坐标为(0,8)；
（3）如图，延长NM 交CH 于点E ，则NE CH ⊥
设直线BC 的解析式为：y kx d =+，将点(0,8)B ，点(12,12)C 代入得：
81212d k d =⎧⎨+=⎩解得：138
k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线BC 的解析式为：183
y x =
+ 因点N 在抛物线上，设21(,2)4N x x x ﹣，则点M 的坐标为1(,8)3
x x + CBN ∆的面积111222
CBN BMN CMN S S S MN HE MN EC MN HC ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅ 即2111(82)12234
CBN S x x x ∆=+-+⋅ 整理得：2314242()233CBN S x ∆=--+ 又因点M 是线段BC 上一点，则012x << 由二次函数的性质得：当1403x <<
时，y 随x 的增大而增大；当14123x ≤<时，y 随x 的增大而减小 故当143x =时，CBN S ∆取得最大值2423
.
【点睛】
本题是一道较好的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角形全等的判定定理与性质、二次函数图象的性质，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题关键.。